高中数学必修1示范教案（1_2 指数函数及其性质 第3课时） 11页

第3课时 指数函数及其性质（3）‎ 导入新课 思路1.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的图象之间的关系,由其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对y=ax与y=ax+m(a>0,m∈R)有着怎样的关系呢?在理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?这是我们本堂课研究的内容.教师点出课题:指数函数及其性质（3）.‎ 思路2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们在解题时应用这些性质,在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题也是我们本堂课要解决的问题——指数函数及其性质（3）.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎(1)指数函数有哪些性质?‎ ‎(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?‎ ‎(3)对复合函数,如何证明函数的单调性?‎ ‎(4)如何判断函数的奇偶性,有哪些方法?‎ 活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容.‎ 讨论结果：(1)指数函数的图象和性质 一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：‎ a>1‎ ‎00时,y>1;x<0时,00时,01‎ ‎（5）在R上是增函数 ‎（5）在R上是减函数 ‎(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：‎ ‎①取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.‎ ‎②作差变形.即求f（x2）－f（x1）,通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.‎ ‎③定号.根据给定的区间和x2－x1的符号确定f（x2）－f（x1‎ ‎）的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.‎ ‎④判断.根据单调性定义作出结论.‎ ‎(3)对于复合函数y=f(g(x))可以总结为:‎ 当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f(g(x))是增函数;‎ 当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时,复合函数y=f(g(x))是减函数;‎ 又简称为口诀“同增异减”.‎ ‎(4)判断函数的奇偶性:‎ 一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(-x)的关系,最后确定函数的奇偶性;‎ 二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.‎ 应用示例 思路1‎ 例1在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.‎ ‎(1)y=2x+1与y=2x+2;(2)y=2x-1与y=2x-2.‎ 活动：教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(0,1)点,或用计算机作图.‎ 解：(1)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12.‎ x ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2x ‎0.125‎ ‎0.25‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎2x+1‎ ‎0.25‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎2x+2‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ 图2-1-2-12‎ 比较可知函数y=2x+1、y=2x+2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x+2的图象.‎ ‎(2)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-13‎ x ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2x ‎0.125‎ ‎0.25‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎2x-1‎ ‎0.625‎ ‎0.125‎ ‎0.25‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎2x-2‎ ‎0.3125‎ ‎0.625‎ ‎0.125‎ ‎0.25‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎2‎ 图2-1-2-13‎ 比较可知函数y=2x-1、y=2x-2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x 的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x-1的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.‎ 点评：类似地,我们得到y=ax与y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之间的关系:‎ y=ax+m(a>0,m∈R)的图象可以由y=ax的图象变化而来.‎ 当m>0时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象;‎ 当m<0时,y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.‎ 上述规律也简称为“左加右减”.‎ 变式训练 为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象( )‎ A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 答案：B 点评：对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出.‎ 例2已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.‎ ‎（1）求a,b的值；‎ ‎（2）若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.‎ 活动：学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,（1）从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基础上求出f(x),转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化.‎ ‎（1）解：因为f(x)是奇函数,‎ 所以f(0)=0,即=0b=1,‎ 所以f(x)=;‎ 又由f（1）=-f（-1）知=a=2.‎ ‎（2）解法一：由（1）知f(x)==+,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.