北师大版数学选修1-2练习（第3章）推理与证明（2）（含答案） 5页

第三章 推理与证明 同步练习(二) 说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内， 第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共 100 分，考试时间 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 27 分) 一、选择题(本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分) 1、由数列 1，10，100，1000，……猜测该数列的第 n 项可能是（ ） A、10n B、10n-1 C、10n+1 D、11n 2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的 下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ） ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三 角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶 点上的任两条棱的夹角都相等。 A、① B、①② C、①②③ D、③ 3、下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎 推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是 由特殊到特殊的推理。 A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤ 4、演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。（ ） A、一般的原理原则 B、特定的命题 C、一般的命题 D、定理、公式 5、实数 a、b、c 不全为 0 的条件是（ ）。 A、a、b、c 均不为 0； B、a、b、c 中至少有一个为 0； C、a、b、c 至多有一个为 0； D、a、b、c 至少有一个不为 0。 6、设 m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则 x 与 y 的大小关系为（ ）。 A、x>y； B、x=y； C、x∠B，则 a>b”的结论的否定是 。 13 、 已 知 结 论 “ 若  Raa 21, ， 且 121  aa ， 则 411 21  aa ” ， 请 猜 想 若  Raaa n......., 21 ， 且 1....21  naaa ，则  naaa 1....11 21 。 14、数列的前几项为 2，5，10，17，26，……，数列的通项公式 为 。 三、解答题(本大题共 5 小题，共 53 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15、（9 分）在数列{an}中， )(2 2,1 11    Nna aaa n n n ，试猜想这个数列的通 项公式. 16、（11 分）用适当方法证明：已知： 0,0  ba ，求证： ba a b b a  。 17、（12 分）若 01 a 、 11 a ， n n n a aa  1 2 1 ),,( ， 21n (1)求证： nn aa 1 ； (2)令 2 1 1 a ，写出 2a 、 3a 、 4a 、 5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公 式 na ； (3)证明：存在不等于零的常数 p，使 }{ n n a pa  是等比数列，并求出公比 q 的值. 18、（9 分）由下列各式： 11 2 1 11 12 3 1 1 1 1 1 1 31 2 3 4 5 6 7 2 1 1 11 22 3 15                  ,你能得出怎样的结论，并进行证明. 19、（12 分）对于直线 l：y=kx+1，是否存在这样的实数 k，使得 l 与双曲线 C： 3x 2 －y 2 =1 的交点 A、B 关于直线 y=ax（a 为常数）对称？若存在，求出 k 的值； 若不存在，请说明理由。(用反证法证明) 参考答案 第Ⅰ卷(选择题 共 27 分) 1-9 BCDAD ABAC 第Ⅱ卷(非选择题 共 73 分) 10、侧面都是全等的三角形， 11、等差 12、a≤b 13、 2n 14、 12 n 15、解：在数列{an}中，∵ )(2 2,1 11    Nna aaa n n n ∴ ,15 2 2 2,14 2 2 2,13 2 2 2,12 2 2 2,2 21 4 4 5 3 3 4 2 2 3 1 1 21  a aaa aaa aaa aaa ∴可以猜想，这个数列的通项公式是 1 2  nan 。 16、证明：（用综合法） ∵ 0,0  ba ， . 0)()()11)(( 2 ba a b b a ab baba ab ba a ab b baa a bb b aba a b b a    17、解：(1)采用反证法. 若 nn aa 1 ，即 n n n aa a 1 2 , 解得 .10，na 从而 1011 ,  aaa nn 2a 与题设 01 a , 11 a 相矛盾， 故 nn aa 1 成立. (2) 2 1 1 a 、 3 2 2 a 、 5 4 3 a 、 9 8 4 a 、 17 16 5 a , 12 2 1 1     n n na . (3) 因为 n n n n a pap a pa 2 2 1 1    )( 又 qa pa a pa n n n n    1 1 , 所以 02122  )()( qpaqp n , 因为上式是关于变量 na 的恒等式，故可解得 2 1q 、 1p . 18、分析：对所给各式进行比较观察，注意各不等式左边的最后一项的分母特点： 1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，一般的有 2n-1，对应各式右端为一般 也有 2 n . 解：归纳得一般结论 *1 1 11 ( )2 3 2 1 2n n n N      证明：当 n=1 时，结论显然成立. 当 n≥2 时， 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 ( ) ( )2 3 2 1 2 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n                            故结论得证.  2 1)2(4 1)2 1(  ff ， ),()2 1()2 1( 1 Nnu n n   . 故 ).(1)2 1( 2 11 ])2 1(1[2 1 NnS n n n     19、证明：（反证法）假设存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y=ax 对称，设 A（x1， y1）、B（x2，y2）则           )3(22 )2(2)( )1(1 2121 2121 xxayy kxkyy ka 由 022)3( 13 1 22 22       kxxk xy kxy ④ 由②、③有 a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤ 由④知 x1+x2= 23 2 k k  代入⑤整理得：ak=－3 与①矛盾。 故不存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y=ax 对称。