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- 2021-06-11 发布
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模块综合测评
(满分:150分 时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)
1.如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为( )
A.1 B.0
C.-1 D.-1或1
B [由题意知,∴m=0.]
2.演绎推理“ 因为对数函数y=logax(a>0且a≠ 1)是增函数,而函数y=logx是对数函数,所以y=logx是增函数” 所得结论错误的原因是( )
【导学号:31062245】
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.大前提和小前提都错误
A [对数函数y=logax(a>0,且a≠1),当a>1时是增函数,当00,故选项D正确.故选D.]
8.用数学归纳法证明不等式++…+>(n>1,n∈ N*)的过程中,从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是( ) 【导学号:31062246】
8
A. B.-
C.+ D.
B [从n=k到n=k+1左边增加了+减少了,∴需增加的代数式为+-=-.]
9.已知结论:“ 在正三角形ABC中,若D是BC的中点,G是三角形ABC的重心,则=2”. 若把该结论推广到空间,则有结论:在棱长都相等的四面体ABCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等,则等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
C [面的重心类比几何体的重心,平面类比空间,=2类比=3,故选C.]
10.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
D [由甲说:“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀,1个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.
故选D.]
11.如图2,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n个图形中顶点个数为 ( )
图2
A.(n+1)(n+2) B.(n+2)(n+3)
8
C.n2 D.n
B [第一个图形共有12=3×4个顶点,第二个图形共有20=4×5个顶点,第三个图形共有30=5×6个顶点,第四个图形共有42=6×7个顶点,故第n个图形共有(n+2)(n+3)个顶点.]
12.已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x),则当a>0时,f(a)和eaf(0)的大小的关系为( )
【导学号:31062247】
A.f(a)eaf(0)
C.f(a)=eaf(0) D.f(a)≤eaf(0)
B [令g(x)=e-xf(x),则g′(x)=e-x[f′(x)-f(x)]>0.
所以g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,g(a)>g(0).e-af(a)>e0f(0),即f(a)>eaf(0),故选B.]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)·(1+i)=bi,则|a+bi|=________.
[解析] 由(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,得解方程组,得a=1,b=2,则a+bi=1+2i.
∴|a+bi|==.
[答案]
14.由抛物线y=x2,直线x=1,x=3和x轴所围成的图形的面积是
________.
[解析] 如图所示,S=
[答案]
15.观察下列不等式
1+<,
1++<,
1+++<,
……
照此规律,第五个不等式为________.
[解析] 左边的式子的通项是1+++…+
8
,右边式子的分母依次增加1,分子依次增加2,还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系,所以第五个不等式为1+++++<.
[答案] 1+++++<
16.设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是________.(写出所有正确条件的编号)
【导学号:31062248】
①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;
③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.
[解析] 令f(x)=x3+ax+b,求导得f ′(x)=3x2+a,当a≥0时,f ′(x)
≥0,所以f(x)单调递增,且至少存在一个数使f(x)<0,至少存在一个数使f(x)>0,所以f(x)=x3+ax+b必有一个零点,即方程x3+ax+b=0仅有一根,故④⑤正确;当a<0时,若a=-3,则f ′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),易知,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在[-1,1]上单调递减,所以f(x)极大=f(-1)=-1+3+b=b+2,f(x)极小=f(1)=1-3+b=b-2,要使方程仅有一根,则f(x)极大=b+2<0或者f(x)极小=b-2>0,解得b<-2或b>2,故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.
[答案] ①③④⑤
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0用分析法证明:≥.
[证明] 因为a>0,b>0,
要证≥,
只要证,(a+b)2≥4ab,只要证(a+b)2-4ab≥0,
即证a2-2ab+b2≥0,
而a2-2ab+b2=(a-b)2≥0恒成立,
故≥成立.
18.(本小题满分12分)已知z∈C,且|z|-i=+2+3i(i为虚数单位),求复数的虚部.
[解] 设z=x+yi(x,y∈R),代入方程|z|-i=+2+3i,
得出-i=x-yi+2+3i=(x+2)+(3-y)i,
故有,解得,
8
∴z=3+4i,复数==2+i,虚部为1.
19.(本小题满分12分)设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
【导学号:31062249】
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
[解] (1)当m=1时,f(x)=-x3+x2,
f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1.
令f′(x)=0,解得x=1-m或x=1+m.
因为m>0,所以1+m>1-m.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,1-m)
1-m
(1-m,1+m)
1+m
(1+m,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
极小值
极大值
所以f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)内是减函数,在(1-m,1+m)内是增函数.
函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),
且f(1-m)=-m3+m2-.
函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),
且f(1+m)=m3+m2-.
20.(本小题满分12分) 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则当该商品零售价定为多少元时利润最大,并求出利润的最大值.
[解] 设商场销售该商品所获利润为y元,则
y=(p-20)(8 300-170p-p2)
=-p3-150p2+11 700p-166 000(p≥20),
则y′=-3p2-300p+11 700.
令y′=0得p2+100p-3 900=0,解得p=30或p=-130(舍去).
则p,y,y′变化关系如下表:
p
(20,30)
30
(30,+∞)
8
y′
+
0
-
y
极大值
故当p=30时,y取极大值为23 000元.
又y=-p3-150p2+11 700p-166 000在[20,+∞)上只有一个极值,故也是最值.所以该商品零售价定为每件30元,所获利润最大为23 000元.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
【导学号:31062250】
[解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为
f=ln +a=-ln a+a-1.
因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.
于是,当01时,g(a)>0.
因此a的取值范围是(0,1).
22.(本小题满分12分)在各项为正的数列{an}中,数列的前n项和Sn满足Sn=.
(1)求a1,a2,a3;
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.
【导学号:31062251】
[解] (1)由S1=a1=得a=1,
8
∵an>0,∴a1=1.
由S2=a1+a2=得a+2a2-1=0.
∴a2=-1.
由S3=a1+a2+a3=得a+2a3-1=0.∴a3=-.
(2)猜想an=-(n∈N*).
证明如下:①n=1时,a1=-命题成立.
②假设n=k时,ak=-成立,
则n=k+1时,
ak+1=Sk+1-Sk=-,
即ak+1=--+=-
∴a+2ak+1-1=0.∴ak+1=-.
即n=k+1时,命题成立,
由①②知,n∈N*,an=-.
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