2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 10.2 事件的相互独立性 13页

10.2 事件的相互独立性 学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发 生的概率公式解决一些简单的实际问题. 知识点一 相互独立事件的概念 对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称 独立. 知识点二 相互独立事件的性质 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立. 1.不可能事件与任何一个事件相互独立.( √ ) 2.必然事件与任何一个事件相互独立.( √ ) 3.“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件 A，B 相互独立”的充要条件.( √ ) 4.如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.( √ ) 一、事件独立性的判断 例 1 判断下列事件是否为相互独立事件. (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、乙两组各选 1 名同学参加 演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”. (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球” 与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球”. 解 (1)“从甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1 名女生”这一 事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件. (2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为5 8 ，若这一事件发生了，则“从剩 下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为4 7 ；若前一事件没有发生，则后一 事件发生的概率为5 7 ，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者 不是相互独立事件. 反思感悟 两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：若 P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件 A，B 为相互独立事件. 跟踪训练 1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A 是“第一枚为正面”，事件 B 是“第 二枚为正面”，事件 C 是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________.(填 序号) ①A，B；②A，C；③B，C. 答案 ①②③ 解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要 P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC) ＝P(B)P(C)成立即可. 利用古典概型概率公式计算可得 P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝ 0.25，P(BC)＝0.25. 可以验证 P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C). 所以根据事件相互独立的定义，事件 A 与 B 相互独立，事件 B 与 C 相互独立，事件 A 与 C 相互独立. 二、相互独立事件概率的计算 例 2 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险的概率为 0.6，购 买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率. 解 记 A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示事件“购买乙种保险”，则由题意得 A 与 B， A 与 B ， A 与 B， B 与 A 都是相互独立事件，且 P(A)＝0.5，P(B)＝0.6. (1)记 C 表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则 C＝AB，所以 P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)记 D 表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”， 则 D＝ A B，所以 P(D)＝P( A B)＝P( A )·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3. 延伸探究 本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？ 解 记 E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 方法一 则事件 E 包括 A B，A B ，AB，且它们彼此为互斥事件. 所以 P(E)＝P( A B＋A B ＋AB)＝P( A B)＋P(A B )＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋ 0.5×0.6＝0.8. 方法二 事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为 对立事件. 所以 P(E)＝1－P( A B )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 反思感悟 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的. ②求出每个事件的概率，再求积. (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是 相互独立的. 跟踪训练 2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为1 3 和1 4 ，两人能否破译密码相 互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率； (2)恰有一人能破译的概率； (3)至多有一人能破译的概率. 