【数学】2021届一轮复习北师大版（理）33数列的概念与简单表示法作业 7页

数列的概念与简单表示法 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于(　　)‎ A． B．cos C．cosπ D．cosπ D　[令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．]‎ ‎2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于(　　)‎ A. B. C. D.30‎ D　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.]‎ ‎3．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>‎0”‎是“{Sn}是递增数列”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[∵“an>‎0”‎⇒“数列{Sn}是递增数列”，‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．‎ 如数列{an}为－1,1,3,5,7,9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，‎ ‎∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．]‎ ‎4．(2019·武汉5月模拟)数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6＝(　　)‎ A．32 B．62‎ C．63 D．64‎ C　[数列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，‎ 因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，‎ 所以＝2，所以{an＋1}为等比数列，首项为2，公比为2.‎ 所以an＋1＝2n即an＝2n－1，故a6＝63，故选C.]‎ ‎5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N＋)，则数列{nan}中数值最小的项是(　　)‎ A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 B　[∵Sn＝n2－10n，‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；‎ 当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．‎ ‎∴an＝2n－11(n∈N＋)．‎ 记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，‎ 此函数图像的对称轴为直线n＝，但n∈N＋，‎ ‎∴当n＝3时，f(n)取最小值．‎ ‎∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]‎ 二、填空题 ‎6．已知数列，，，，，…，则5是它的第________项．‎ ‎21　[数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，‎ 所以通项公式为an＝＝，‎ 令＝5，得n＝21.]‎ ‎7．若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1,2，…)，则a3等于________．‎ ‎15　[令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由an＋1＝(2n＋1)an，得a3＝‎5a2＝5×3＝15.]‎ ‎8．在一个数列中，如果任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.‎ ‎28　[∵a‎1a2a3＝8，且a1＝1，a2＝2.‎ ‎∴a3＝4，同理可求a4＝1，a5＝2.‎ a6＝4，∴{an}是以3为周期的数列，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(1＋2＋4)×4＝28.]‎ 三、解答题 ‎9．(2019·洛阳模拟)已知数列{an}满足a1＝50，‎ an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)已知数列{bn}的前n项和为an，若bm＝50，求正整数m的值．‎ ‎[解]　(1)当n≥2时，‎ an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50‎ ‎＝2×＋50‎ ‎＝n2－n＋50.‎ 又a1＝50＝12－1＋50，‎ ‎∴{an}的通项公式为an＝n2－n＋50，n∈N＋.‎ ‎(2)b1＝a1＝50，‎ 当n≥2时，‎ bn＝an－an－1＝n2－n＋50－[(n－1)2－(n－1)＋50]＝2n－2，‎ 即bn＝.‎ 当m≥2时，令bm＝50，得‎2m－2＝50，解得m＝26.‎ 又b1＝50，‎ ‎∴正整数m的值为1或26.‎ ‎10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋，设bn＝Sn－3n，‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，‎ 即Sn＋1＝2Sn＋3n，‎ 由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，‎ 即bn＋1＝2bn，‎ 又b1＝S1－3＝a－3，‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N＋.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋，‎ 于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，‎ an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2‎ ‎＝2n－2，‎ 当n≥2时，‎ an＋1≥an⇒12×n－2＋a－3≥0⇒a≥－9，‎ 又a2＝a1＋3＞a1(a≠3)．‎ 综上，a的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．‎ ‎1．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，若bn＋1＝(n－λ)‎ ，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)‎ A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)‎ C．(－∞，2) D．(－∞，3)‎ C　[由an＋1＝，知＝＋1，即＋1＝2，所以数列是首项为 ‎＋1＝2，公比为2的等比数列，所以＋1＝2n，所以bn＋1＝(n－λ)·2n，因为数列{bn}是递增数列，所以bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)2n－1＝(n＋1－λ)‎ ‎2n－1＞0对一切正整数n恒成立，所以λ＜n＋1，‎ 因为n∈N＋，所以λ＜2，故选C.]‎ ‎2．(2019·临沂三模)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N＋)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 019项的和为(　　)‎ A．672 B．673‎ C．1 346 D．2 019‎ C　[由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各项除以2的余数，可得{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，…，所以{an}是周期为3的周期数列，‎ 一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，‎ 因为2 019＝673×3，‎ 所以数列{an}的前2 019项的和为673×2＝1 346，故选C.]‎ ‎3．(2019·晋城三模)记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3an＋2n－3，则数列{an}的通项公式为an＝________.‎ an＝2－n　[当n＝1时，S1＝a1＝‎3a1－1，解得a1＝；当n≥2时，Sn＝3an＋2n－3，‎ Sn－1＝3an－1＋2n－5，两式相减可得，‎ an＝3an－3an－1＋2，故an＝an－1－1，设an＋λ＝(an－1＋λ)，故λ＝－2，即an－2＝(an－1－2)，故＝.故数列{an－2}是以－为首项，为公比的等比数列，故an－2＝－·n－1，故an＝2－n.]‎ ‎4．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an ‎(n∈N＋)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，‎ ‎∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，‎ ‎∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，‎ 即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，‎ ‎∴＝＝…＝＝1，‎ ‎∴an＝n(n∈N＋)．‎ ‎(2)由(1)知bn＝3n－λn2.‎ bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)‎ ‎＝2·3n－λ(2n＋1)．‎ ‎∵数列{bn}为递增数列，‎ ‎∴2·3n－λ(2n＋1)>0，‎ 即λ<.令cn＝，‎ 即＝·＝>1.‎ ‎∴{cn}为递增数列，‎ ‎∴λ