高科数学专题复习课件：第九章 9_9 第1课时圆锥曲线的综合问题 80页

§9.9 　 圆锥曲线的综合问题 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x ( 或 y ) 的一元方程： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( 或 ay 2 ＋ by ＋ c ＝ 0). (1) 若 a ≠ 0 ，可考虑一元二次方程的判别式 Δ ，有 ① Δ >0 ⇔ 直线与 圆锥曲线 ； ② Δ ＝ 0 ⇔ 直线与 圆锥曲线 ； ③ Δ <0 ⇔ 直线与 圆锥曲线 . 知识梳理 相交 相切 相离 (2) 若 a ＝ 0 ， b ≠ 0 ，即得到一个一元一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 E 相交，且只有一个交点， ① 若 E 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系 是 ； ② 若 E 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系 是 . 平行 平行或重合 2. 圆锥曲线的弦长 设斜率为 k ( k ≠ 0) 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点， 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交 . (2) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线 ； 知识 拓展 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线 . (3) 过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线 . 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 直线 l 与抛物线 y 2 ＝ 2 px 只有一个公共点，则 l 与抛物线相切 .( 　　 ) (2) 直线 y ＝ kx ( k ≠ 0) 与双曲线 x 2 － y 2 ＝ 1 一定相交 .( 　　 ) (3) 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点 .( 　　 ) (4) 直线与椭圆只有一个交点 ⇔ 直线与椭圆相切 .( 　　 ) (5) 过点 (2,4) 的直线与 椭圆 ＋ y 2 ＝ 1 只有一条切线 .( 　　 ) (6) 满足 “ 直线 y ＝ ax ＋ 2 与双曲线 x 2 － y 2 ＝ 4 只有一个公共点 ” 的 a 的值有 4 个 .( 　　 ) 思考辨析 × × √ √ × √ 1.(2016· 黑龙江鹤岗一中月考 ) 在同一平面直角坐标系中，方程 a 2 x 2 ＋ b 2 y 2 ＝ 1 与 ax ＋ by 2 ＝ 0( a > b >0) 表示的曲线大致 是 答案 解析 考点自测 ∴ 椭圆焦点在 y 轴上 . ∴ 抛物线焦点在 x 轴负半轴上，开口向左 . 2.( 2017· 青岛 月考 ) 直线 y ＝ kx － k ＋ 1 与 椭圆 的 位置关系 为 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D . 不确定 答案 解析 直线 y ＝ kx － k ＋ 1 ＝ k ( x － 1) ＋ 1 恒过定点 (1,1) ， 又 点 (1,1) 在椭圆内部，故直线与椭圆相交 . 3. 若直线 y ＝ kx 与 双曲线 相交 ，则 k 的取值范围 是 答案 解析 4. 已知倾斜角为 60° 的直线 l 通过抛物线 x 2 ＝ 4 y 的焦点，且与抛物线相交于 A ， B 两点，则弦 | AB | ＝ ________. 答案 解析 16 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 y 1 ＋ y 2 ＝ 14 ， ∴ | AB | ＝ y 1 ＋ y 2 ＋ p ＝ 14 ＋ 2 ＝ 16. 5.( 教材改编 ) 已知与向量 v ＝ (1,0) 平行的直线 l 与 双曲线 － y 2 ＝ 1 相交于 A ， B 两点，则 | AB | 的最小值为 ________. 解析 答案 4 由题意可设直线 l 的方程为 y ＝ m ， 即当 m ＝ 0 时， | AB | 有最小值 4. 题型分类　深度剖析 第 1 课时　 直线与圆锥曲线 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 例 1 　 (2016· 烟台模拟 ) 已知直线 l ： y ＝ 2 x ＋ m ，椭圆 C ： ＝ 1. 试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C ： (1) 有两个不重合的公共点； (2) 有且只有一个公共点； (3) 没有公共点 . 解答 几何画板展示 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联 立， 将 ① 代入 ② ，整理得 9 x 2 ＋ 8 mx ＋ 2 m 2 － 4 ＝ 0 . ③ 方程 ③ 根的判别式 Δ ＝ (8 m ) 2 － 4 × 9 × (2 m 2 － 4) ＝－ 8 m 2 ＋ 144. (1) 当 Δ >0 ，即－ 3 < m <3 时 ，方程 ③ 有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解 . 这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点 . ( 3) 当 Δ <0 ，即 m < － 3 或 m >3 时 ，方程 ③ 没有实数根，可知原方程组没有实数解 . 这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点 . ( 2) 当 Δ ＝ 0 ，即 m ＝ ± 3 时 ，方程 ③ 有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解 . 这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 . (1) 判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0. (2) 依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为 0 ，若为 0 ，则方程为一次方程；若不为 0 ，则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (2016· 全国乙卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y ＝ t ( t ≠ 0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) 于点 P ， M 关于点 P 的对称点为 N ，连接 ON 并延长交 C 于点 H . 解答 几何画板展示 (2) 除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由 . 解答 直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点，理由如下： 代入 y 2 ＝ 2 px 得 y 2 － 4 ty ＋ 4 t 2 ＝ 0 ，解得 y 1 ＝ y 2 ＝ 2 t ，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点 . 