高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1．5.1 曲边梯形的面积 12页

1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程 明目标、知重点 1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程． 1．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如 图①所示)． (2)求曲边梯形面积的方法 把区间 a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以 直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值， 对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)． (3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限． 2．求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动，速度函数为 v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取 极限的方法，求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. 情境导学] 任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形 的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y ＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？ 探究点一 求曲边梯形的面积 思考 1 如何计算下列两图形的面积？ 答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解． 问题 如图，如何求由抛物线 y＝x2 与直线 x＝1，y＝0 所围成的平面图形 的面积 S? 思考 2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？ 答 已知图形是由直线 x＝1，y＝0 和曲线 y＝x2 所围成的，可称为曲边梯 形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段． 思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤) 答 (如图)可以通过把区间 0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每 个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边 梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来 越细，近似程度会越来越好． Sn＝错误!Si≈错误!(i－1 n )2·Δx ＝错误!(i－1 n )2·1 n (i＝1,2，…，n) ＝0·1 n ＋(1 n )2·1 n ＋…＋(n－1 n )2·1 n ＝1 n312＋22＋…＋(n－1)2] ＝1 3 (1－1 n )(1－ 1 2n )． ∴S＝lim n→∞ Sn＝lim n→∞ 1 3 (1－1 n )(1－ 1 2n )＝1 3 . 求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成． 思考 4 在“近似代替”中，如果认为函数 f(x)＝x2 在区间i－1 n ，i n ](i＝1,2，…，n)上的值 近似地等于右端点i n 处的函数值 f(i n )，用这种方法能求出 S 的值吗？若能求出，这个值也是1 3 吗？取任意ξi∈i－1 n ，i n ]处的函数值 f(ξi)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？ 答 以上方法都能求出 S＝1 3 .我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极 限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形． 例 1 求由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x2 所围成的图形的面积． 解 (1)分割 将区间 0,1]等分为 n 个小区间： 0，1 n ]，1 n ，2 n ]，2 n ，3 n ]，…，i－1 n ，i n ]，…，n－1 n ，1]， 每个小区间的长度为Δx＝i n －i－1 n ＝1 n . 过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…， ΔSn. (2)近似代替 在区间i－1 n ，i n ](i＝1,2，…，n)上，以i－1 n 的函数值 i－1 n 2 作为高，小区间的长度Δx＝1 n 作 为底边的小矩形的面积作为第 i 个小曲边梯形的面积，即 ΔSi≈(i－1 n )2·1 n . (3)求和 曲边梯形的面积近似值为 S＝错误!Si≈错误!(i－1 n )2·1 n ＝0·1 n ＋(1 n )2·1 n ＋(2 n )2·1 n ＋…＋(n－1 n )2·1 n ＝1 n312＋22＋…＋(n－1)2] ＝1 3 (1－1 n )(1－ 1 2n )． (4)取极限 曲边梯形的面积为 S＝lim n→∞ 1 3 (1－1 n )(1－ 1 2n )＝1 3 . 反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似 代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确． 跟踪训练 1 求由抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的曲边梯形的面积． 解 ∵y＝x2 为偶函数，图象关于 y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线 y＝x2(x≥0) 与直线 x＝0，y＝4 所围图形面积 S 阴影的 2 倍，下面求 S 阴影． 由 y＝x2x≥0 y＝4 ， 得交点为(2,4)， 如图所示，先求由直线 x＝0，x＝2，y＝0 和曲线 y＝x2 围成的曲边梯形的面积． (1)分割 将区间 0,2] n 等分， 则Δx＝2 n ， 取ξi＝2i－1 n . (2)近似代替求和 Sn＝错误! 2i－1 n ]2·2 n ＝8 n312＋22＋32＋…＋(n－1)2] ＝8 3 (1－1 n )(1－ 1 2n )． (3)取极限 S＝lim n→∞ Sn＝lim n→∞ 8 3 (1－1 n )(1－ 1 2n )＝8 3 . ∴所求平面图形的面积为 S 阴影＝2×4－8 3 ＝16 3 . ∴2S 阴影＝32 3 ， 即抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的图形面积为32 3 .