‎ 又因f(x)是奇函数,从而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,‎ 等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)为减函数,由上式推得：‎ t2-2t>k-2t2,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,‎ 从而判别式Δ=4+12k<0,‎ ‎∴k<.‎ 解法二：由（1）知f(x)=.‎ 又由题设条件得<0,‎ 即<0.‎ 整理得>1,因底数2>1,故3t2-2t-k>0,‎ 上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0,即k<-.‎ 点评：记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若f(x)为增(减)函数,则为减(增)函数.‎ 思路2‎ 例1‎ 设a>0,f(x)=在R上满足f(-x)=f(x).‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ 活动：学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导.‎ ‎(1)求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程.‎ ‎(2)证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式.‎ ‎(1)解：依题意,对一切x∈R有f(-x)=f(x)成立,即+aex=.‎ 所以=0对一切x∈R成立.由此可得=0,即a2=1.‎ 又因为a>0,所以a=1.‎ ‎(2)证明:设00,x2>0,x2-x1>0,得x2+x1>0,>0,1<0,‎ 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在（0,+∞）上是增函数.‎ 点评：在已知等式f(-x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出a,也可用特殊值求解.证明函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观.‎ 例2已知函数f(x)=3x,且x=a+2时,f(x)=18,g(x)=3的定义域为［0,1］.‎ ‎(1)求g(x)的解析式;‎ ‎(2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明;‎ ‎(3)求g(x)的值域.‎ 解：(1)因为f(x)=3x,且x=a+2时f(x)=18,‎ 所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2.‎ 所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x.‎ 所以g(x)=2x-4x.‎ ‎(2)因为函数g(x)的定义域为［0,1］,令t=2x,因为x∈［0,1］时,函数t=2x在区间［0,1］上单调递增,‎ 所以t∈［1,2］,则g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t∈［1,2］.‎ 因为函数t=2x在区间［0,1］上单调递增,函数g(t)=t-t2在t∈［1,2］上单调递减,‎ 所以函数g(x)在区间［0,1］上单调递减.‎ 证明:设x1和x2是区间［0,1］上任意两个值,且x11,所以函数y=3x在R上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.‎ ‎(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y=0.75x,当x=-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y=0.75x在R上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.‎ ‎(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y=1.01x,当x=2.7和3.5时的函数值；因为1.01>1,所以函数y=1.01x在R上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.‎ ‎(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0.99x,当x=3.3和4.5时的函数值；因为0.99<1,所以函数y=0.99x在R上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.‎ ‎8.(1)2m,2n可以看成函数y=2x,当x=m和n时的函数值;因为2>1,所以函数y=2x在R上是增函数.因为2m<2n,所以mn.‎ ‎(3)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为0n.‎ ‎(4)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为a>1,所以函数y=ax在R上是增函数.因为am>an,所以m>n.‎ 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.‎ ‎9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=().‎ 当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=()=()9≈0.002.‎ 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰,因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.‎ ‎(2)设大约经过t万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么()<0.001,解得t>5.7.‎ 答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.‎ B组 ‎1.当0＜a＜1时,‎ a2x-7＞a4x-12x-7＜4x－1x＞－3;‎ 当a＞1时,‎ a2x-7＞a4x-12x－7＞4x－1x＜－3.‎ 综上,当0＜a＜1时,不等式的解集是{x|x＞－3}；‎ 当a＞1时,不等式的解集是{x|x＜－3}.‎ ‎2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.‎ 解：(1)设y=x+x,‎ 那么y2=(x+x)2=x+x-1+2.‎ 由于x+x-1=3,所以y=.‎ ‎(2)设y=x2+x-2,‎ 那么y=(x+x-1)2-2.‎ 由于x+x-1=3,‎ 所以y=7.‎ ‎(3)设y=x2-x-2,‎ 那么y=(x+x-1)(x-x-1),‎ 而(x-x-1)2=x2-2+x-2=,‎ 所以y=±3.‎ 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口.‎ ‎3.解：已知本金为a元.‎ ‎1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r),‎ ‎2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)×r=a(1+r)2,‎ ‎3期后的本利和为y3=a(1+r)3,‎ ‎…‎ x期后的本利和为y=a(1+r)x.‎ 将a=1 000,r=0.022 5,x=5代入上式得 y=a(1+r)x=1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118.‎ 答:本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,5期后的本利和约为1 118元.‎ ‎4.解：(1)因为y1=y2,所以a3x+1=a-2x.‎ 所以3x+1=-2x.‎ 所以x=.‎ ‎(2)因为y1>y2,所以a3x+1>a-2x.所以当a>1时,3x+1>-2x.‎ 所以x>.‎ 所以当0