【数学】2021届一轮复习北师大版（理）3全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”作业 6页

全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知命题p：存在x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)‎ A．p是假命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)≤0‎ B．p是假命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)＞0‎ C．p是真命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)≤0‎ D．p是真命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)＞0‎ B　[因为3x＞0，所以3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，所以p是假命题，綈p：‎ 任意x∈R，log2(3x＋1)＞0.故应选B.]‎ ‎2．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)‎ A．命题綈p是真命题 B．命题p是特称命题 C．命题p是全称命题 D．命题p既不是全称命题也不是特称命题 C　[该命题是全称命题且是真命题．故选C.]‎ ‎3．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过‎2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过‎2米”，则命题p或q表示(　　)‎ A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过‎2米 B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过‎2米 C．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过‎2米 D．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过‎2米 D　[∵命题p表示“甲的试跳成绩超过‎2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过‎2米”，∴命题p或q表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过‎2米”，故选D.]‎ ‎4．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是(　　)‎ A．“p或q”为真命题　 B．“p且q”为真命题 C．“綈p”为真命题 D．“綈q”为假命题 A　[由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“綈p”为假命题，“綈q”为真命题．综上所述，可知选A.]‎ ‎5．(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题：‎ P1：存在x∈R，sin x＋cos x＝2；‎ P2：存在x∈R，sin 2x＝sin x；‎ P3：任意x∈，＝cos x；‎ P4：任意x∈(0，π)，sin x＞cos x.‎ 其中真命题是(　　)‎ A．P1，P4 B．P2，P‎3　‎　‎ C．P3，P4 D．P2，P4‎ B　[因为sin x＋cos x＝sin，所以sin x＋cos x的最大值为，可得不存在x∈R，使sin x＋cos x＝2成立，得命题P1是假命题；‎ 因为存在x＝kπ(k∈Z)，使sin 2x＝sin x成立，故命题P2是真命题；‎ 因为＝cos2x，所以＝|cos x|，结合x∈得cos x≥0，由此可得＝cos x，得命题P3是真命题；‎ 因为当x＝时，sin x＝cos x＝，不满足sin x＞cos x，所以存在x∈(0，π)，使sin x＞cos x不成立，故命题P4是假命题．故选B.]‎ ‎6．(2019·安徽芜湖、马鞍山联考)已知命题p：存在x∈R，x－2＞lg x，命题q：任意x∈R，ex＞x，则(　　)‎ A．命题p或q是假命题 B．命题p且q是真命题 C．命题p且(綈q)是真命题 D．命题p或(綈q)是假命题 B　[显然，当x＝10时，x－2＞lg x成立，所以命题p为真命题．设f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以f(x)≥f(0)＝1＞0，所以任意x∈R，ex＞x，所以命题q为真命题．故命题p且q是真命题，故选B.]‎ ‎7．(2019·福建三校联考)若命题“存在x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜‎0”‎是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－，] B．(－∞，－]∪[，＋∞)‎ C．(－∞，－] D．[，＋∞)‎ A　[命题“存在x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜‎0”‎是假命题，即“任意x∈R,3x2＋2ax＋1≥‎0”‎是真命题，‎ 故Δ＝‎4a2－12≤0，解得－≤a≤.]‎ 二、填空题 ‎8．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“存在x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠‎0”‎是假命题，则f(a＋b)＝________.‎ ‎0　[若“存在x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠‎0”‎是假命题，则“任意x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝‎0”‎是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，‎ 则a＋b＝0，‎ 即f(a＋b)＝f(0)＝0.]‎ ‎9．以下四个命题：‎ ‎①任意x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②存在x0∈Q，x＝2；③存在x0∈R，x＋1＝0；④任意x∈R,4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．‎ ‎0　[∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2＞0，‎ ‎∴当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，‎ ‎∴①为假命题；‎ 当且仅当x＝±时，x2＝2，‎ ‎∴不存在x0∈Q，使得x＝2，∴②为假命题；‎ 对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；‎ ‎4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，‎ 即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，‎ ‎∴④为假命题，∴①②③④均为假命题．‎ 故真命题的个数为0.]‎ ‎10．已知命题p：存在x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p且q为假命题，则实数m的取值范围为________．‎ ‎(－∞，－2]∪(－1，＋∞)　[由命题p：存在x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，可得m≤－1；由命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，可得－2＜m＜2，因为p且q为假命题，所以m≤－2或m＞－1.]‎ ‎1．(2019·惠州第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则任意x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是(　　)‎ A．p为假命题 B．綈q为真命题 C．p或q为真命题 D．p且q为假命题 C　[函数f(x)不是偶函数，仍然可存在x∈R，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝在R上是增函数，q为假命题．所以p或q为假命题，故选C.]‎ ‎2．(2019·湖北荆州调研)已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命 题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4，给出下列命题：①p且q；②p或q；③p且(綈 q)；④(綈p)或(綈q)，则其中真命题的个数为(　　)‎ A．1　　 B．2 ‎ C．3　　 D．4‎ C　[由于Δ＝‎4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋的值为负值，故命题q为假命题．所以p或q，p且(綈q)，(綈p)或(綈q)是真命题，故选C.]‎ ‎3．若存在x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．‎ ‎(－∞，2]　[因为存在x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，所以任意x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即任意x∈，使得λ≤2x ‎＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)≥f ＝2，则λ≤2.]‎ ‎4．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：＞1，若“(綈q)且p”为真，则x 的取值范围是________．‎ ‎(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)　[因为“(綈q)且p”为真，即q假p真，而q为 真命题时，＜0，即2＜x＜3，所以q为假命题时，有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由 得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，‎ 所以x的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．]‎ ‎1．(2019·黄冈模拟)下列四个命题：‎ ‎①若x＞0，则x＞sin x恒成立；‎ ‎②命题“若x－sin x＝0，则x＝‎0”‎的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠‎0”‎；‎ ‎③“命题p且q为真”是“命题p或q为真”的充分不必要条件；‎ ‎④命题“任意x∈R，x－ln x＞‎0”‎的否定是“存在x0∈R，x0－ln x0＜‎0”‎．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1　　 B．2 ‎ C．3　　 D．4‎ C　[对于①，令y＝x－sin x，则y′＝1－cos x≥0，则函数y＝x－sin x在R上递增，即当x＞0时，x－sin x＞0－0＝0，则当x＞0时，x＞sin x恒成立，故①正确；‎ 对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝‎0”‎的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠‎0”‎，故②正确；‎ 对于③，命题p或q为真即p，q中至少有一个为真，p且q为真即p，q 都为真，可知“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故③正确；‎ 对于④，命题“任意x∈R，x－ln x＞‎0”‎的否定是“存在x0∈R，x0－ln x0≤‎0”‎，故④错误．‎ 综上，正确命题的个数为3，故选C.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1，x≥2)．‎ ‎(1)若存在x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为________．‎ ‎(2)若任意x1∈[2，＋∞)，存在x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________．‎ ‎(1)[3，＋∞)　(2)(1，]　[(1)∵f(x)＝＝(x－1)＋＋1，‎ ‎∵x≥2，∴x－1≥1，‎ ‎∴f(x)≥2＋1＝3.‎ 当且仅当x－1＝，即x－1＝1，x＝2时等号成立．‎ ‎∴m∈[3，＋∞)．‎ ‎(2)∵g(x)＝ax(a＞1，x≥2)，∴g(x)min＝g(2)＝a2.‎ ‎∵任意x1∈[2，＋∞)，存在x2∈[2，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，‎ ‎∴g(x)min≤f(x)min，∴a2≤3，即a∈(1，]．]‎