2020高中数学 课时分层作业3 充分条件与必要条件 充要条件 新人教A版选修2-1 4页

课时分层作业(三) 充分条件与必要条件 充要条件 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝‎3”‎是“A⊆B”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝‎3”‎是“A⊆B”的充分不必要条件．]‎ ‎2．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>‎1”‎是“{an}为递增数列”的(　　) ‎ ‎【导学号：46342019】‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 D　[当数列{an}的首项a1<0时，若q>1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1<0时，要使数列{an}为递增数列，则0‎1”‎是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．]‎ ‎3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)‎ A．m＝－2　　　　 B．m＝2‎ C．m＝－1 D．m＝1‎ A　[由函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称可得－＝1，即m＝－2，且当m＝－2时，函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，故选A.]‎ ‎4．设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件．s是r的充要条件，则s是p的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由题可知，pqr⇔s，则p⇒s，sp，故s是p的必要不充分条件．]‎ ‎5．若x>‎2m2‎－3是－1‎2m2‎－3是－1‎0”‎是“函数y＝ax2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增的________条件．” ‎ ‎【导学号：46342020】‎ 充分不必要　[当a>0时，y＝a2＋1－，在上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．‎ 当a＝0时，此时y＝x＋1, 在R上单调递增，‎ 因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．‎ 综上，“a>0”是“函数y＝ax2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．]‎ ‎8．若p：x(x－3)<0是q：2x－3b成立的充分不必要条件是(　　)‎ A．a≥b＋1 B．a>b－1‎ C．a2>b2 D．a3>b3‎ A　[由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a>ba≥b＋1，故A正确．]‎ ‎2．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)‎ A．a<0 B．a>0‎ C．a<－1 D．a<1‎ C　[一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，故选C．]‎ ‎3．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<‎0”‎的________条件. ‎ ‎【导学号：46342022】‎ 充分不必要　[∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.‎ ‎∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.‎ 反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，‎ 当〈m，n〉∈时，m，n不共线．‎ 故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<‎0”‎的充分而不必要条件．]‎ ‎4．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q 4‎ ‎＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________．‎ ‎(3，＋∞)　[因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，‎ f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，‎ 所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.‎ 又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，‎ 所以2－t<－1，即t>3.]‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.‎ ‎[证明]　充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，‎ 显然，当n＝1时，也成立．‎ 因为p≠0，且p≠1，‎ 所以＝＝p，‎ 即数列{an}为等比数列，‎ 必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．‎ 因为p≠0，且p≠1，‎ 所以＝＝p.‎ 因为{an}为等比数列，‎ 所以＝＝p，即＝p.‎ 所以－p＝pq，即q＝－1.‎ 所以数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.‎ 4‎