高考数学专题复习练习：13-1-1 专项基础训练 5页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：50分钟)‎ ‎1．(2015·广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为，求点A到直线l的距离．‎ ‎【解析】 依题可知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.‎ ‎2．(2017·河南八市联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ＞0)．‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．‎ ‎【解析】 (1)由3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ＞0)，得3x2＋3y2＝12x－10，即(x－2)2＋y2＝.‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝.‎ ‎(2)依题意可设Q(4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C1的圆心坐标为(2，0)，‎ 则|QC1|＝ ‎＝ ‎＝2 .‎ ‎∴当cos θ＝时，|QC1|min＝，‎ ‎∴|PQ|min＝.‎ ‎3．(2017·南京模拟)在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．‎ ‎【解析】 圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝3x，‎ 即＋y2＝，‎ 直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐标方程为2x＋4y＋a＝0.‎ 因为圆与直线相切，所以＝，‎ 解得a＝－3±3.‎ ‎4．(2017·南通第三次质检)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程．‎ ‎【解析】 以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，‎ 则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1，0)．‎ 直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，‎ 因为圆心(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，‎ 所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.‎ 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎5．(2017·洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎【解析】 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2.‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ ‎6．(2017·常州模拟)在极坐标系中，O是极点，设A，B，求△AOB的面积．‎ ‎【解析】 如图所示，∠AOB＝2π－－＝，‎ OA＝4，OB＝5，‎ 故S△AOB＝×4×5×sin ＝5.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：40分钟)‎ ‎7．(2017·南京模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．‎ ‎【解析】 ∵ρ＝kcos θ－ksin θ，‎ ‎∴ρ2＝kρcos θ－kρsin θ，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，‎ 即＋＝k2，‎ ‎∴圆心的直角坐标为.‎ ‎∵ρsin θ·－ρcos θ·＝4，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，‎ ‎∴－|k|＝2.‎ 即|k＋4|＝2＋|k|，‎ 两边平方，得|k|＝2k＋3，‎ ‎∴或 解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.‎ ‎8．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.‎ ‎(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．‎ ‎【解析】 (1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，‎ 点R的直角坐标为R(2，2)．‎ ‎(2)设P(cos θ，sin θ)，‎ 根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，‎ ‎∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，‎ 当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，‎ ‎∴矩形PQRS周长的最小值为4，‎ 此时点P的直角坐标为.‎ ‎9．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l过点A(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：‎ ‎(1)直线的极坐标方程；‎ ‎(2)极点到该直线的距离．‎ ‎【解析】 (1)如图，由正弦定理得 ＝.‎ 即ρsin＝sin ＝，‎ ‎∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(2)作OH⊥l，垂足为H，‎ 在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，‎ 则OH＝OAsin ＝，‎ 即极点到该直线的距离等于.‎ ‎10．(2017·山西朔州模拟)在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．‎ ‎【解析】 (1)∵曲线C的极坐标方程为ρ2＝，‎ ‎∴9ρ2＋7ρ2sin2θ＝144.‎ 由ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，可得曲线C的直角坐标方程为9x2＋9y2＋7y2＝144.‎ 即曲线C的直角坐标方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，‎ ‎∴A(4，0)，B(0，3)，∴直线AB的方程为3x＋4y－12＝0.‎ 设P(4cos θ，3sin θ)，则 点P到直线AB的距离为 d＝ ‎＝.‎ 当θ＝时，dmax＝，‎ ‎∴△ABP面积的最大值为|AB|·＝6(＋1)．‎