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- 2021-06-11 发布
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数 学
A单元 集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1．A1[2016·北京卷] 已知集合A＝{x|25}，则A∩B＝( )
A．{x|25}
C．{x|25}
1．C [解析] A∩B＝{x|25}＝{x|20，n∈N*，
所以ST≤a1＋a2＋…＋ak＝1＋3＋…＋3k－1＝(3k－1)<3k.
因此，ST1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．A [解析] 当x＞1且y＞1时，必有x＋y＞2，但当x＋y＞2时，不一定有x＞1且y＞1，故选A.
6．G3、A2[2016·山东卷] 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．A [解析] 当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点．
5．A2、E2[2016·天津卷] 设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．C [解析] 由x>|y|可得－x|y|可得x>y，必要性成立；当x＝1，y＝－3时，x>y成立，x>|y|不成立，即充分性不成立．
6．A2、B5[2016·浙江卷] 已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．A [解析] 当b<0，且x＝－>0时，f(x)取得最小值－，则f(x)的值域为[－，＋∞），则f(x)＝－时，f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等，故是充分条件；当b＝0时，f(x)＝x2，f(f(x))＝x4的最小值都是0，故不是必要条件．故选A.
15．A2[2016·上海卷] 设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
15．A [解析] 由a>1可得a2>1.由a2>1可得a>1或a<－1.所以“a>1”是“a2>1”的充分非必要条件．
20．B12，A2[2016·北京卷] 设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；
(3)求证：a2－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．
20．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
因为f(0)＝c，f′(0)＝b，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c.
(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，
所以f′(x)＝3x2＋8x＋4.
令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－.
f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－)
－
(－，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
c
c－
所以当c>0且c－<0时，存在x1∈(－4，－2)，x2∈(－2，－)，
x3∈(－，0)，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.
由f(x)的单调性知，当且仅当c∈(0，)时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点．
(3)证明：当Δ＝4a2－12b<0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b>0，x∈(－∞，＋∞)，
此时函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)不可能有三个不同零点．
当Δ＝4a2－12b＝0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b只有一个零点，记作x0.
当x∈(－∞，x0)时，f′(x)>0，f(x)在区间(－∞，x0)上单调递增；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在区间(x0，＋∞)上单调递增．
所以f(x)不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，则必有Δ＝4a2－12b>0，
故a2－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件．
当a＝b＝4，c＝0时，a2－3b>0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2只有两个不同零点，所以a2－3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件．
因此a2－3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．
A3 基本逻辑联结词及量词
A4 单元综合
1. [2016·襄阳1月调研]已知集合A＝{0，1}，B＝，且A⊆B，则a等于( )
A. 1 B. －2或1
C. －2 D. －2或－1
1. B [解析] ∵A＝{0，1}，且A⊆B，∴a2＋a－1＝1，解得a＝－2或a＝1.
1. [2016·佛山质检]已知a，b都是实数，那么“>”是“ln a>ln b”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
1. B [解析] ln a>ln b⇒a>b>0⇒>；而>时，若a>0，b＝0，则ln b无意义，所以“>”是“ln a>ln b”的必要不充分条件．
1. [2016·绍兴质检]命题“∀x∈R，sin x≥1”的否定是( )
A. ∀x∈R，sin x≤1 B. ∀x∈R，sin x＜1
C. ∃x0∈R，sin x0≤1 D. ∃x0∈R，sin x0＜1
1. D [解析] 全称命题的否定是特称命题，所以只需将“∀”改为“∃”，将“≥”变成“<”即可．
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