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- 2021-06-11 发布
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4 幂函数
必备知识
·
探新知
关键能力
·
攻重难
课堂检测
·
固双基
素养作业
·
提技能
素养目标
·
定方向
素养目标
·
定方向
必备知识
·
探新知
形如
__
__
__
__
__
的函数称为幂函数,其中
α
是常数.
思考:
(1)
幂函数的解析式有什么特征?
(2)
幂函数与指数函数解析式的区别是什么?
提示:
(1)
①
系数为
1
;
②
底数为
x
自变量;
③
指数为常数.
(2)
①
自变量不同,幂函数的自变量为底数,指数函数的自变量为指数.
②
底数不同,幂函数的底数是自变量,指数函数的底数是常数.
幂函数的概念
知识点
一
y
=
x
α
(1)
所有幂函数在区间
(0
,+∞
)
上都有定义,在第一象限内都有图像,并且图像都通过
(1,1)
.
(2)
如果
α
>
0
,则幂函数的图像通过原点,并且在区间
[0
,+∞
)
上是增函数.
(3)
如果
α
<
0
,则幂函数在区间
(0
,+∞
)
上是减函数,且在第一象限内:当
x
从右边趋向于原点时,图像在
y
轴右方且无限地逼近
y
轴;当
x
趋向于+∞时,图像在
x
轴上方且无限地逼近
x
轴.
幂函数共同的性质
知识点
二
思考:
当
α
<
0
时,幂函数的图像是否过原点?
提示:
α
<
0
时,
y
=
x
α
在
x
=
0
时无意义,图像不过原点.
关键能力
·
攻重难
幂函数的概念
题型探究
题型
一
典例剖析
典例
1
C
5
或-
1
[
分析
]
(1)
根据幂函数的定义去判断,只有形如
y
=
x
α
的函数才是幂函数.
(2)
根据幂函数的特征,系数等于
1
求解.
规律方法:判断一个函数是否为幂函数的方法
(1)
幂函数同指数函数、对数函数一样,是一种
“
形式定义
”
的函数,也就是说必须完全具备
y
=
x
α
(
α
∈
R
)
结构特征的函数才是幂函数.
(2)
如果函数解析式以根式的形式给出,则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.
对点训练
B
B
幂函数的图像及应用
题型
二
典例剖析
典例
2
B
(2)
已知函数
f
(
x
)
=
x
k
(
k
为常数
)
,在下列函数图像中,不是函数
y
=
f
(
x
)
的图像的是
(
)
[
分析
]
(1)
根据各个函数的图像特征选取.
(2)
根据幂函数图像所在的象限判断.
C
2
.在同一坐标系中,函数
f
(
x
)
=
x
a
(
x
>
0)
,
g
(
x
)
=
log
a
x
(
a
>
0
且
a
≠1)
的图像可能是
(
)
对点训练
D
[
解析
]
对
A
,没有幂函数的图像;对
B
,
f
(
x
)
=
x
a
(
x
>
0)
中
a
>
1
,
g
(
x
)
=
log
a
x
中
0
<
a
<
1
,不符合题意;对
C
,
f
(
x
)
=
x
a
(
x
>
0)
中
0
<
a
<
1
,
g
(
x
)
=
log
a
x
中
a
>
1
,不符合题意;对
D
,
f
(
x
)
=
x
a
(
x
>
0)
中
0
<
a
<
1
,
g
(
x
)
=
log
a
x
中
0
<
a
<
1
,符合题意.
幂函数性质的应用
题型
三
典例剖析
典例
3
A
角度
2
探究幂函数的图像及性质
讨论函数
y
=
x
-
2
的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.
典例
4
因此函数
y
=
x
-
2
是偶函数,因此函数图像关于
y
轴对称.通过列表描点,可以先画出
y
=
x
-
2
在
x
∈
(0
,
+
∞
)
时的函数图像,再根据对称性,作出它在
x
∈
(
-
∞,
0)
时的图像,如图所示.
由图像可以看出,函数
y
=
x
-
2
在区间
(0
,
+
∞
)
上是单调递减函数,在
(
-
∞,
0)
上是单调递增函数.
规律方法:
1.
关于指数式比较大小
(1)
变为同指数:利用幂函数的单调性比较大小.
(2)
变为同底数:利用指数函数的单调性比较大小.
2
.
关于函数图像、性质的探究
(1)
探究顺序:一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究.
(2)
几点说明:
①
奇偶性决定了图像是否具有对称性,具有奇遇性的函数可先描点作出
y
轴右侧的图像,再根据对称性作左侧的图像;
②
作图时尽可能多地选取点,而且选取的点要具有代表性,这样作出的图像才更加准确;
③
此种方法是对函数图像和性质的粗略探究,适用的函数有限,更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习.
对点训练
A
典例剖析
典例
5
易错警示
课堂检测
·
固双基
素养作业
·
提技能
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