2020_2021学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2 28页

2.1.2 　两条直线平行和垂直的判定 激趣诱思 知识点拨 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目 . 实际上 , 过山车的运动包含了许多数学和物理学原理 . 过山车的两条铁轨是相互平行的轨道 , 它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着 , 为了使设备安全 , 柱子之间还有一些小的钢筋连接 , 这些钢筋有的互相平行 , 有的互相垂直 , 你能感受到过山车中的平行和垂直吗 ? 两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、两条直线平行与斜率之间的关系 设两条不重合的直线 l 1 , l 2 , 倾斜角分别为 α 1 , α 2 , 斜率存在时斜率分别为 k 1 , k 2 . 则对应关系如下 : 激趣诱思 知识点拨 微思考 对于两条不重合的直线 l 1 , l 2 ,“ l 1 ∥ l 2 ” 是 “ 两条直线斜率相等 ” 的什么条件 ? 答案 : 必要不充分条件 , 如果两不重合直线斜率相等 , 则两直线一定平行 ; 反过来 , 两直线平行 , 有可能两直线斜率均不存在 . 微练习 已知直线 l 1 经过两点 ( - 1, - 2),( - 1,4), 直线 l 2 经过两点 (2,1),( x ,6), 且 l 1 ∥ l 2 , 则 x= 　　　　　 .   解析 : 由题意知 l 1 ⊥ x 轴 . 又 l 1 ∥ l 2 , 所以 l 2 ⊥ x 轴 , 故 x= 2 . 答案 : 2 激趣诱思 知识点拨 　 二、两条直线垂直与斜率之间的 关系 名师点析 “ 两条直线的斜率之积等于 - 1” 是 “ 这两条直线垂直 ” 的充分不必要条件 . 因为两条直线垂直时 , 除了斜率之积等于 - 1, 还有可能一条直线的斜率为 0, 另一条直线的斜率不存在 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 若直线 l 1 , l 2 的斜率是方程 x 2 - 3 x- 1 = 0 的两根 , 则 l 1 与 l 2 的位置关系是 　　　　　 .   解析 : 由根与系数的关系 , 知 k 1 k 2 =- 1, 所以 l 1 ⊥ l 2 . 答案 : l 1 ⊥ l 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 两直线平行 例 1 判断下列各小题中的直线 l 1 与 l 2 是否平行 : (1) l 1 经过点 A ( - 1, - 2), B (2,1), l 2 经过点 M (3,4), N ( - 1, - 1); (2) l 1 的斜率为 1, l 2 经过点 A (1,1), B (2,2); (3) l 1 经过点 A (0,1), B (1,0), l 2 经过点 M ( - 1,3), N (2,0); (4) l 1 经过点 A ( - 3,2), B ( - 3,10), l 2 经过点 M (5, - 2), N (5,5) . 思路分析 : 斜率存在的直线求出斜率 , 利用 l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 =k 2 进行判断 , 若两直线斜率都不存在 , 可通过观察并结合图形得出结论 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 则 A , B , M 不共线 . 故 l 1 ∥ l 2 . (4) 由已知点的坐标 , 得 l 1 与 l 2 均与 x 轴垂直且不重合 , 故有 l 1 ∥ l 2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 两直线平行的判定及应用 1 . 判定两直线是否平行时 , 应先看两直线的斜率是否存在 , 若都不存在 , 则平行 ( 不重合的情况下 ); 若存在 , 再看是否相等 , 若相等 , 则平行 ( 不重合的情况下 ) . 2 . 若已知两直线平行 , 求某参数值时 , 也应分斜率存在与不存在两种情况求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 已知 A ( - 2, m ), B ( m ,4), M ( m+ 2,3), N (1,1), 若 AB ∥ MN , 则 m 的值为 　　　　　 .   解析 : 当 m=- 2 时 , 直线 AB 的斜率不存在 , 而直线 MN 的斜率存在 , MN 与 AB 不平行 , 不合题意 ; 当 m=- 1 时 , 直线 MN 的斜率不存在 , 而直线 AB 的斜率存在 , MN 与 AB 不平行 , 不合题意 ; 答案 : 0 或 1 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 两直线垂直 例 2 (1) 直线 l 1 经过点 A (3,2), B (3, - 1), 直线 l 2 经过点 M (1,1), N (2,1), 判断 l 1 与 l 2 是否垂直 ; (2) 已知直线 l 1 经过点 A (3, a ), B ( a- 2,3), 直线 l 2 经过点 C (2,3), D ( - 1, a- 2), 若 l 1 ⊥ l 2 , 求 a 的值 . 思路分析 : (1) 若斜率存在 , 求出斜率 , 利用垂直的条件判断 ; 若一条直线的斜率不存在 , 再看另一条直线的斜率是否为 0, 若为 0, 则垂直 . (2) 当两直线的斜率都存在时 , 由斜率之积等于 - 1 求解 ; 若一条直线的斜率不存在 , 由另一条直线的斜率为 0 求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 直线 l 1 的斜率不存在 , 直线 l 2 的斜率为 0, 所以 l 1 ⊥ l 2 . (2) 由题意 , 知直线 l 2 的斜率 k 2 一定存在 , 直线 l 1 的斜率可能不存在 . 当直线 l 1 的斜率不存在时 ,3 =a- 2, 即 a= 5, 此时 k 2 = 0, 则 l 1 ⊥ l 2 , 满足题意 . 