20届 湖北省高三（5 月）调研模拟考试 文科数学参考答案 4页

2020 湖北省高三（5 月）调研模拟考试文科数学参考答案 第 1页（共 3 页） 2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试 文科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C C B C B D D A A D 二、填空题 13. 2 0x y   14. 15. ᧳ 16. t 三、解答题 17.解: （1）当 1n  时， 1 1 12 1 2 1a S a    ，解得 1 1a   ． 当 2n  时， 2 1n na S  ， 1 12 1n na S   ，两式相减得 1 2n n na a a  ，化简得 1n na a   ， 所以数列 na 是首项为 1 ，公比为 1 的等比数列，可得 ( 1)n na   ．……………6 分 （2）由（1）得 h t ， 当 n 为偶数时， 1 2n nb b   ， 22n nT n   ； 当 n 为奇数时， 1n  为偶数， h t h h t h t t ． 所以数列 nb 的前 n 项和 t t ， 为奇数， ， 为偶数 ……………12 分 18.（1）证明：在图 2 中，取 CD 的中点 E ，连 AE . 在直角 ∆ABC 中， AC ⊥ BC ， AC ᧳ ， BC ᧳ ，故 ∠ACB 90 ° ， ∠CAB ᧳0 ° ， 又 点 D 为 AB 的中点， BC BF ，有 CD ᧳ ， BF ， CF 4 ， 由 DF CD h CF − CD × CF × cos 0 ° ，有 DF ，故 CF CD h DF 故 ∆DCF 为直角三角形，有 CD ⊥ DF . 将 ∆ACD 沿 CD 折起，使面 ACD ⊥ 面 BCD ，如图. 由点 E 为 CD 的中点，在等边 ∆ 中， AE ⊥ CD ，面 ACD⋂ 面 BCD CD ，故 AE ⊥ 面 BCD ， 又 DF ⊂ 面 BCD ，有 DF ⊥ AE ，又 DF ⊥ CD ， CD⋂AE E ，则 DF ⊥ 面 ACD ， 又 AC ⊂ 面 ACD ，有 AC ⊥ DF . ……………6 分 2020 湖北省高三（5 月）调研模拟考试文科数学参考答案 第 2页（共 3 页） （2）由 − − 裸 ，设 点到平面 的距离为 ， 由（1）知点 到面 的距离为 躘 ，则 躘×∆ ∆ ， ∆ × × ᧳ ᧳ ， AE ， 由（1）知 DF ⊥ AD ，有 AF CF 4 ，故 ∆ ∆ ᧳ ， 所以有， 点到平面 的距离 躘 . ……………12 分 19.解: （1）设 ∆PQ 的内切圆⊙ M 切 P 、 Q 、 PQ 于点 E 、 F 、 G ， 躘 ， t ， t 0 ， t 0 由 P ⊥ ，且知 躘 t ， 有 t ，则 t ， h ， 由 h 得， − h h t 0 , 有 , 故 h ᧳ ，即 ， t 故所求的椭圆标准方程为： 9 h 4 ……………6 分 （2）设点 0 ， ，其到直线 的距离为 1， 有 − h ， 或 0 （舍），即 M 0 ， . 故圆 M 的方程为 h t ，设 N cos ， h sin ， 由 − ， 0 ， ， 0 ，有 cos h × cos − h sin h h sin ∈ − ， h 故 为 − ， h . ……………6 分 20.解：（1） ᧳᧳9 h h h 4 h h ᧳ h 4 t t t × 4 × ᧳᧳9 40 t 0 t 0 × 4 故 回归方程为： 0 h ……………6 分 （2）2030 年对应的年份代号为 20，由（1）可知， 0 × 0 h ， 2020 湖北省高三（5 月）调研模拟考试文科数学参考答案 第 3页（共 3 页） 故预测 2030 年该原料的价格为 千元/吨. 又解不等式 0 h 0 ，有 9 ， 故年份代号至少为 24 时该原料的价格才能突破 1 万元/吨. 年份代号为 24 时对应 2036 年. 故预估该原料在 2036 年的价格突破 1 万元/吨.……………12 分 21.解：（1）若 − ， − t ᧳ h 9 ， t h 9 ， 又 4 4 ，点 4 ， 4 在 上。 ① 当切点为 4 ， 4 时， 4 9 ，切线方程为： 9 t 4 h 4 ，即 9 t ② 当切点不为 4 ， 4 时，设切点为 (0 ， 0) ， 切 0 0 t 0 h 9 ， 切线方程为： 0 t 0 h 9 t 0 h 0 0 t ，其过点 4 ， 4 ， 有 4 0 t 0 h 9 4 t 0 h 0 0 t ，易知 0 4 是其一解。 即 0 t 0 h 9 4 t 0 h 0 t 4 0 t 0 h 0 ， 即 0 t 4 0 t 0 ，故点 的横坐标 0 ，有 ( ， 4) ， 又 0 ，故切线方程为： 4 ， 综合可知，若 t ，过点 P 4 ， 4 且与 相切的直线方程 为 9 t 或 4 ； ……………6 分 （2） h h h ， h 4 h h h ≤ 0 ， ∈ t ∞ ， − ， t ， h ∞ 时， t 0 ， 单调递增； 由 0 ≤ − t ，有 在 t ∞ ，− 单调递增， 由 sin ∈ t ， ，有 sin t ≤ − ， sin − 4 ≤ − ， 要证： sin ht hsin ≤ sin h − 4 ， ≤ 0即证： sin t sin h t sin − 4 sin h − 4 ， ⇔ sin t sin − 4 ， ⇔ sin t sin − 4 ， ⇔ sin t sin sin t t 4 ，此式恒成立， 故 ≤ 0 时， sin ht hsin ≤ sin h − 4 恒成立.……………12 分 22.解：（1）对于 躘 ： sin t sin h ， ∈ t ， ， 故 躘 的普通方程为： h ， ∈ t ， ； 对于 ： cos cos 4 h sin sin 4 ， 故 的直角坐标方程为： h ……………5 分 （2）由（1）知 躘 ： h ， ∈ t ， ，过点 ， ： h 过 ， 时， ； 与 躘 相切时有： h h t 0 ， ∆ − 4 − 0 ， ， 故 的取值范围为 ， .……………10 分 23.解：（1） t t − ， ≤ 0 ， t ， 0 ， − h ， ， 2020 湖北省高三（5 月）调研模拟考试文科数学参考答案 第 4页（共 3 页） h ， ≤ 0 ， ， 0 ， − h ， ， 令 h t 0 ∗ ， 则当 ≤ 0 时， ∈ ；当 0 时， ∗ 式恒成立；当 时， ≤ 4 . 综合可知： 0 ， 4 ……………5 分 （2）有（Ⅰ）知 ∈ 0 ， 4 ， 4 t ∈ 0 ， 4 ， − ∈ 0 ， 4 ， h ∈ 0 ， 4 ， 且有 h 4 t t h h 4 ， 由 t ，得 t 4 ，即 t 4 − t t h ， ⟹ t 4 − t t h ， ⟹ h 4 − t 4 4 − t t h t 4 t h ， ⟹ 4 − t t h ， 又 h t 4 4 h 4 − ， t h h 4 h t h ， 故 h t 4 t t h h ， 即 h t 4 t t h h .……………10 分