高考数学专题复习：课时达标检测(六十六) 不等式的证明 4页

课时达标检测(六十六) 不等式的证明 ‎1．已知函数f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，其最小值为t.‎ ‎(1)求t的值；‎ ‎(2)若正实数a，b满足a＋b＝t，求证：＋≥.‎ 解：(1)因为|x＋3|＋|x－1|＝|x＋3|＋|1－x|≥|x＋3＋1－x|＝4，所以f(x)min＝4，即t＝4.‎ ‎(2)证明：由(1)得a＋b＝4，故＋＝1，＋＝＝＋1＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当b＝‎2a，即a＝，b＝时取等号，故＋≥.‎ ‎2．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.‎ ‎(1)证明：<；‎ ‎(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．‎ 解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ 由－2<－2x－1<0解得－0.‎ 所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.‎ ‎3．(2017·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若α，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：＋≥3.‎ 解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|.‎ 要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2a2b＋ab2；‎ ‎(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.‎ 证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.‎ 因为a，b都是正数，‎ 所以a＋b>0.‎ 又因为a≠b，‎ 所以(a－b)2>0.‎ 于是(a＋b)(a－b)2>0，‎ 即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，‎ 所以a3＋b3>a2b＋ab2.‎ ‎(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，‎ 所以a2(b2＋c2)≥‎2a2bc.①‎ 同理，b2(a2＋c2)≥2ab‎2c.②‎ c2(a2＋b2)≥2abc2.③‎ ‎①②③相加得2(a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2)≥‎2a2bc＋2ab‎2c＋2abc2，从而a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2≥abc(a＋b＋c)．‎ 由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，‎ 因此≥abc(当且仅当a＝b＝c时取等号)．‎ ‎5．已知x，y∈R，且|x|<1，|y|<1.‎ 求证：＋≥.‎ 证明：∵≤ ‎＝≤＝1－|xy|，‎ ‎∴＋≥≥，‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎6．(2017·长沙模拟)设α，β，γ均为实数．‎ ‎(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；‎ ‎(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.‎ 证明：(1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；‎ ‎|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.‎ ‎(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|，‎ 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥cos 0＝1.‎ ‎7．(2017·重庆模拟)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.‎ 求证：(1)2ab＋bc＋ca＋≤；‎ ‎(2)＋＋≥2.‎ 证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，‎ 当且仅当a＝b时等号成立，‎ 所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.‎ ‎(2)因为≥，≥，≥，‎ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．‎ 所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥‎2a＋2b＋‎2c＝2，‎ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．‎ ‎8．(2017·贵阳模拟)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.‎ ‎(1)求f(x)的最小值m；‎ ‎(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.‎ 解：(1)当x<－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；‎ 当－1≤x<2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；‎ 当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．‎ 综上，f(x)的最小值m＝3.‎ ‎(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，‎ 因为＋＋＋(a＋b＋c)‎ ‎＝＋＋ ‎≥2＝2(a＋b＋c)．‎ ‎(当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号)‎ 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.‎