高中数学第二章平面解析几何2-2-2第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程课件新人教B版选择性必修第一册 23页

第 1 课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 核心 素养 1 . 理解直线与方程的关系 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解点斜式方程和斜截式方程的推导 , 并能明确其适用条件 . ( 逻辑推理 ) 3 . 知道直线的点斜式和斜截式方程的内在联系和参数含义 . ( 逻辑推理、直观想象 ) 4 . 能利用直线的点斜式方程和斜截式方程解决一些相关实际问题 . ( 数学运算 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 问题 1 　 一次函数 y=kx+b 的图像是一条直线 l 1 , 如果把 x , y 看做未知数 , 那么 y=kx+b 就是一个方程 . 那么直线 l 1 上的点的坐标和方程的解之间有什么关系呢 ? 问题 2 　 在平面直角坐标系内 , 如果一条直线 l 经过的一个定点 P 0 ( x 0 , y 0 ), 其斜率为 k , 能否将直线上所有的点的坐标 ( x , y ) 满足的关系表示出来呢 ? 结论展示 问题 1 　 提示 (1) 直线 l 1 上的点的坐标都是二元方程 y=kx+b 的解 . (2) 以方程 y=kx+b 的解为坐标的点都在直线 l 1 上 . 激趣诱思 知识点拨 1 . 直线与方程 一般地 , 如果直线 l 上点的坐标都是方程 F ( x , y ) = 0 的解 , 而且以方程 F ( x , y ) = 0 的解为坐标的点都在直线 l 上 , 则称 F ( x , y ) = 0 为直线 l 的方程 , 而直线 l 称为方程 F ( x , y ) = 0 的直线 . 此时 , 为了简单起见 ,“ 直线 l ” 也可说成 “ 直线 F ( x , y ) = 0”, 并且记作 l : F ( x , y ) = 0 . 微判断 (1) 如图所示 , 线段 AB 的方程为 y=x+ 1 . ( 　　 ) (2) 在平面直角坐标系中 , y 轴所在直线方程为 y= 0 . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2)× 激趣诱思 知识点拨 2 . 直线的点斜式 方程 激趣诱思 知识点拨 微判断 直线 y- 3 =m ( x+ 9) 恒过定点 (9, - 3) . ( 　　 ) 答案 : × 微练习 过点 (1,1) 且倾斜角为 45 ° 的直线的点斜式方程为 　　　　 .   答案 : y- 1 =x- 1 微思考 激趣诱思 知识点拨 3 . 直线的斜截式 方程 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 用斜截式求直线方程 , 只要确定直线的斜率和截距即可 , 同时要特别注意截距和距离的区别 . (2) 直线的斜截式方程 y=kx+b 不仅形式简单 , 而且特点明显 , k 是直线的斜率 , b 是直线在 y 轴上的截距 , 只要确定了 k 和 b 的值 , 直线的图像就一目了然 . 因此 , 在解决直线的图像问题时 , 常通过把直线方程化为斜截式方程 , 利用 k , b 的几何意义进行判断 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 直线在 y 轴上的截距是直线与 y 轴交点到原点的距离 . ( 　　 ) (2) 直线 y=kx-b 在 y 轴上的截距为 b. ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2 )× 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 已知直线的斜率是 2, 且在 y 轴上的截距是 - 3, 则此直线的方程是 ( 　　 ) A. y= 2 x- 3 　　　　　 B. y= 2 x+ 3 C. y=- 2 x- 3 D. y =- 2 x+ 3 答案 : A (2) 直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限 , 则有 ( 　　 ) A. k> 0, b> 0 B. k> 0, b< 0 C. k< 0, b> 0 D. k< 0, b< 0 答案 : B 探究一 探究二 当堂检测 直线的点斜式方程 例 1 求满足下列条件的直线的方程 : (1) 过点 P ( - 4,3), 斜率 k=- 2; (2) 过点 P (2, - 5), 且与 x 轴平行 ; (3) 过点 P (3, - 1), 且与 y 轴平行 . 分析 利用直线的点斜式方程及特殊位置的直线表示形式解答 . 