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  • 2021-06-11 发布

2012年陕西省高考数学试卷(理科)

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‎2012年陕西省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.(5分)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=(  )‎ A.(0,2] B.(0,2) C.(1,2] D.(1,2)‎ ‎2.(5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(  )‎ A.y=x+1 B.y=﹣x2 C.y= D.y=x|x|‎ ‎3.(5分)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.(5分)已知圆C:x2+y2﹣4x=0,l为过点P(3,0)的直线,则(  )‎ A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能 ‎5.(5分)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(5分)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为m甲,m乙,则(  )‎ A.,m甲>m乙 B.,m甲<m乙 C.,m甲>m乙 D.,m甲<m乙 ‎7.(5分)设函数f(x)=xex,则(  )‎ A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=﹣1为f(x)的极大值点 D.x=﹣1为f(x)的极小值点 ‎8.(5分)两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(  )‎ A.10种 B.15种 C.20种 D.30种 ‎9.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11.(5分)观察下列不等式:‎ ‎①1+<;‎ ‎②1++<;‎ ‎③1+++<;‎ ‎…‎ 照此规律,第五个不等式为  .‎ ‎12.(5分)(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为  .‎ ‎13.(5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为  米.‎ ‎14.(5分)设函数,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x﹣2y在D上的最大值为  .‎ ‎15.(5分)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)‎ A.(不等式选做题)若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,则实数a的取值范围是  .‎ B.(几何证明选做题)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF•DB=  .‎ C.(坐标系与参数方程)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16.(12分)函数(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)设,则,求α的值.‎ ‎17.(12分)设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的公比;‎ ‎(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.‎ ‎18.(12分)(1)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真.‎ ‎(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)‎ ‎19.(12分)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.‎ ‎(1)求椭圆C2的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.‎ ‎20.(13分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 办理业务所需的时间(分)‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 从第一个顾客开始办理业务时计时.‎ ‎(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;‎ ‎(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.‎ ‎21.(14分)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)‎ ‎(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:fn(x)在区间内存在唯一的零点;‎ ‎(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围;‎ ‎(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,xn的增减性.‎ ‎ ‎ ‎2012年陕西省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.(5分)(2012•陕西)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=(  )‎ A.(0,2] B.(0,2) C.(1,2] D.(1,2)‎ ‎【分析】根据集合的基本运算,进行求解即可.‎ ‎【解答】解:M={x|lgx>0}={x|x>1},N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2},‎ 则M∩N={x|1<x≤2},‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2012•陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(  )‎ A.y=x+1 B.y=﹣x2 C.y= D.y=x|x|‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可.‎ ‎【解答】解:A.y=x+1为非奇非偶函数,不满足条件.‎ B.y=﹣x2是偶函数,不满足条件.‎ C.y=是奇函数,但在定义域上不是增函数,不满足条件.‎ D.设f(x)=x|x|,则f(﹣x)=﹣x|x|=﹣f(x),则函数为奇函数,‎ 当x>0时,y=x|x|=x2,此时为增函数,‎ 当x≤0时,y=x|x|=﹣x2,此时为增函数,综上在R上函数为增函数.‎ 故选:D ‎ ‎ ‎3.(5分)(2012•陕西)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论,经过推导判断充要条件.