解 记事件 A 为“甲独立地破译出密码”，事件 B 为“乙独立地破译出密码”. (1)两个人都破译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝1 3 ×1 4 ＝ 1 12. (2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即 A B ＋ A B， ∴P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B) ＝P(A)P( B )＋P( A )P(B) ＝1 3 × 1－1 4 ＋ 1－1 3 ×1 4 ＝ 5 12. (3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码， ∴其概率为 1－P(AB)＝1－ 1 12 ＝11 12. 三、相互独立事件概率的综合应用 例 3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不 合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙 三人在理论考试中“合格”的概率依次为4 5 ，3 4 ，2 3 ，在实际操作考试中“合格”的概率依次为 1 2 ，2 3 ，5 6 ，所有考试是否合格相互之间没有影响. (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 解 (1)记“甲获得合格证书”为事件 A，“乙获得合格证书”为事件 B，“丙获得合格证 书”为事件 C，则 P(A)＝4 5 ×1 2 ＝2 5 ， P(B)＝3 4 ×2 3 ＝1 2 ， P(C)＝2 3 ×5 6 ＝5 9. 因为 P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大. (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件 D， 由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则 P(D)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) ＝2 5 ×1 2 ×4 9 ＋2 5 ×1 2 ×5 9 ＋3 5 ×1 2 ×5 9 ＝11 30. 反思感悟 求较复杂事件的概率的一般步骤如下 (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示. (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求 出符合条件的事件的概率. 跟踪训练 3 三个元件 T1，T2，T3 正常工作的概率分别为1 2 ，3 4 ，3 4 ，将它们中某两个元件并联 后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路 不发生故障的概率是多少？ 解 记 T1 正常工作为事件 A，T2 正常工作为事件 B，T3 正常工作为事件 C， 则 P(A)＝1 2 ，P(B)＝P(C)＝3 4 ， 电路不发生故障，即 T1 正常工作且 T2，T3 至少有一个正常工作，T2，T3 至少有一个正常工 作的概率 P1＝1－ 1－3 4 × 1－3 4 ＝15 16 ， 所以整个电路不发生故障的概率为 P＝P(A)×P1＝1 2 ×15 16 ＝15 32. 方程思想在相互独立事件概率中的应用 典例 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而 乙机床加工的零件不是一等品的概率为1 4 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 不是一等品的概率为 1 12 ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2 9 ，分别求甲、乙、 丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率. 解 记事件 A，B，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品. 由题设知 PA·[1－PB]＝1 4 ， PB·[1－PC]＝ 1 12 ， PA·PC＝2 9 ， 解方程组并舍去不合题意的根，得 P(A)＝1 3 ，P(B)＝1 4 ，P(C)＝2 3. 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是1 3 ，1 4 ，2 3. [素养提升] 对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定 义、公式等构造方程(组)，通过解方程(组)解决问题，提升数学抽象素养. 1.坛子里放有 3 个白球，2 个黑球，从中不放回地摸球，用 A1 表示第 1 次摸到白球，A2 表示 第 2 次摸到白球，则 A1 与 A2( ) A.是互斥事件 B.是相互独立事件 C.是对立事件 D.不是相互独立事件 答案 D 解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项 A，C 错.而事 件 A1 的发生对事件 A2 发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件. 2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为 0.85，乙熔断的概率为 0.74，甲、乙 两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( ) A.1 B.0.629 C.0 D.0.74 或 0.85 答案 B 解析 设“甲保险丝熔断”为事件 A，“乙保险丝熔断”为事件 B， 则 P(A)＝0.85，P(B)＝0.74， 由事件 A 与 B 相互独立， 得“两根保险丝都熔断”为事件 AB， ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.85×0.74＝0.629. 3.从应届高中生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为1 3 ，视力合格的概率为1 6 ，其他 综合标准合格的概率为1 5 ，从中任选一学生，则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影 响)( ) A.4 9 B. 1 90 C.4 5 D.5 9 答案 B 解析 由题意知三项标准互不影响， ∴P＝1 3 ×1 6 ×1 5 ＝ 1 90. 4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.8 和 0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能 发芽的概率是( ) A.0.26 B.0.08 C.0.18 D.0.72 答案 A 解析 甲种子发芽而乙种子不发芽的概率为 0.8×0.1＝0.08. 乙种子发芽而甲种子不发芽的概率为 0.9×0.2＝0.18， 故恰有一粒种子能发芽的概率为 0.08＋0.18＝0.26. 