高中数学第6章（第16课时）不等式小结与复习（1） 6页

课 题：不等式小结与复习（1）‎ 教学目的：‎ ‎1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法； ‎ ‎2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；‎ ‎3．掌握含绝对值的不等式的性质；‎ ‎4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质 授课类型：复习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．基本不等式、极值定理；‎ ‎2．简述不等式证明的几种常用方法:比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造 二、讲解范例：‎ 例1 求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？‎ 解一： ，∴‎ 解二：当即时，‎ ‎ ‎ 答：以上两种解法均有错误 解一错在取不到“=”，即不存在使得；‎ 解二错在不是定值（常数）‎ 正确的解法是：‎ 当且仅当即时 例2 若，求的最值 解：‎ ‎∵ ∴ ‎ 从而 ‎ 即 例3设且，求的最大值 解：∵ ∴‎ 又，∴‎ 即 ‎ 例4 已知且，求的最小值 解：‎ ‎ ‎ 当且仅当即时 例5 将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？‎ 解：设剪去的小正方形的边长为则其容积为 当且仅当即时取“=”‎ 即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为 例6 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小 解一：‎ ‎ ‎ ‎∵0 < 1 - x2 < 1, ∴‎ ‎∴‎ 解二：‎ ‎∵0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, ∴ ‎ ‎∴ ∴‎ 解三：∵0< x <1，∴0 < 1 - x < 1, 1< 1 + x < 2, ∴‎ ‎∴左 - 右 = ‎ ‎∵0< 1 - x2 <1, 且0< a <1 ∴ ∴‎ 例7 已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd 证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数 ‎∴要证：xy≥ac + bd 只需证：(xy)2≥(ac + bd)2‎ 即 (a2 + b2)(c2 + d2)≥a‎2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得：a‎2c2 + b2d2 + a2d2 + b‎2c2≥a‎2c2 + b2d2 + 2abcd 即 a2d2 + b‎2c2≥2abcd ‎ 由基本不等式，显然成立,∴xy≥ac + bd 证二：（综合法）xy =‎ ‎ ≥‎ 证三：（三角代换法）∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsina, b = xcosa ‎∵y2 = c2 + d‎2 ‎ ∴不妨设 c = ysinb, d = ycosb ‎ ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy 例8 已知x1, x2均为正数，求证：‎ 证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：‎ 即 ‎ 再平方 ‎ ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ P ‎ M 化简整理得 （显然成立） ∴原式成立 证二：（反证法）假设 化简可得 （不可能）∴原式成立 证三：（构造法）构造矩形ABCD，使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2‎ 当ÐAPB = ÐDPC时，AP + PD为最短取BC中点M，有ÐAMB = ÐDMC, BM = MC =,∴ AP + PD ≥ AM + MD 即 ‎ ‎∴‎ 三、课堂练习：‎ ‎1．求下列函数的最值：‎ ‎1° (min=6)‎ ‎2° ()‎ ‎2．1°时求的最小值，的最小值 ‎2°设，求的最大值(5)‎ ‎3°若, 求的最大值 ‎4°若且，求的最小值 ‎3．若，求证：的最小值为3‎ ‎4．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和 高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）‎ 四、小结 ：‎ 五、课后作业：‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