‎ ‎【解答】解:因为“ab=0”得a=0或b=0,只有a=0,并且b≠0,复数为纯虚数,否则不成立;‎ 复数=a﹣bi为纯虚数,所以a=0并且b≠0,所以ab=0,‎ 因此a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2012•陕西)已知圆C:x2+y2﹣4x=0,l为过点P(3,0)的直线,则(  )‎ A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能 ‎【分析】将圆C的方程化为标准方程,找出圆心C坐标和半径r,利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长,记作d,判断得到d小于r,可得出P在圆C内,再由直线l过P点,可得出直线l与圆C相交.‎ ‎【解答】解:将圆的方程化为标准方程得:(x﹣2)2+y2=4,‎ ‎∴圆心C(2,0),半径r=2,‎ 又P(3,0)与圆心的距离d==1<2=r,‎ ‎∴点P在圆C内,又直线l过P点,‎ 则直线l与圆C相交.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2012•陕西)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据题意可设CB=1,CA=CC1=2,分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,得到A、B、B1、C1四个点的坐标,从而得到向量与的坐标,根据异面直线所成的角的定义,结合空间两个向量数量积的坐标公式,可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值.‎ ‎【解答】解:分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,‎ ‎∵CA=CC1=2CB,∴可设CB=1,CA=CC1=2‎ ‎∴A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0)‎ ‎∴=(0,2,﹣1),=(﹣2,2,1)‎ 可得•=0×(﹣2)+2×2+(﹣1)×1=3,且=,=3,‎ 向量与所成的角(或其补角)就是直线BC1与直线AB1夹角,‎ 设直线BC1与直线AB1夹角为θ,则cosθ==‎ 故选A ‎ ‎ ‎6.(5分)(2012•陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为m甲,m乙,则(  )‎ A.,m甲>m乙 B.,m甲<m乙 C.,m甲>m乙 D.,m甲<m乙 ‎【分析】直接求出甲与乙的平均数,以及甲与乙的中位数,即可得到选项.‎ ‎【解答】解:甲的平均数甲==,‎ 乙的平均数乙==,‎ 所以甲<乙.‎ 甲的中位数为20,乙的中位数为29,所以m甲<m乙 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2012•陕西)设函数f(x)=xex,则(  )‎ A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=﹣1为f(x)的极大值点 D.x=﹣1为f(x)的极小值点 ‎【分析】由题意,可先求出f′(x)=(x+1)ex,利用导数研究出函数的单调性,即可得出x=﹣1为f(x)的极小值点 ‎【解答】解:由于f(x)=xex,可得f′(x)=(x+1)ex,‎ 令f′(x)=(x+1)ex=0可得x=﹣1‎ 令f′(x)=(x+1)ex>0可得x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数 令f′(x)=(x+1)ex<0可得x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数 所以x=﹣1为f(x)的极小值点 故选D ‎ ‎ ‎8.(5分)(2012•陕西)两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(  )‎ A.10种 B.15种 C.20种 D.30种 ‎【分析】根据分类计数原理,所有可能情形可分为三类,在每一类中可利用组合数公式计数,最后三类求和即可得结果 ‎【解答】解:第一类:三局为止,共有2种情形;‎ 第二类:四局为止,共有2×=6种情形;‎ 第三类:五局为止,共有2×=12种情形;‎ 故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形 故选C ‎ ‎ ‎9.(5分)(2012•陕西)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式,利用基本不等式求出cosC的最小值.‎ ‎【解答】解:因为a2+b2=2c2,‎ 所以由余弦定理可知,c2=2abcosC,‎ cosC==.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2012•陕西)如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由题意以及框图的作用,直接推断空白框内应填入的表达式.‎ ‎【解答】解:法一:由题意以及程序框图可知,用模拟方法估计圆周率π的程序框图,M是圆周内的点的次数,当i大于1000时,‎ 圆周内的点的次数为4M,总试验次数为1000,‎ 所以要求的概率,‎ 所以空白框内应填入的表达式是.‎ 故选D.‎ 法二:随机输入xi∈(0,1),yi∈(0,1)‎ 那么点P(xi,yi)构成的区域为以 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的正方形.‎ 判断框内x2i+y2i≤1,‎ 若是,说说明点P(xi,yi)在单位圆内部(圆)内,并累计记录点的个数M 若否,则说明点P(xi,yi)在单位圆内部(圆)外,并累计记录点的个数N 第2个判断框 i>1000,是进入计算 此时落在单位圆内的点的个数为M,一共判断了1000个点 那么圆的面积/正方形的面积=,‎ 即π12÷1=‎ ‎∴π=(π的估计值)‎ 即执行框内计算的是.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11.(5分)(2012•陕西)观察下列不等式:‎ ‎①1+<;‎ ‎②1++<;‎ ‎③1+++<;‎ ‎…‎ 照此规律,第五个不等式为 1+++++< .‎ ‎【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方,右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,得出第n个不等式,即可得到通式,再令n=5,即可得出第五个不等式 ‎【解答】解:由已知中的不等式 ‎1+,1++,…‎ 得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方 右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,‎ 故可以归纳出第n个不等式是 1+…+<,(n≥2),‎ 所以第五个不等式为1+++++<‎ 故答案为:1+++++<‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2012•陕西)(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为 1 .‎ ‎【分析】直接利用二项式定理的展开式的通项公式,求出x2的系数是10,得到方程,求出a的值.‎ ‎【解答】解:(a+x)5展开式中x2的系数为,因为(a+x)5展开式中x2‎ 的系数为10,‎ 所以=10,解得a=1,‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2012•陕西)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为 2 米.