5.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 1 70 ，1 69 ，1 68 ，且各道 工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________. 答案 3 70 解析 加工出来的零件的正品率是 1－ 1 70 × 1－ 1 69 × 1－ 1 68 ＝67 70 ，因此加工出来的零件的 次品率为 1－67 70 ＝ 3 70. 1.知识清单： (1)相互独立事件的判断. (2)相互独立事件概率的计算. 2.方法归纳：构造方程(组)、通过解方程(组)求概率，正难则反思想求概率. 3.常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆. 1.掷一颗骰子一次，设事件 A：“掷出偶数点”，事件 B：“掷出 3 点或 6 点”，则事件 A， B 的关系是( ) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 答案 B 解析 事件 A＝{2,4,6}，事件 B＝{3,6}，事件 AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，所以 P(A)＝3 6 ＝1 2 ，P(B)＝2 6 ＝1 3 ，P(AB)＝1 6 ＝1 2 ×1 3 ，即 P(AB)＝P(A)P(B)，因此事件 A 与 B 相互独 立.当“掷出 6 点”时，事件 A，B 同时发生，所以 A，B 不是互斥事件. 2.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为 0.9，则他连续射击两次都命中的概率是( ) A.0.64 B.0.56 C.0.81 D.0.99 答案 C 解析 Ai 表示“第 i 次击中目标”，i＝1,2， 则 P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81. 3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为 0.6，乙被录取的概率为 0.7，两人是 否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( ) A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88 答案 D 解析 设“甲被录取”记为事件 A，“乙被录取”记为事件 B，则两人至少有一人被录取的 概率 P＝1－P( A B )＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－0.4×0.3＝0.88. 4.从甲袋中摸出 1 个红球的概率是1 3 ，从乙袋中摸出 1 个红球的概率是1 2 ，从两袋中各摸出 1 个球，则2 3 可能是( ) A.2 个球不都是红球的概率 B.2 个球都是红球的概率 C.至少有 1 个红球的概率 D.2 个球中恰有 1 个红球的概率 答案 C 解析 记 4 个选项中的事件分别为 A，B，C，D，则 P(A)＝1－1 3 ×1 2 ＝5 6 ， P(B)＝1 3 ×1 2 ＝1 6 ， P(C)＝1－ 1－1 2 × 1－1 3 ＝2 3 ， P(D)＝1 3 × 1－1 2 ＋ 1－1 3 ×1 2 ＝1 2. 5.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才 能获冠军.若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.3 4 B.3 5 C.2 3 D.1 2 答案 A 解析 根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队 再胜一局，这两种情况互斥.甲队直接胜一局，其概率为 P1＝1 2 ；乙队先胜一局，甲队再胜一 局，其概率为P2＝1 2 ×1 2 ＝1 4.由互斥事件的概率加法公式可得甲队获胜的概率为P＝1 2 ＋1 2 ×1 2 ＝ 3 4. 6.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25 ， 则该队员每次罚球的命中率为________. 答案 3 5 解析 设此队员每次罚球的命中率为 p， 则 1－p2＝16 25 ，所以 p＝3 5. 7.在甲盒内的 200 个螺杆中有 160 个是 A 型，在乙盒内的 240 个螺母中有 180 个是 A 型.若 从甲、乙两盒内各取一个，则能配成 A 型螺栓的概率为________. 答案 3 5 解析 从甲盒内取一个 A 型螺杆记为事件 M，从乙盒内取一个 A 型螺母记为事件 N，因为 事件 M，N 相互独立，所以能配成 A 型螺栓(即一个 A 型螺杆与一个 A 型螺母)的概率为 P(MN) ＝P(M)P(N)＝160 200 ×180 240 ＝3 5. 8.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为4 5 ，乙及格的概率为2 5 ， 丙及格的概率为2 3 ，则三人中至少有一人及格的概率为________. 答案 24 25 解析 设甲及格为事件 A，乙及格为事件 B，丙及格为事件 C，则 P(A)＝4 5 ，P(B)＝2 5 ，P(C) ＝2 3 ，∴P( A )＝1 5 ，P( B )＝3 5 ，P( C )＝1 3 ， 则 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C )＝1 5 ×3 5 ×1 3 ＝ 1 25 ， ∴所求概率 P＝1－P( A B C )＝24 25. 9.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6，且购 买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求： (1)进入商场的 1 位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率. 解 记 A 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲种商品”，则 P(A)＝0.5； 记 B 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买乙种商品”，则 P(B)＝0.6； 记 C 表示事件“进入商场的 1 位顾客甲、乙两种商品都购买”； 记 D 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”； 记 E 表示事件“进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品的一种”. (1)易知 C＝AB，则 P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)易知 D＝(A B )∪( A B)，则 P(D)＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝ 0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. (3)易知 E ＝ A B ，则 P( E )＝P( A B )＝P( A )P( B )＝0.5×0.4＝0.2.