解 : (1) 直线过点 P ( - 4,3), 斜率 k=- 2, 由点斜式得 y- 3 =- 2( x+ 4), 整理得所求方程为 2 x+y+ 5 = 0 . (2) 直线过点 P (2, - 5), 且与 x 轴平行 , 则斜率 k= 0, 故所求直线方程为 y+ 5 = 0( x- 2), 即 y=- 5 . (3) 直线与 y 轴平行 , 说明斜率不存在 , 又因为直线过点 P (3, - 1), 所以直线的方程为 x= 3 . 探究一 探究二 当堂检测 反思感悟 利用点斜式求直线方程的步骤 (1) 确定直线要经过的定点 ( x 0 , y 0 ); (2) 明确直线的斜率 k ; (3) 由点斜式直接写出直线方程 . 注意 : 点斜式使用的前提条件是斜率存在 , 当斜率不存在时 , 直线没有点斜式方程 , 其方程为 x=x 0 . 探究一 探究二 当堂检测 变式训练 求斜率是直线 x-y+ 1 = 0 的斜率的 3 倍 , 且分别满足下列条件的直线方程 . (1) 经过点 P (3,4); (2) 在 x 轴上的截距是 - 5 . 解 : 由 x-y+ 1 = 0, 得 y=x+ 1, ∴ 直线 x-y+ 1 = 0 的斜率为 1 . 由题意可得 , 所求直线的斜率 k= 3 . (1) 所求直线的方程是 y- 4 = 3( x- 3), 即 3 x-y- 5 = 0 . (2) 由题意知直线经过点 ( - 5,0), 所求直线的方程是 y- 0 = 3( x+ 5), 即 3 x-y+ 15 = 0 . 探究一 探究二 当堂检测 直线的斜截式方程 例 2 已知直线 l 的斜率为 2, 在 y 轴上的截距为 m. (1) 求直线 l 的方程 ; (2) 当 m 为何值时 , 直线通过 (1,1) 点 ? 分析 (1) 直接套用直线的斜截式方程 ;(2) 将点 (1,1) 代入所设方程求 m. 解 : (1) 利用直线的斜截式方程 , 可得方程为 y= 2 x+m. (2) 只需将点 (1,1) 代入直线 y= 2 x+m , 有 1 = 2×1 +m , 所以 m=- 1 . 探究一 探究二 当堂检测 反思感悟 对直线的斜截式方程的理解要注意以下几点 : (1) 由直线的斜截式方程的推导过程可以看出 , 在点斜式中若点 P ( x 0 , y 0 ) 为直线 l 与 y 轴的交点 , 得到的直线方程即为斜截式 , 因此斜截式为点斜式的特殊情况 . (2) 直线与 x 轴垂直时 , 斜率不存在 , 不能用直线方程的斜截式表示 . 因此 , 斜截式方程不能表示与 x 轴垂直的直线 . (3) 斜截式方程 y=kx+b 的特点 : 左端 y 的系数恒为 1, 右端 x 的系数 k 和常数项 b 均有明显的几何意义 , k 是直线的斜率 , b 是直线在 y 轴上的截距 , 截距实质上为直线与 y 轴交点的纵坐标 , 直线与 y 轴的交点与原点的距离为 |b|. 探究一 探究二 当堂检测 延伸探究 (1) 将本例的条件 “ 在 y 轴上的截距为 m ” 改为 “ 在 x 轴上的截距为 m ”, 如何求直线的方程 ? (2) 将本例的条件不变 , 试问 m 为何值时 , 直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 1? 解 : (1) 直线在 x 轴上的截距为 m , 即直线过点 ( m ,0), 又已知直线的斜率为 2, 则由直线的点斜式方程 , 可得所求直线方程为 y- 0 = 2( x-m ), 即 y= 2 x- 2 m. 探究一 探究二 当堂检测 1 . 已知直线的方程是 y+ 2 =-x- 1, 则 ( 　　 ) A. 直线经过点 ( - 1,2), 斜率为 - 1 B. 直线经过点 (2, - 1), 斜率为 - 1 C. 直线经过点 ( - 1, - 2), 斜率为 - 1 D. 直线经过点 ( - 2, - 1), 斜率为 1 解析 : 由 y+ 2 =-x- 1, 得 y+ 2 =- ( x+ 1), 所以直线的斜率为 - 1, 过点 ( - 1, - 2) . 答案 : C 探究一 探究二 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 当堂检测 3 . 已知直线的倾斜角为 60 ° , 在 y 轴上的截距为 - 2, 则此直线的方程为 ( 　　 ) 答案 : D 探究一 探究二 当堂检测 4 . 与直线 y= 2 x+ 1 垂直 , 且在 y 轴上的截距为 4 的直线的斜截式方程为 ( 　　 ) 答案 : D 探究一 探究二 当堂检测 5 . 已知直线 l 过点 P (2,1), 且直线 l 的斜率为直线 x- 4 y+ 3 = 0 的斜率的 2 倍 , 则直线 l 的点斜式方程为 　　　　　　 .   探究一 探究二 当堂检测 6 . 已知直线 l 的斜率与直线 3 x- 2 y= 6 的斜率相等 , 且直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1, 求直线 l 的斜截式方程 .