几何画板展示 题型二　 弦长问题 解答 (1) 当 | AM | ＝ | AN | 时，求 △ AMN 的面积 . 几何画板展示 设 M ( x 1 ， y 1 ) ，则由题意知 y 1 >0 ，由 | AM | ＝ | AN | 及椭圆的对称性知 ， 直线 AM 的倾斜角 为 . 证明 几何画板展示 将直线 AM 的方程 y ＝ k ( x ＋ 2)( k >0) 代入 ＝ 1 得 (3 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 16 k 2 x ＋ 16 k 2 － 12 ＝ 0 ， 设 f ( t ) ＝ 4 t 3 － 6 t 2 ＋ 3 t － 8 ， 则 k 是 f ( t ) 的零点， f ′ ( t ) ＝ 12 t 2 － 12 t ＋ 3 ＝ 3(2 t － 1) 2 ≥ 0 ， 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 设 F 1 ， F 2 分别是椭圆 E ： ＝ 1( a > b >0) 的左，右焦点，过 F 1 且斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A ， B 两点，且 | AF 2 | ， | AB | ， | BF 2 | 成等差数列 . 解答 (1) 求 E 的离心率； 由椭圆定义知 | AF 2 | ＋ | BF 2 | ＋ | AB | ＝ 4 a ， (2) 设点 P (0 ，－ 1) 满足 | PA | ＝ | PB | ，求 E 的方程 . 解答 设 AB 的中点为 N ( x 0 ， y 0 ) ，由 (1 ) 知 题型三　 中点弦问题 命题点 1 　利用中点弦确定直线或曲线方程 例 3 　 (1) 已知椭圆 E ： ＝ 1( a > b >0) 的右焦点为 F (3,0) ，过点 F 的直线交 E 于 A ， B 两点 . 若 AB 的中点坐标为 (1 ，－ 1) ，则 E 的方程 为 答案 解析 因为直线 AB 过点 F (3,0) 和点 (1 ，－ 1) ， 所以直线 AB 的方程为 y ＝ ( x － 3) ， (2) 已知 (4,2) 是直线 l 被 椭圆 ＝ 1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是 _____________. 答案 解析 设直线 l 与椭圆相交于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 又 x 1 ＋ x 2 ＝ 8 ， y 1 ＋ y 2 ＝ 4 ， 即 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0. 命题点 2 　由中点弦解决对称 问题 例 4 　 (2015· 浙江 ) 如图 已知椭圆 ＋ y 2 ＝ 1 上两个不同的点 A ， B 关于直线 y ＝ mx ＋ 对称 . 解答 (1) 求实数 m 的取值范围； 由题意知 m ≠ 0 ，可设直线 AB 的方程为 (2) 求 △ AOB 面积的最大值 ( O 为坐标原点 ). 解答 设 △ AOB 的面积为 S ( t ) ， 处理中点弦问题常用的求解方法 (1) 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 ， 三 个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率 . (2) 根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解 . (3) 解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点 A ， B 关于直线 l 对称，则 l 垂直直线 AB 且 A ， B 的中点在直线 l 上的应用 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 设抛物线过定点 A ( － 1,0) ，且以直线 x ＝ 1 为准线 . 解答 (1) 求抛物线顶点的轨迹 C 的方程； 设抛物线顶点为 P ( x ， y ) ，则焦点 F (2 x － 1 ， y ). 再根据抛物线的定义得 | AF | ＝ 2 ，即 (2 x ) 2 ＋ y 2 ＝ 4 ， 几何画板展示 (2) 若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M ， N ，且线段 MN 恰被直线 x ＝－ 平分 ，设弦 MN 的垂直平分线的方程为 y ＝ kx ＋ m ，试求 m 的取值范围 . 解答 几何画板展示 设弦 MN 的中点为 P ， M ( x M ， y M ) ， N ( x N ， y N ) ，则由点 M ， N 为椭圆 C 上的点， 两式相减，得 4( x M － x N )( x M ＋ x N ) ＋ ( y M － y N )( y M ＋ y N ) ＝ 0 ， 由点 P ( － ， y 0 ) 在线段 BB ′ 上 ( B ′ ， B 为直线 x ＝－ 与 椭圆的交点，如图所示 ) ， 课时作业 1.(2016· 泰安模拟 ) 斜率 为 的 直线与 双曲线 ＝ 1 恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围 是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A.[2 ，＋ ∞ ) B .(2 ，＋ ∞ ) C.(1 ， ) D.( ，＋ ∞ ) 要使直线与双曲线恒有两个公共点， 则渐近线的斜率的绝对值应大于 ， 即 e ∈ (2 ，＋ ∞ ) ，故选 B. 2. 直线 4 kx － 4 y － k ＝ 0 与抛物线 y 2 ＝ x 交于 A ， B 两点，若 | AB | ＝ 4 ，则弦 AB 的中点到直线 x ＋ ＝ 0 的距离 等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 易知直线 4 kx － 4 y － k ＝ 0 过抛物线 y 2 ＝ x 的焦点 ( ， 0) ， ∴ | AB | 为焦点弦 . 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 3. 斜率为 1 的直线 l 与 椭圆 ＋ y 2 ＝ 1 相交于 A ， B 两点，则 | AB | 的最大值 为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 A ， B 两点的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ，直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ t ， 4.(2017· 天津 质检 ) 直线 y ＝ x ＋ 3 与双曲线 ＝ 1 的交点个数是 A.1 B.2 C.1 或 2 D.0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 所以它与双曲线只有 1 个交点，故选 A. 5. 设 双曲线 ＝ 1( a >0 ， b >0) 的一条渐近线与抛物线 y ＝ x 2 ＋ 1 只有一个公共点，则双曲线的离心率 为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 已知 F 为抛物线 y 2 ＝ 8 x 的焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线 l 交抛物线于 A ， B 两点，则 || FA | － | FB || 的值 为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 依题意知 F (2,0) ，所以 直线 l 的方程为 y ＝ x － 2 ， 消去 y 得 x 2 － 12 x ＋ 4 ＝ 0. 