高中数学人教a版选修1-1学业分层测评15导数的计算（2课时）word版含解析 7页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列结论不正确的是( ) A．若 y＝3，则 y′＝0 B．若 f(x)＝3x＋1，则 f′(1)＝3 C．若 y＝－ x＋x，则 y′＝－ 1 2 x ＋1 D．若 y＝sin x＋cos x，则 y′＝cos x＋sin x 【解析】 ∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x．故选 D. 【答案】 D 2．函数 y＝( x＋1)( x－1)的导数等于( ) A．1 B．－ 1 2 x C. 1 2x D．－ 1 4x 【解析】 因为 y＝( x＋1)( x－1)＝x－1，所以 y′＝x′－1′ ＝1. 【答案】 A 3．曲线 y＝ x x＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 【解析】 ∵y′＝x′x＋2－xx＋2′ x＋22 ＝ 2 x＋22 ， ∴k＝y′|x＝－1＝ 2 －1＋22 ＝2， ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)， 即 y＝2x＋1.故选 A. 【答案】 A 4．已知曲线 y＝x2 4 －3ln x 的一条切线的斜率为1 2 ，则切点的横坐 标为( ) A．3 B．2 C．1 D.1 2 【解析】 因为 y′＝x 2 －3 x ，所以由导数的几何意义可知，x 2 －3 x ＝1 2 ，解得 x＝3(x＝－2 不合题意，舍去)． 【答案】 A 5．函数 f(x)＝x3 的斜率等于 1 的切线有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．不确定 【解析】 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则 3x20＝1，得 x0 ＝± 3 3 ，即在点 3 3 ， 3 9 和点 － 3 3 ，－ 3 9 处有斜率为 1 的切线．故 选 B. 【答案】 B 二、填空题 6．已知 f(x)＝5 2x2，g(x)＝x3，若 f′(x)－g′(x)＝－2，则 x＝ ________. 【导学号：26160079】 【解析】 因为 f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以 5x－3x2＝－2， 解得 x1＝－1 3 ，x2＝2. 【答案】 －1 3 或 2 7．若曲线 y＝x－1 2 在点(a，a－1 2 )处的切线与两个坐标轴围成的三 角形的面积为 18，则 a＝________. 【解析】 ∵y＝x－1 2 ，∴y′＝－1 2x－3 2 ， ∴曲线在点(a，a－1 2 )处的切线斜率 k＝－1 2a－3 2 ， ∴切线方程为 y－a－1 2 ＝－1 2a－3 2 (x－a)． 令 x＝0 得 y＝3 2a－1 2 ；令 y＝0 得 x＝3a. ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝1 2·3a· 3 2 a－1 2 ＝9 4a 1 2 ＝18，∴a＝64. 【答案】 64 8．已知函数 f(x)＝f′ π 4 cos x＋sin x，则 f π 4 的值为________． 【解析】 ∵f′(x)＝－f′ π 4 sin x＋cos x， ∴f′ π 4 ＝－f′ π 4 × 2 2 ＋ 2 2 ， 得 f′ π 4 ＝ 2－1. ∴f(x)＝( 2－1)cos x＋sin x，∴f π 4 ＝1. 【答案】 1 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sin x； (3)y＝ex＋1 ex－1. 【解】 (1)法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x ＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1. 法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′＝(x2sin x)′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (3)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ ex－12 ＝exex－1－ex＋1ex ex－12 ＝ －2ex ex－12. 10．设 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1 的导数 f′(x)满足 f′(1)＝2a，f′(2) ＝－b，其中常数 a，b∈R.求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 【解】 因为 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1， 所以 f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令 x＝1，得 f′(1)＝3＋2a＋b，又 f′(1)＝2a， 所以 3＋2a＋b＝2a，解得 b＝－3. 令 x＝2，得 f′(2)＝12＋4a＋b，又 f′(2)＝－b，所以 12＋4a＋ b＝－b，解得 a＝－3 2. 所以 f(x)＝x3－3 2x2－3x＋1，从而 f(1)＝－5 2. 又 f′(1)＝2× －3 2 ＝－3，所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切 线方程为：y－ －5 2 ＝－3(x－1)，即 6x＋2y－1＝0. [能力提升] 1．已知直线 y＝kx 是曲线 y＝ex 的切线，则实数 k 的值为( ) A. 1 e B．－1 e C．－e D．e 【解析】 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 y0＝kx0， y0＝ex0， k＝ex0， ∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.故选 D. 【答案】 D 2．若 f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)， n∈N，则 f2 016(x)＝( ) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 【解析】 因为 f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′ ＝cos x，所以循环周期为 4，因此 f2 016(x)＝f4(x)＝sin x. 【答案】 A 3．已知 f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则 f′(0)＝ ________. 【解析】 因为 f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6， 所以 f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋ 4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)·(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋ x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)， 所以 f′(0)＝1×2×3×4×5＝120. 【答案】 120 4．设函数 f(x)＝ax－b x ，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程 为 7x－4y－12＝0. (1)求 f(x)的解析式； (2)求证：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 【导学号：26160080】 【解】 (1)7x－4y－12＝0 可化为 y＝7 4x－3. 当 x＝2 时，y＝1 2.又 f′(x)＝a＋b x2， 于是 2a－b 2 ＝1 2 ， a＋b 4 ＝7 4 ， 解得 a＝1， b＝3. 故 f(x)＝x－3 x. (2)证明：设点 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋3 x2可知曲 线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线方程为：y－y0＝ 1＋3 x20 (x－x0)，即 y － x0－3 x0 ＝ 1＋3 x20 (x－x0)． 令 x＝0，得 y＝－ 6 x0 ，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为 0，－6 x0 .令 y＝x，得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标 为(2x0,2x0)． 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面 积为1 2·|－6 x0|·|2x0|＝6. 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 围成的三角 形的面积为定值，此定值为 6.