2021届高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1节变化率与导数导数的计算课件新人教A版 33页

第 1 节　变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1. 函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 2. 函数 y ＝ f ( x ) 的导函数 (2) 几何意义：函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ′( x 0 ) 的几何意义是在曲线 y ＝ f ( x ) 上点 ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的 _______ . 相应地，切线方程为 _____________________ . 斜率 y － y 0 ＝ f ′( x 0 )( x － x 0 ) 3. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f ( x ) ＝ c ( c 为常数 ) f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ x α ( α ∈ Q * ) f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ sin x f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ cos x f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ e x f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ a x ( a ＞ 0 ， a ≠ 1) f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ ln x f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ log a x ( a ＞ 0 ， a ≠ 1) f ′( x ) ＝ _______ 0 αx α － 1 cos x － sin x e x a x ln a 4. 导数的运算法则 f ′( x )± g ′( x ) f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) 5. 复合函数的导数 复合函数 y ＝ f ( g ( x )) 的导数和函数 y ＝ f ( u ) ， u ＝ g ( x ) 的导数间的关系为 y x ′ ＝ y u ′· u x ′. [ 常用结论与微点提醒 ] 1. f ′( x 0 ) 代表函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数值； ( f ( x 0 ))′ 是函数值 f ( x 0 ) 的导数，且 ( f ( x 0 ))′ ＝ 0. 3. 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点 . 4. 函数 y ＝ f ( x ) 的导数 f ′( x ) 反映了函数 f ( x ) 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 | f ′( x )| 反映了变化的快慢， | f ′( x )| 越大，曲线在这点处的切线越 “ 陡 ”. 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) f ′( x 0 ) 是函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 附近的平均变化率 .( 　　 ) (2) 函数 f ( x ) ＝ sin( － x ) 的导数 f ′( x ) ＝ cos x .( 　　 ) (3) 求 f ′( x 0 ) 时，可先求 f ( x 0 ) ，再求 f ′( x 0 ).( 　　 ) (4) 曲线 y ＝ f ( x ) 在某点处的切线与曲线 y ＝ f ( x ) 过某点的切线意义是相同的 .( 　　 ) 解析 　 (1) f ′( x 0 ) 表示 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的瞬时变化率， (1) 错 . (2) f ( x ) ＝ sin( － x ) ＝－ sin x ，则 f ′( x ) ＝－ cos x ， (2) 错 . (3) 求 f ′( x 0 ) 时，应先求 f ′( x ) ，再代入求值， (3) 错 . (4) “ 在某点 ” 的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于 “ 过某点 ” 的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条， (4) 错 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × A.2 x － y ＋ 1 ＝ 0 B. x － 2 y ＋ 2 ＝ 0 C.2 x － y － 1 ＝ 0 D. x ＋ 2 y － 2 ＝ 0 答案　 A 3. ( 老教材选修 2 － 2P3 问题 2 改编 ) 在高台跳水运动中， t s 时运动员相对于水面的高度 ( 单位： m) 是 h ( t ) ＝－ 4.9 t 2 ＋ 6.5 t ＋ 10 ，则运动员的速度 v ＝ ________ m/s ，加速度 a ＝ ________ m/s 2 . 解析　 v ＝ h ′( t ) ＝－ 9.8 t ＋ 6.5 ， a ＝ v ′( t ) ＝－ 9.8. 答案　 － 9.8 t ＋ 6.5 　－ 9.8 4. (2019· 全国 Ⅱ 卷 ) 曲线 y ＝ 2sin x ＋ cos x 在点 (π ，－ 1) 处的切线方程为 ( 　　 ) A. x － y － π － 1 ＝ 0 B.2 x － y － 2π － 1 ＝ 0 C.2 x ＋ y － 2π ＋ 1 ＝ 0 D. x ＋ y － π ＋ 1 ＝ 0 解析　 设 y ＝ f ( x ) ＝ 2sin x ＋ cos x ，则 f ′( x ) ＝ 2cos x － sin x ， ∴ 曲线在点 (π ，－ 1) 处的切线斜率 k ＝ f ′(π) ＝－ 2 ， 故切线方程为 y ＋ 1 ＝－ 2( x － π) ，即 2 x ＋ y － 2π ＋ 1 ＝ 0. 答案　 C 5. (2019· 新乡模拟 ) 设 f ( x ) ＝ ln(3 － 2 x ) ＋ cos 2 x ，则 f ′(0) ＝ ________. 