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 x 2 ＝ 4 ， x 1 ＋ x 2 ＝ 12 ， 则 || FA | － | FB || ＝ |( x 1 ＋ 2) － ( x 2 ＋ 2)| 7.(2016· 安顺月考 ) 在抛物线 y ＝ x 2 上关于直线 y ＝ x ＋ 3 对称的两点 M ， N 的坐标分别为 _____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 ( － 2,4) ， (1,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设直线 MN 的方程为 y ＝－ x ＋ b ， 代入 y ＝ x 2 中，整理得 x 2 ＋ x － b ＝ 0 ， 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 ＋ x 2 ＝－ 1 ， 8. 已知抛物线 y 2 ＝ 4 x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2 ，则 | AB | 的最大值为 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 ＋ x 2 ＝ 4 ， 那么 | AF | ＋ | BF | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ 2 ， 又 | AF | ＋ | BF | ≥ | AB | ⇒ | AB | ≤ 6 ，当 AB 过焦点 F 时取得最大值 6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 9. 过 椭圆 ＝ 1 内 一点 P (3,1) ，且被这点平分的弦所在直线的方程是 _____________ _ . 3 x ＋ 4 y － 13 ＝ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设直线与椭圆交于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点， 由于 A ， B 两点均在椭圆上 ， 又 ∵ P 是 A ， B 的中点 ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 6 ， y 1 ＋ y 2 ＝ 2 ， ∴ 直线 AB 的方程为 y － 1 ＝－ ( x － 3). 即 3 x ＋ 4 y － 13 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 已知双曲线 C ： x 2 － ＝ 1 ，直线 y ＝－ 2 x ＋ m 与双曲线 C 的右支交于 A ， B 两点 ( A 在 B 的上方 ) ，且与 y 轴交于点 M ， 则 的 取值范围为 ______ _ ___. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意得方程在 [1 ，＋ ∞ ) 上有两个不相等的实根， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 )( x 1 < x 2 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(2016· 郑州模拟 ) 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 为 ， 且椭圆经过圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 2 y ＝ 0 的圆心 . (1) 求椭圆的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (2) 设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切，求直线 l 的方程 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由 (1) 得到椭圆的左，右焦点分别是 F 1 ( － 2,0) ， ∴ F 2 在 C 内，故过 F 2 没有圆 C 的切线，设 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ，即 kx － y ＋ 2 k ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (1) 求 M 的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， P ( x 0 ， y 0 ) ， 因为 x 1 ＋ x 2 ＝ 2 x 0 ， y 1 ＋ y 2 ＝ 2 y 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又由题意知， M 的右焦点为 ( ， 0) ， 故 a 2 － b 2 ＝ 3. 因此 a 2 ＝ 6 ， b 2 ＝ 3. 解答 (2) C ， D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD ⊥ AB ，求 四边形 ACBD 面积的最大值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 C ( x 3 ， y 3 ) ， D ( x 4 ， y 4 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得 3 x 2 ＋ 4 nx ＋ 2 n 2 － 6 ＝ 0. 因为直线 CD 的斜率为 1, 由已知，四边形 ACBD 的面积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13.(2016 · 广州 联 考 ) 已知点 P 是圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上任意一点，过点 P 作 PQ ⊥ y 轴于点 Q ，延长 QP 到点 M ， 使 . 解答 (1) 求点 M 的轨迹 E 的方程； ∴ P 为 QM 的中点，又 PQ ⊥ y 轴， ∵ 点 P 是圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上的点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 过点 C ( m, 0) 作圆 O 的切线 l ，交 (1) 中曲线 E 于 A ， B 两点，求 △ AOB 面积的最大值 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意可知直线 l 不与 y 轴垂直， 故可设 l ： x ＝ ty ＋ m ， t ∈ R ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). ∵ l 与圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相切， 得 ( t 2 ＋ 4) y 2 ＋ 2 mty ＋ m 2 － 4 ＝ 0. 其中 Δ ＝ (2 mt ) 2 － 4( t 2 ＋ 4)( m 2 － 4) ＝ 16( t 2 － m 2 ) ＋ 64 ＝ 48>0. 将 ①② 代入上式得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13