故 P(E)＝1－ P( E )＝0.8. 10.为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为 100 元的旅游消费券，由抽样调查 预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表： 200 元 300 元 400 元 500 元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点. (1)求这三人恰有两人的消费额不少于 300 元的概率； (2)求这三人的消费总额大于或等于 1 300 元的概率. 解 (1)设三人中恰有两人的消费额不少于 300 元的概率为 P1， 则 P1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448. (2)消费总额为 1 500 元的概率是 0.1×0.1×0.2＝0.002， 消费总额为 1 400 元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010， 消费总额为 1 300 元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1 ＝0.033， 所以消费总额大于或等于 1 300 元的概率是 0.045. 11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为 x，转盘乙得到的数为 y(若指针停在边界上则重新转)，x，y 构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足 xy＝4 的 概率为( ) A. 1 16 B.1 8 C. 3 16 D.1 4 答案 C 解析 满足 xy＝4 的所有可能如下： x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1. ∴所求事件的概率为 P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1) ＝1 4 ×1 4 ＋1 4 ×1 4 ＋1 4 ×1 4 ＝ 3 16. 12.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生 的概率相同，则事件 A 发生的概率 P(A)等于( ) A.2 9 B. 1 18 C.1 3 D.2 3 答案 D 解析 由题意知，P( A )·P( B )＝1 9 ， P( A )·P(B)＝P(A)·P( B ). 设 P(A)＝x，P(B)＝y， 则 1－x1－y＝1 9 ， 1－xy＝x1－y， 即 1－x－y＋xy＝1 9 ， x＝y. ∴x2－2x＋1＝1 9 ， ∴x－1＝－1 3 ，或 x－1＝1 3(舍去)， ∴x＝2 3. 13.有一道数学难题，学生 A 解出的概率为1 2 ，学生 B 解出的概率为1 3 ，学生 C 解出的概率为 1 4.若 A，B，C 三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为________. 答案 11 24 解析 一道数学难题恰有一人解出，包括：①A 解出，B，C 解不出，概率为1 2 ×2 3 ×3 4 ＝1 4 ； ②B 解出，A，C 解不出，概率为1 2 ×1 3 ×3 4 ＝1 8 ；③C 解出，A，B 解不出，概率为1 2 ×2 3 ×1 4 ＝ 1 12. 所以恰有 1 人解出的概率为1 4 ＋1 8 ＋ 1 12 ＝11 24. 14.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出 2 个问 题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的 回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率为________. 答案 0.128 解析 由已知条件知，第 2 个问题答错，第 3,4 个问题答对，记“问题回答正确”事件为 A， 则 P(A)＝0.8，故 P＝P[(A＋ A ) A AA]＝[1－P(A)]·P(A)·P(A)＝0.128. 15.如图，已知电路中 4 个开关每个闭合的概率都是1 2 ，且是互相独立的，则灯亮的概率为 ( ) A. 3 16 B.3 4 C.13 16 D.1 4 答案 C 解析 灯泡不亮包括四个开关都断开，或下边的 2 个都断开且上边的 2 个中有一个断开，这 两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的， ∴灯泡不亮的概率为1 2 ×1 2 ×1 2 ×1 2 ＋1 2 ×1 2 ×1 2 ×1 2 ＋1 2 ×1 2 ×1 2 ×1 2 ＝ 3 16. ∵灯泡亮与不亮是对立事件，∴灯亮的概率是 1－ 3 16 ＝13 16. 16.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是 每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足一小时的部 分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过 两小时还车的概率分别为1 4 ，1 2 ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为1 2 ，1 4 ；两人租车 时间互不影响且都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为 4 的概率. 解 甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为 1－1 4 －1 2 ＝1 4 ，1－1 2 －1 4 ＝1 4. (1)租车费用相同可分为租车费用都为 0 元、2 元、4 元三种情况. 都付 0 元的概率为 P1＝1 4 ×1 2 ＝1 8 ； 都付 2 元的概率为 P2＝1 2 ×1 4 ＝1 8 ； 都付 4 元的概率为 P3＝1 4 ×1 4 ＝ 1 16. 所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝ 5 16. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4 表示两人的租车费用之和为 4 元，其可能 的情况是甲、乙的租车费用分别为①0 元，4 元；②2 元，2 元；③4 元，0 元. 所以可得 P(ξ＝4)＝1 4 ×1 4 ＋1 2 ×1 4 ＋1 4 ×1 2 ＝ 5 16 ， 即甲、乙两人所付的租车费用之和为 4 元的概率为 5 16.