探究点二 求变速运动的路程 思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反 之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 答 物体以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程为 s＝vt.如果物体做变速直 线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间 t 分割成许多“小 段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的 路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题． 例 2 汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程 s＝vt.如果汽车做变速直 线运动，在时刻 t 的速度为 v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在 0≤t≤1 这段时间行驶的 路程是多少？ 解 分割 将时间区间 0,1]分成 n 个小区间，0，1 n ]，1 n ，2 n ]，2 n ，3 n ]，…，i－1 n ，i n ]，…，n－1 n ，1]， 则第 i 个小区间为i－1 n ，i n ](i＝1,2，…，n)． (2)近似代替 第 i 个小矩形的高为 v－(i－1 n )]， ∴△si≈v－(i－1 n )]·1 n ＝－(i－1 n )2＋2]·1 n . (3)求和 sn＝1 n 错误!－(i－1 n )2＋2] ＝－1 n302＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋2 ＝－n－12n－1 6n2 ＋2＝－1 3 (1－1 n )(1－ 1 2n )＋2. (4)取极限 s＝lim n→∞ sn＝lim n→∞ －1 3 (1－1 n )(1－ 1 2n )＋2]＝5 3 . ∴这段时间行驶的路程为5 3 km. 反思与感悟 (1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近 似代替、求和、取极限四步解决． (2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数 v(t)＝－t2＋2 在 t＝0，t＝1， v(t)＝0 形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现． 跟踪训练 2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻 t 的速度为 v(t)＝3t2＋2(单位： km/h)，那么该汽车在 0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？ 解 (1)分割 在时间区间 0,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，将它分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为 2i－1 n ，2i n ](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝2i n －2i－1 n ＝2 n .每个时间段上行驶的路程记为 Δsi(i＝1,2，…，n)， 则显然有 s＝错误!si. (2)近似代替 取ξi＝2i n (i＝1,2，…，n)，用小矩形的面积Δs′i 近似地代替Δsi，于是 Δsi≈Δs′i＝v(2i n )·Δt ＝3(2i n )2＋2]·2 n ＝24i2 n3 ＋4 n (i＝1,2，…，n)． (3)求和 sn＝错误!s′i＝错误!(24i2 n3 ＋4 n ) ＝24 n3 (12＋22＋…＋n2)＋4 ＝24 n3 ·nn＋12n＋1 6 ＋4 ＝8(1＋1 n )(1＋ 1 2n )＋4. 从而得到 s 的近似值 s≈vn. (4)取极限 s＝lim n→∞ sn＝lim n→∞ 8(1＋1 n )(1＋ 1 2n )＋4] ＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为 12 km. 1．把区间 1,3] n 等分，所得 n 个小区间的长度均为( ) A.1 n B.2 n C.3 n D. 1 2n 答案 B 解析 区间 1,3]的长度为 2，故 n 等分后，每个小区间的长度均为2 n . 2．函数 f(x)＝x2 在区间 i－1 n ，i n 上( ) A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当 n 很大时，f(x)的值变化很小 答案 D 解析 当 n 很大，即Δx 很小时，在区间i－1 n ，i n ]上，可以认为 f(x)＝x2 的值变化很小，近似 地等于一个常数． 3．在“近似代替”中，函数 f(x)在区间 xi，xi＋1]上的近似值等于( ) A．只能是左端点的函数值 f(xi) B．只能是右端点的函数值 f(xi＋1) C．可以是该区间内任一点的函数值 f(ξi)(ξi∈xi，xi＋1]) D．以上答案均正确 答案 C 4．求由曲线 y＝1 2 x2 与直线 x＝1，x＝2，y＝0 所围成的平面图形面积时，把区间 5 等分，则 面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02 解析 将区间 5 等分所得的小区间为 1，6 5 ]，6 5 ，7 5 ]，7 5 ，8 5 ]，8 5 ，9 5 ]，9 5 ，2]， 于是所求平面图形的面积近似等于 1 10 (1＋36 25 ＋49 25 ＋64 25 ＋81 25 )＝ 1 10 ×255 25 ＝1.02. 呈重点、现规律] 求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间 a，b]； (2)近似代替：取点ξi∈xi－1，xi]； (3)求和：错误!(ξi)·b－a n ； (4)取极限：s＝lim n→∞ 错误!(ξi)·b－a n .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为 了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点). 一、基础过关 1．当 n 很大时，函数 f(x)＝x2 在区间i－1 n ，i n ]上的值，可以近似代替为( ) A．f(1 n ) B．f(2 n ) C．f(i n ) D．f(0) 答案 C 2．在等分区间的情况下 f(x)＝ 1 1＋x2(x∈0,2])及 x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式 正确的是( ) A.lim n→∞ ∑ n i＝1 1 1＋i n2 ·2 n ] B.lim n→∞ ∑ n i＝1 1 1＋2i n 2 ·2 n ] C.lim n→∞ ∑ n i＝1 ( 1 1＋i2·1 n ) D.lim n→∞ ∑ n i＝1 1 1＋i n2 ·n] 答案 B 解析 ∵Δx＝2－0 n ＝2 n . ∴和式为∑ n i＝1 1 1＋2i n 2 ·2 n ]． ∴应选 B. 3．把区间 a，b] (a