综上所述 , a 的值为 0 或 5 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 两直线垂直的判定方法 两条直线垂直需判定 k 1 k 2 =- 1, 使用它的前提条件是两条直线斜率都存在 , 若其中一条直线斜率不存在 , 另一条直线斜率为零 , 此时两直线也垂直 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 已知定点 A ( - 1,3), B (4,2), 以 AB 为直径作圆 , 与 x 轴有交点 P , 则交点 P 的坐标是 　　　　　 .   解析 : 设以 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 P ( x ,0) . ∵ k PB ≠0, k PA ≠0, ∴ k PA · k PB =- 1, ∴ ( x+ 1)( x- 4) =- 6, 即 x 2 - 3 x+ 2 = 0, 解得 x= 1 或 x= 2 . 故点 P 的坐标为 (1,0) 或 (2,0) . 答案 : (1,0) 或 (2,0) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 两直线平行与垂直的综合应用 例 3 如 图所示 , 在平面直角坐标系中 , 四边形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为 O (0,0), P (1, t ), Q (1 - 2 t ,2 +t ), R ( - 2 t ,2), 其中 t> 0 . 试判断四边形 OPQR 的形状 . 思路分析 : 利用直线方程的系数关系 , 或两直线间的斜率关系 , 判断两直线的位置关系 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 所以四边形 OPQR 为平行四边形 . 又 k OP · k OR =- 1, 所以 OP ⊥ OR , 故四边形 OPQR 为矩形 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 1 将本例中的四个点 , 改为 “ A ( - 4,3), B (2,5), C (6,3), D ( - 3,0), 顺次连接 A , B , C , D 四点 , 试判断四边形 ABCD 的形状 . ” 解 : 由题意 A , B , C , D 四点在平面直角坐标系内的位置如图 , 所以 k AB =k CD , 由图可知 AB 与 CD 不重合 , 所以 AB ∥ CD , 由 k AD ≠ k BC , 所以 AD 与 BC 不平行 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 2 将本例改为 “ 已知矩形 OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为 O (0,0), P (1, t ), Q (1 - 2 t ,2 +t ), 试求顶点 R 的坐标 . ” 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 判定几何图形形状的注意点 (1) 在顶点确定的前提下 , 判定几何图形的形状时 , 要先画图 , 猜测其形状 , 以明确证明的目标 . (2) 证明两直线平行时 , 仅有 k 1 =k 2 是不够的 , 还要注意排除两直线重合的情况 . (3) 判断四边形形状 , 要依据四边形的特点 , 并且不会产生其他的情况 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分类讨论思想在平行与垂直中的应用 典例 已知点 A (0,3), B ( - 1,0), C (3,0), 且四边形 ABCD 为直角梯形 , 求点 D 的坐标 . 思路分析 : 分析题意可知 , AB 、 BC 都不可作为直角梯形的直角边 , 所以要考虑 CD 是直角梯形的直角边和 AD 是直角梯形的直角边这两种情况 ; 设所求点 D 的坐标为 ( x , y ), 若 CD 是直角梯形的直角边 , 则 BC ⊥ CD , AD ⊥ CD , 根据已知可得 k BC = 0, CD 的斜率不存在 , 从而有 x= 3; 接下来再根据 k AD =k BC 即可得到关于 x 、 y 的方程 , 结合 x 的值即可求出 y , 那么点 D 的坐标便不难确定了 , 同理再分析 AD 是直角梯形的直角边的情况 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 设所求点 D 的坐标为 ( x , y ), 如图所示 , 由于 k AB = 3, k BC = 0, 则 k AB · k BC = 0≠ - 1, 即 AB 与 BC 不垂直 , 故 AB 、 BC 都不可作为直角梯形的直角边 . ① 若 CD 是直角梯形的直角边 , 则 BC ⊥ CD , AD ⊥ CD , ∵ k BC = 0, ∴ CD 的斜率不存在 , 从而有 x= 3 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 先由图形判断四边形各边的关系 , 再由斜率之间的关系完成求解 . 特别地 , 注意讨论所求问题的不同情况 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 若直线 l 1 的斜率为 a , l 1 ⊥ l 2 , 则直线 l 2 的斜率为 ( 　　 ) 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 已知直线 l 1 的倾斜角为 45 ° , 直线 l 1 ∥ l 2 , 且 l 2 过点 A ( - 2, - 1) 和 B (3, a ), 则 a 的值为 　　　　　 .   答案 : 4 3 . 已知 △ ABC 的三个顶点分别是 A (2,2), B (0,1), C (4,3), 点 D ( m ,1) 在边 BC 的高所在的直线上 , 则实数 m= 　　　　　 .   解析 : 设直线 AD , BC 的斜率分别为 k AD , k BC , 由题意 , 得 AD ⊥ BC , 则有 k AD · k BC =- 1, 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 顺次连接 A ( - 4,3), B (2,5), C (6,3), D ( - 3,0) 四点 , 判断四边形 ABCD 形状 . 所以直线 AD 垂直于直线 AB 与 CD , 而且直线 BC 不平行于任何一条直线 , 所以四边形 ABCD 是直角梯形 .