‎ ‎【分析】先建立直角坐标系,将A点代入抛物线方程求得m,得到抛物线方程,再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案.‎ ‎【解答】解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,‎ 将A(2,﹣2)代入x2=my,‎ 得m=﹣2‎ ‎∴x2=﹣2y,代入B(x0,﹣3)得x0=,‎ 故水面宽为2m.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2012•陕西)设函数,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x﹣2y在D上的最大值为 2 .‎ ‎【分析】先求出曲线在点(1,0)处的切线,然后画出区域D,利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可.‎ ‎【解答】解:当x>0时,f′(x)=,‎ 则f′(1)=1,所以曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线为y=x﹣1,‎ D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分.‎ z=x﹣2y可变形成y=x﹣,当直线y=x﹣过点A(0,﹣1)时,截距最小,此时z最大.最大值为2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2012•陕西)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)‎ A.(不等式选做题)若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,则实数a的取值范围是 ﹣2≤a≤4 .‎ B.(几何证明选做题)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF•DB= 5 .‎ C.(坐标系与参数方程)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为  .‎ ‎【分析】A;利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离,它的最大值等于3,作图可得实数a的取值范围.‎ B;利用相交弦定理AE•EB=CE•ED,AB⊥CD可得DE=;在Rt△EDB中,由射影定理得:DE2=DF•DB=5,即得答案;‎ C;将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为:x=,(x﹣1)2+y2=1,从而可得相交弦长.‎ ‎【解答】解:A.∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,‎ 而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离,‎ 又最大值等于3,由图可得:当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3,‎ ‎∴﹣2≤a≤4,‎ 故答案为:﹣2≤a≤4.‎ B;∵AB=6,AE=1,由题意可得△AEC∽△DEB,DE=CE,‎ ‎∴DE•CE=AE•EB=1×5=5,即DE=.‎ 在Rt△EDB中,由射影定理得:DE2=DF•DB=5.‎ 故答案为:5.‎ C;∵2ρcosθ=1,‎ ‎∴2x=1,即x=;‎ 又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得:x2+y2=2x,‎ ‎∴(x﹣1)2+y2=1,‎ ‎∴圆心(1,0)到直线x=的距离为,‎ ‎∴相交弦长的一半为=,‎ ‎∴相交弦长为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16.(12分)(2012•陕西)函数(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)设,则,求α的值.‎ ‎【分析】(1)通过函数的最大值求出A,通过对称轴求出周期,求出ω,得到函数的解析式.‎ ‎(2)通过,求出,通过α的范围,求出α的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A=2,‎ ‎∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为,=,T=π,所以ω=2.‎ 故函数的解析式为y=2sin(2x﹣)+1.‎ ‎(2)∵,所以,‎ ‎∴,‎ ‎∵‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2012•陕西)设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的公比;‎ ‎(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.‎ ‎【分析】(1)设{an}的公比为q(q≠0,q≠1),利用a5,a3,a4成等差数列结合通项公式,可得,由此即可求得数列{an}的公比;‎ ‎(2)对任意k∈N+,Sk+2+Sk+1﹣2Sk=(Sk+2﹣Sk)+(Sk+1﹣Sk ‎)=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×(﹣2)=0,从而得证.‎ ‎【解答】(1)解:设{an}的公比为q(q≠0,q≠1)‎ ‎∵a5,a3,a4成等差数列,∴2a3=a5+a4,‎ ‎∴‎ ‎∵a1≠0,q≠0,‎ ‎∴q2+q﹣2=0,解得q=1或q=﹣2‎ ‎∵q≠1,‎ ‎∴q=﹣2‎ ‎(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2+Sk+1﹣2Sk=(Sk+2﹣Sk)+(Sk+1﹣Sk)=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×(﹣2)=0‎ ‎∴对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2012•陕西)(1)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真.‎ ‎(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)‎ ‎【分析】(1)证法一:做出辅助线,在直线上构造对应的方向向量,要证两条直线垂直,只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0,根据向量的运算法则得到结果.‎ 证法二:做出辅助线,根据线面垂直的性质,得到线线垂直,根据线面垂直的判定定理,得到线面垂直,再根据性质得到结论.‎ ‎(2)把所给的命题的题设和结论交换位置,得到原命题的逆命题,判断出你命题的正确性.‎ ‎【解答】证明:(1)证法一:如图,过直线b上任一点作平面α的垂线n,设直线a,b,c,n对应的方向向量分别是,则共面,‎ 根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得,‎ 则=‎ 因为a⊥b,所以,‎ 又因为a⊂α,n⊥α,‎ 所以,‎ 故,从而a⊥c 证法二 如图,记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P做PO⊥π,垂足为O,则O∈c,‎ ‎∵PO⊥π,a⊂π,‎ ‎∴直线PO⊥a,‎ 又a⊥b,b⊂平面PAO,PO∩b=P,‎ ‎∴a⊥平面PAO,‎ 又c⊂平面PAO,‎ ‎∴a⊥c ‎(2)逆命题为:a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b,‎ 逆命题为真命题 ‎ ‎ ‎19.