6. (2019· 全国 Ⅰ 卷 ) 曲线 y ＝ 3( x 2 ＋ x )e x 在点 (0 ， 0) 处的切线方程为 ________. 解析 　 y ′ ＝ 3(2 x ＋ 1)e x ＋ 3( x 2 ＋ x )e x ＝ 3e x ( x 2 ＋ 3 x ＋ 1) ， 所以曲线在点 (0 ， 0) 处的切线的斜率 k ＝ e 0 × 3 ＝ 3 ，所以所求切线方程为 y ＝ 3 x . 答案 　 y ＝ 3 x 考点一　导数的运算　 　 多维探究 角度 1 　根据求导法则求函数的导数 【例 1 － 1 】 求下列函数的导数： 角度 2 　抽象函数的导数 【例 1 － 2 】 已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ′( x ) ，且满足关系式 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 3 xf ′(2) ＋ ln x ，则 f (1) ＝ ________. 解析　 因为 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 3 xf ′(2) ＋ ln x ， 规律方法　 1. 求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导 . 2. 抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解 . 3. 复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元 . 考点二　导数的几何意义 A. x ＋ y － 2 ＝ 0 B.2 x ＋ y － 3 ＝ 0 C.3 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 D.3 x ＋ y － 4 ＝ 0 (2) (2019· 江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y ＝ ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点 ( － e ，－ 1)(e 为自然对数的底数 ) ，则点 A 的坐标是 ________. 答案　 (1)D 　 (2)(e ， 1) 规律方法　 1. 求曲线在点 P ( x 0 ， y 0 ) 处的切线，则表明 P 点是切点，只需求出函数在 P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点 P 处的导数不存在，则切线垂直于 x 轴，切线方程为 x ＝ x 0 . 2. 求曲线的切线方程要分清 “ 在点处 ” 与 “ 过点处 ” 的切线方程的不同 . 切点不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程 ( 组 ) 求解，求出切点坐标是解题的关键 . 【训练 2 】 (1) (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 设函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ( a － 1) x 2 ＋ ax . 若 f ( x ) 为奇函数，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， 0) 处的切线方程为 ( 　　 ) 解析　 (1) 因为函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ( a － 1) x 2 ＋ ax 为奇函数， 所以 a － 1 ＝ 0 ，则 a ＝ 1 ，所以 f ( x ) ＝ x 3 ＋ x . ∴ f ′( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 1 ，则 f ′(0) ＝ 1. 所以曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， 0) 处的切线方程为 y ＝ x . (2) ∵ 函数 y ＝ e x 的导函数为 y ′ ＝ e x ， ∴ 曲线 y ＝ e x 在点 (0 ， 1) 处的切线的斜率 k 1 ＝ e 0 ＝ 1. 又 x 0 >0 ， ∴ x 0 ＝ 1. 考点三　导数几何意义的应用 【例 3 】 (1) (2019· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知曲线 y ＝ a e x ＋ x ln x 在点 (1 ， a e) 处的切线方程为 y ＝ 2 x ＋ b ，则 ( 　　 ) A. a ＝ e ， b ＝－ 1 B. a ＝ e ， b ＝ 1 C. a ＝ e － 1 ， b ＝ 1 D. a ＝ e － 1 ， b ＝－ 1 (2) (2019· 泉州质检 ) 若曲线 y ＝ x 2 与 y ＝ a ln x ( a ≠ 0) 存在公共切线，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.(0 ， 2e] B.(0 ， e] C.( － ∞ ， 0) ∪ (0 ， 2e] D.( － ∞ ， 0) ∪ (0 ， e] 解析　 (1) ∵ y ′ ＝ a e x ＋ ln x ＋ 1 ， ∴ k ＝ y ′| x ＝ 1 ＝ a e ＋ 1 ， ∴ 切线方程为 y － a e ＝ ( a e ＋ 1)( x － 1) ，即 y ＝ ( a e ＋ 1) x － 1. 又已知切线方程为 y ＝ 2 x ＋ b ， 设 g ( x ) ＝ 4 x 2 － 4 x 2 ln x ， g ′( x ) ＝ 4 x － 8 x ln x ， 又 x → ＋ ∞ 时， g ( x ) → － ∞ ；当 x → 0 时， g ( x ) → 0. 所以 a 的取值范围为 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ， 2e]. 答案　 (1)D 　 (2)C 规律方法　 1. 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： (1) 切点处的导数是切线的斜率； (2) 切点在切线上； (3) 切点在曲线上 . 2. 利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用 . 由 y ＝ x e x ，得 y ′ ＝ ( x e x )′ ＝ e x ＋ x e x . y ′| x ＝ n ＝ e n ＋ n e n ＝ 0 ，解得 n ＝－ 1 ， (2) 直线 2 x － y ＝ 0 的斜率 k ＝ 2 ， 又曲线 f ( x ) 上存在与直线 2 x － y ＝ 0 平行的切线， ∴ a ≥ 4 － 2 ＝ 2. 答案　 (1)B 　 (2)C