人教版高中数学选修4-4练习：第一讲二极坐标word版含解析 7页

第一讲 坐标系 二、极坐标 A 级 基础巩固 一、选择题 1．点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则它的极坐标是( ) A. 2，π 3 B. 2，4π 3 C. 2，－π 3 D. 2，－4π 3 解析：ρ＝2，tan θ＝ － 3，因为点 P(1，－ 3)在第四象限， 故取θ＝－π 3 ，所以点 P 的极坐标为 2，－π 3 . 答案：C 2．设点 P 对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，则点 P 的极坐标为( ) A. 3 2，3 4π B. －3 2，5 4π C. 3，5 4π D. －3，3 4π 解析：点 P 的直角坐标是(－3，3)，极坐标是 3 2，3π 4 . 答案：A 3．已知极坐标系中，极点为 O，若等边三角形 ABC(顶点 A，B， C 按顺时针方向排列)的顶点 A，B 的极坐标分别是 2，π 6 ，2，7π 6 ， 则顶点 C 的极坐标为( ) A. 2 3，π 6 B. 2 2，π 4 C. 2 3，2π 3 D. 2 2，2π 3 解析：依题意可知△ABC 如图所示，显然 OC⊥AB，|OC|＝2 3， ∠COx＝π 2 ＋π 6 ＝2π 3 ， 所以 C 2 3，2π 3 . 答案：C 4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点 M(ρ1，θ1)与点 N(ρ2，θ2)的位 置关系是( ) A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称 C．关于过极点与极轴垂直的直线对称 D．重合 解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点 M，N 位于过极点的直 线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称． 答案：B 5．极坐标系中，O 为极点，已知 A 4，π 6 ，B 4，－π 6 ，则|AB| 等于( ) A．4 3 B．4 C．2 3 D．2 解析：由 A 4，π 6 ，B 4，－π 6 知∠AOB＝π 6 － －π 6 ＝π 3 ， 又|OA|＝|OB|＝4， 故△AOB 为等边三角形，故|AB|＝4. 答案：B 二、填空题 6．已知 A，B 两点的极坐标为 6，π 3 ，8，4π 3 ，则线段 AB 中点 的直角坐标为________． 解析：因为 A，B 两点的极坐标为 6，π 3 ，8，4π 3 ， 所以 A，B 两点的直角坐标是(3，3 3)，(－4，－4 3)， 所以线段 AB 中点的直角坐标是 －1 2 ，－ 3 2 . 答案： －1 2 ，－ 3 2 7．在极坐标系中，O 为极点，若 A 3，π 3 ，B －4，7π 6 ，则△AOB 的面积等于________． 解析：点 B 的极坐标可表示为 4，π 6 ， 则∠AOB＝π 3 －π 6 ＝π 6 ， 故 S△OAB＝1 2|OA|·|OB|sin∠AOB＝1 2 ×3×4·sin π 6 ＝3. 答案：3 8．平面直角坐标系中，若点 P 3，7π 2 经过伸缩变换 x′＝2x， y′＝1 3y 后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与 Q 的直角坐标相同的点到极轴 所在直线的距离等于________． 解析：因为点 P 3，7π 2 经过伸缩变换 x′＝2x， y′＝1 3y 后的点为 Q 6，7π 6 ，则极坐标系中，极坐标与 Q 的直角坐标相同的点到极轴 所在直线的距离等于 6|sin 7π 6 |＝3. 答案：3 三、解答题 9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)( 3，3)； (2)(－1，－1)；[来源:学科网 ZXXK] (3)(－3，0) 解：(1)ρ＝ （ 3）2＋32＝2 3，tan θ＝ 3 3 ＝ 3. 又因为点在第一象限，所以θ＝π 3. 所以点( 3，3)的极坐标为 2 3，π 3 . (2)ρ＝ （－1）2＋（－1）2＝ 2，tan θ＝1. 又因为点在第三象限，所以θ＝5π 4 . 所以点(－1，－1)的极坐标为 2，5π 4 . (3)ρ＝ （－3）2＋02＝3， 可知极角为π，所以点(－3，0)的极坐标为(3，π)． 10．某大学校园的部分平面示意图如图所示． 用点 O，A，B，C，D，E，F，G 分别表示校门，器材室，操场， 公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建 立适当的极坐标系，写出除点 B 外各点的极坐标[限定ρ≥0，0≤θ<2π 且极点为(0，0)]． 解：以 O 为极点，OA 所在射线为极轴建立极坐标系，因为|OC| ＝600，∠AOC＝π 6 ，故 C 600，π 6 . 又|OA|＝600×cos π 6 ＝300 3， |OD|＝600×sin π 6 ＝300，[来源:学,科,网] |OE|＝300 2，|OF|＝300，|OG|＝150 2. 故 A(300 3，0)，D 300，π 2 ，E 300 2，3π 4 ， F(300，π)，G 150 2，3π 4 . B 级 能力提升 1．点 M 的极坐标是 －2，－π 6 ，它关于直线θ＝π 2 的对称点的极 坐标是( ) A. 2，11π 6 B. －2，7π 6 C. 2，－π 6 D. －2，－11π 6 解析：因为ρ＝－2<0，[来源:学科网] 所以找点 －2，－π 6 时，先找到角－π 6 的终边，再在其反向延长 线找到离极点 2 个单位的点，就是 －2，－π 6 ，如图所示． 故 M －2，－π 6 关于直线θ＝π 2 的对称点为 M′ 2，π 6 ，又因为 M′ 2，π 6 的坐标还可以写成 M′ －2，7π 6 ，故选 B. 答案：B 2．在极坐标系中，定点 A 2，3 2π ， 点 B 的一个极坐标为 ρ，11 6 π (ρ>0) ， 当 线 段 AB 最 短 时 ， 点 B 的 极 坐 标 为 __________________． 答案： 1，11π 6 ＋2kπ (k∈Z) 3．舰 A 在舰 B 的正东方向 6 km 处，舰 C 在舰 B 的北偏西 30°方向 4 km 处，它们围捕海洋动物．某时刻舰 A 发现动物的信号， 4 秒后舰 B，舰 C 同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物 信号的传播速度是 1 km/s，若以舰 A 所在地为极点建立极坐标系， 求动物所处位置的极坐标．[来源:学科网] 解：对舰 B 而言，A，C 两舰位置如图所示，取 A，B 所在直线 为 x 轴，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系，则A，B，C 三舰 的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2 3)． 由于 B，C 同时发现动物信号，记动物所处位置为 P，则|PB|＝ |PC|. 于是点 P 在 BC 的中垂线 l 上， 易求得其方程为 3x－3y＋7 3＝0.[来源:Z.xx.k.Com] 又由 A，B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒知 |PB|－|PA|＝4， 于是知 P 应在双曲线x2 4 －y2 5 ＝1 的右支上．直线 l 与双曲线的交 点 P(8，5 3)即为动物的位置． 根据两点的斜率公式得直线 PA 的倾斜角为 60°，于是舰 A 发 射炮弹的方位角应是北偏东 30°. 由两点间的距离公式得|PA|＝10. 所以以舰 A 所在地为极点，动物所处位置的极坐标为 10，π 3 .