(12分)(2012•陕西)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.‎ ‎(1)求椭圆C2的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.‎ ‎【分析】(1)求出椭圆的长轴长,离心率,根据椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率,即可确定椭圆C2的方程;‎ ‎(2)设A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),根据,可设AB的方程为y=kx,分别与椭圆C1和C2联立,求出A,B的横坐标,利用,即可求得直线AB的方程.‎ ‎【解答】解:(1)椭圆的长轴长为4,离心率为 ‎∵椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率 ‎∴椭圆C2的焦点在y轴上,2b=4,为 ‎∴b=2,a=4‎ ‎∴椭圆C2的方程为;‎ ‎(2)设A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),‎ ‎∵‎ ‎∴O,A,B三点共线,且点A,B不在y轴上 ‎∴设AB的方程为y=kx 将y=kx代入,消元可得(1+4k2)x2=4,∴‎ 将y=kx代入,消元可得(4+k2)x2=16,∴‎ ‎∵,∴=4,‎ ‎∴,解得k=±1,‎ ‎∴AB的方程为y=±x ‎ ‎ ‎20.(13分)(2012•陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表:‎ 办理业务所需的时间(分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 从第一个顾客开始办理业务时计时.‎ ‎(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;‎ ‎(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.‎ ‎【分析】(1)设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,可得Y的分布列,A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟,由此可求概率;‎ ‎(2)确定X所有可能的取值,求出相应的概率,即可得到X的分布列及数学期望.‎ ‎【解答】解:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布如下:‎ Y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:‎ ‎①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;‎ ‎②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;‎ ‎③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.‎ 所以 P(A)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22‎ ‎(2)X所有可能的取值为:0,1,2.‎ X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;‎ X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=0.1×0.9+0.4=0.49;‎ X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=0.1×0.1=0.01;‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2012•陕西)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)‎ ‎(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:fn(x)在区间内存在唯一的零点;‎ ‎(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围;‎ ‎(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,xn的增减性.‎ ‎【分析】(1)根据 fn()fn(1)=(﹣)×1<0,以及fn(x)在区间内单调递增,可得fn(x)在区间内存在唯一的零点.‎ ‎(2)当n=2,由题意可得函数f2(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4,分当>1时、当﹣1≤﹣<0时、当0≤﹣≤1 时三种情况,分别求得b的取值范围,再取并集,即得所求.‎ ‎(3)证法一:先求出fn(xn)和fn+1(xn+1)的解析式,再由当xn+1∈时,fn(xn)=0=fn+1(xn+1)=+xn+1﹣1<+xn+1﹣1=fn(xn+1),且 fn(x)在区间内单调递增,故有xn<xn+1,从而得出结论.‎ 证法二:设xn是fn(x)=xn+x﹣1在内的唯一零点,由fn+1(xn) fn+1(1)<0可得 fn+1(x)的零点在(xn,1)内,从而有 xn<xn+1 (n≥2),由此得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)由于n≥2,b=1,c=﹣1,fn(x)=xn+bx+c=xn+x﹣1,∴fn()fn(1)=(﹣)×1<0,‎ ‎∴fn(x)在区间内存在零点.再由fn(x)在区间内单调递增,可得fn(x)在区间内存在唯一的零点.‎ ‎(2)当n=2,函数f2(x)=x2+bx+c,对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,‎ 故函数f2(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4.‎ 当>1时,即b>2或 b<﹣2时,M=|f2(﹣1)﹣f2(1)|=2|b|>4,这与题设相矛盾.‎ 当﹣1≤﹣<0时,即0<b≤2时,M=f2(1)﹣=≤4 恒成立.‎ 当0≤﹣≤1 时,即﹣2≤b≤0时,M=f2(﹣1)﹣=≤4 恒成立.‎ 综上可得,﹣2≤b≤2.‎ ‎(3)证法一:在(1)的条件下,xn是fn(x)=xn+x﹣1在内的唯一零点,则有fn(xn)=+xn﹣1=0,‎ fn+1(xn+1)=+xn+1﹣1=0.‎ 当xn+1∈时,fn(xn)=0=fn+1(xn+1)=+xn+1﹣1<+xn+1﹣1=fn(xn+1).‎ 由(1)知,fn(x)在区间内单调递增,故有xn<xn+1,故数列x2,x3,…,xn单调递增数列.‎ 证法二:设xn是fn(x)=xn+x﹣1在内的唯一零点,‎ fn+1(xn) fn+1(1)=(+xn﹣1)×1=+xn﹣1<+xn﹣1=0,‎ 故fn+1(x)的零点在(xn,1)内,∴xn<xn+1 (n≥2),故数列x2,x3,…,xn单调递增数列.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:maths;qiss;sllwyn;ywg2058;xintrl;xize;wsj1012;minqi5;wfy814;刘长柏;涨停;caoqz(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日