高考数学专题复习练习：考点规范练28 5页

考点规范练28　数列的概念与表示 ‎　考点规范练B册第18页　 ‎ 基础巩固 ‎1.数列1,‎2‎‎3‎‎,‎3‎‎5‎,‎4‎‎7‎,‎‎5‎‎9‎,…的一个通项公式an=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.n‎2n+1‎ B.n‎2n-1‎ C.n‎2n-3‎ D.‎n‎2n+3‎ 答案B ‎2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=nn+1‎,则‎1‎a‎5‎等于(　　)‎ A.‎5‎‎6‎ B.‎6‎‎5‎ C.‎1‎‎30‎ D.30‎ 答案D 解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nn+1‎‎-n-1‎n=‎‎1‎n(n+1)‎,∴‎1‎a‎5‎=5×(5+1)=30.‎ ‎3.若数列{an}的前n项积为n2,则当n≥2时,an=(　　)‎ A.2n-1 B.n2‎ C.‎(n+1‎‎)‎‎2‎n‎2‎ D.‎n‎2‎‎(n-1‎‎)‎‎2‎ 答案D 解析设数列{an}的前n项积为Tn,‎ 则Tn=n2,当n≥2时,an=TnTn-1‎‎=‎n‎2‎‎(n-1‎‎)‎‎2‎.‎ ‎4.(2016河南名校联盟4月模拟)若数列{an}满足‎1‎an+1‎‎-‎‎1‎an=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列‎1‎xn为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=(　　)‎ A.10 B.20 C.30 D.40‎ 答案B 解析∵数列‎1‎xn为调和数列,‎ ‎∴‎1‎‎1‎xn+1‎‎-‎‎1‎‎1‎xn=xn+1-xn=d.∴{xn}是等差数列.‎ 又x1+x2+…+x20=200=‎20(x‎1‎+x‎20‎)‎‎2‎,∴x1+x20=20.‎ 又x1+x20=x5+x16,∴x5+x16=20.‎ ‎5.(2016石家庄二模)已知数列{an}满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 016的值为(　　)‎ A.0 B.2 C.5 D.6‎ 答案A 解析∵an+2=an+1-an,a1=2,a2=3,‎ ‎∴a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=3….‎ ‎∴数列{an}是周期为6的周期数列.‎ 又2 016=6×336,‎ ‎∴S2 016=336×(2+3+1-2-3-1)=0,故选A.‎ ‎6.已知数列{an}的前4项分别是‎3‎‎2‎,1,‎7‎‎10‎‎,‎‎9‎‎17‎,则这个数列的一个通项公式是an=　　　　　　　　. ‎ 答案‎2n+1‎n‎2‎‎+1‎ 解析数列{an}的前4项可分别变形为‎2×1+1‎‎1‎‎2‎‎+1‎‎,‎2×2+1‎‎2‎‎2‎‎+1‎,‎2×3+1‎‎3‎‎2‎‎+1‎,‎‎2×4+1‎‎4‎‎2‎‎+1‎,故an=‎2n+1‎n‎2‎‎+1‎.‎ ‎7.已知数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　　.〚导学号74920483〛 ‎ 答案3n 解析a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得an=3n.‎ ‎8.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)‎7‎‎8‎n,则当an取得最大值时,n=　　　　　. ‎ 答案5或6‎ 解析由题意令an‎≥an-1‎,‎an‎≥an+1‎,‎ ‎∴‎(n+2)‎7‎‎8‎n≥(n+1)‎7‎‎8‎n-1‎,‎‎(n+2)‎7‎‎8‎n≥(n+3)‎7‎‎8‎n+1‎,‎解得n≤6,‎n≥5.‎ ‎∴n=5或n=6.‎ ‎9.(2016河南中原学术联盟仿真)若数列{an}的通项为an=(-1)n(2n+1)·sinnπ‎2‎+1,前n项和为Sn,则S100=　　　　　.〚导学号74920484〛 ‎ 答案200‎ 解析当n为偶数时,则sinnπ‎2‎=0,‎ 即an=(2n+1)sinnπ‎2‎+1=1(n为偶数).‎ 当n为奇数时,若n=4k+1,k∈Z,‎ 则sinnπ‎2‎=sin‎2kπ+‎π‎2‎=1,即an=-2n;‎ 若n=4k+3,k∈Z,则sinnπ‎2‎=sin‎2kπ+‎‎3π‎2‎=-1,‎ 即an=2n+2.‎ 故a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此S100=‎100‎‎4‎×8=200.‎ ‎10.已知数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;‎ ‎(2)若Sn=3n+2n+1,求an.‎ 解(1)因为Sn=(-1)n+1·n,所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.‎ 当n=1时,a1=S1=1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)‎ ‎=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1).‎ 又a1也适合于此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1).‎ ‎(2)当n=1时,a1=S1=6;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.①‎ 由于a1不适合①式,所以an=‎‎6,n=1,‎‎2·‎3‎n-1‎+2,n≥2.‎ 能力提升 ‎11.(2016郑州二模)设数列{an}满足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)·an-1+(n+1)an+1,则a20的值是(　　)‎ A.4‎1‎‎5‎ B.4‎2‎‎5‎ C.4‎3‎‎5‎ D.4‎4‎‎5‎〚导学号74920485〛‎ 答案D 解析由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,‎ 得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan=2a2-a1=5.‎ 令bn=nan,则数列{bn}是公差为5的等差数列,‎ 故bn=1+(n-1)×5=5n-4.‎ 所以b20=20a20=5×20-4=96,所以a20=‎96‎‎20‎=4‎4‎‎5‎.‎ ‎12.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an等于(　　)‎ A.2n-1 B.n C.2n-1 D.‎3‎‎2‎n-1‎〚导学号74920486〛‎ 答案D 解析由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N*),‎ ‎∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),‎ 两式相减得,2an=3an-1(n≥2).‎ 又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1.‎ ‎∴数列{an}是首项为1,公比为‎3‎‎2‎的等比数列.‎ ‎∴an=‎3‎‎2‎n-1‎.‎ ‎13.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=　　　　　. ‎ 答案2n-1‎ 解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),‎ 即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1).‎ 又S1=2a1-1,∴a1=1.‎ ‎∴数列{an+1}是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,‎ ‎∴an+1=2·2n-1=2n,‎ ‎∴an=2n-1.‎ ‎14.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.‎ ‎(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若an+1≥an,求a的取值范围.‎ 解(1)因为an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,‎ 即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),‎ 即bn+1=2bn.‎ 又b1=S1-3=a-3,‎ 故{bn}的通项公式为bn=(a-3)2n-1.‎ ‎(2)由题意可知,a2>a1对任意的a都成立.‎ 由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1.‎ 于是,当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2‎ ‎=2×3n-1+(a-3)2n-2,‎ 故an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2‎ ‎=2n-2‎12‎3‎‎2‎n-2‎+a-3‎.‎ 当n≥2时,由an+1≥an,可知12‎3‎‎2‎n-2‎+a-3≥0,‎ 即a≥-9.‎ 又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).‎ 高考预测 ‎15.已知数列{an}的通项公式是an=-n2+12n-32,其前n项和是Sn,则对任意的n>m(其中m,n∈N*),Sn-Sm的最大值是　　　　　.〚导学号74920487〛 ‎ 答案10‎ 解析由an=-n2+12n-32=-(n-4)·(n-8)>0得4