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2012年陕西省高考数学试卷(理科)
一、选择题
1.(5分)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=( )
A.(0,2] B.(0,2) C.(1,2] D.(1,2)
2.(5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1 B.y=﹣x2 C.y= D.y=x|x|
3.(5分)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(5分)已知圆C:x2+y2﹣4x=0,l为过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
5.(5分)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.(5分)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为m甲,m乙,则( )
A.,m甲>m乙 B.,m甲<m乙
C.,m甲>m乙 D.,m甲<m乙
7.(5分)设函数f(x)=xex,则( )
A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=﹣1为f(x)的极大值点 D.x=﹣1为f(x)的极小值点
8.(5分)两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A.10种 B.15种 C.20种 D.30种
9.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为( )
A. B. C. D.
10.(5分)如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入( )
A. B. C. D.
二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)观察下列不等式:
①1+<;
②1++<;
③1+++<;
…
照此规律,第五个不等式为 .
12.(5分)(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为 .
13.(5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为 米.
14.(5分)设函数,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x﹣2y在D上的最大值为 .
15.(5分)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,则实数a的取值范围是 .
B.(几何证明选做题)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF•DB= .
C.(坐标系与参数方程)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为 .
三、解答题
16.(12分)函数(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设,则,求α的值.
17.(12分)设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的公比;
(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
18.(12分)(1)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真.
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)
19.(12分)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
20.(13分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表:
1
2
3
4
5
办理业务所需的时间(分)
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
21.(14分)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)
(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:fn(x)在区间内存在唯一的零点;
(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,xn的增减性.
2012年陕西省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题
1.(5分)(2012•陕西)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=( )
A.(0,2] B.(0,2) C.(1,2] D.(1,2)
【分析】根据集合的基本运算,进行求解即可.
【解答】解:M={x|lgx>0}={x|x>1},N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2},
则M∩N={x|1<x≤2},
故选:C.
2.(5分)(2012•陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1 B.y=﹣x2 C.y= D.y=x|x|
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可.
【解答】解:A.y=x+1为非奇非偶函数,不满足条件.
B.y=﹣x2是偶函数,不满足条件.
C.y=是奇函数,但在定义域上不是增函数,不满足条件.
D.设f(x)=x|x|,则f(﹣x)=﹣x|x|=﹣f(x),则函数为奇函数,
当x>0时,y=x|x|=x2,此时为增函数,
当x≤0时,y=x|x|=﹣x2,此时为增函数,综上在R上函数为增函数.
故选:D
3.(5分)(2012•陕西)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论,经过推导判断充要条件.
【解答】解:因为“ab=0”得a=0或b=0,只有a=0,并且b≠0,复数为纯虚数,否则不成立;
复数=a﹣bi为纯虚数,所以a=0并且b≠0,所以ab=0,
因此a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.
故选B.
4.(5分)(2012•陕西)已知圆C:x2+y2﹣4x=0,l为过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
【分析】将圆C的方程化为标准方程,找出圆心C坐标和半径r,利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长,记作d,判断得到d小于r,可得出P在圆C内,再由直线l过P点,可得出直线l与圆C相交.
【解答】解:将圆的方程化为标准方程得:(x﹣2)2+y2=4,
∴圆心C(2,0),半径r=2,
又P(3,0)与圆心的距离d==1<2=r,
∴点P在圆C内,又直线l过P点,
则直线l与圆C相交.
故选A.
5.(5分)(2012•陕西)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【分析】根据题意可设CB=1,CA=CC1=2,分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,得到A、B、B1、C1四个点的坐标,从而得到向量与的坐标,根据异面直线所成的角的定义,结合空间两个向量数量积的坐标公式,可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值.
【解答】解:分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,
∵CA=CC1=2CB,∴可设CB=1,CA=CC1=2
∴A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0)
∴=(0,2,﹣1),=(﹣2,2,1)
可得•=0×(﹣2)+2×2+(﹣1)×1=3,且=,=3,
向量与所成的角(或其补角)就是直线BC1与直线AB1夹角,
设直线BC1与直线AB1夹角为θ,则cosθ==
故选A
6.(5分)(2012•陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为m甲,m乙,则( )
A.,m甲>m乙 B.,m甲<m乙
C.,m甲>m乙 D.,m甲<m乙
【分析】直接求出甲与乙的平均数,以及甲与乙的中位数,即可得到选项.
【解答】解:甲的平均数甲==,
乙的平均数乙==,
所以甲<乙.
甲的中位数为20,乙的中位数为29,所以m甲<m乙
故选:B.
7.(5分)(2012•陕西)设函数f(x)=xex,则( )
A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=﹣1为f(x)的极大值点 D.x=﹣1为f(x)的极小值点
【分析】由题意,可先求出f′(x)=(x+1)ex,利用导数研究出函数的单调性,即可得出x=﹣1为f(x)的极小值点
【解答】解:由于f(x)=xex,可得f′(x)=(x+1)ex,
令f′(x)=(x+1)ex=0可得x=﹣1
令f′(x)=(x+1)ex>0可得x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数
令f′(x)=(x+1)ex<0可得x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数
所以x=﹣1为f(x)的极小值点
故选D
8.(5分)(2012•陕西)两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A.10种 B.15种 C.20种 D.30种
【分析】根据分类计数原理,所有可能情形可分为三类,在每一类中可利用组合数公式计数,最后三类求和即可得结果
【解答】解:第一类:三局为止,共有2种情形;
第二类:四局为止,共有2×=6种情形;
第三类:五局为止,共有2×=12种情形;
故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形
故选C
9.(5分)(2012•陕西)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为( )
A. B. C. D.
【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式,利用基本不等式求出cosC的最小值.
【解答】解:因为a2+b2=2c2,
所以由余弦定理可知,c2=2abcosC,
cosC==.
故选C.
10.(5分)(2012•陕西)如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入( )
A. B. C. D.
【分析】由题意以及框图的作用,直接推断空白框内应填入的表达式.
【解答】解:法一:由题意以及程序框图可知,用模拟方法估计圆周率π的程序框图,M是圆周内的点的次数,当i大于1000时,
圆周内的点的次数为4M,总试验次数为1000,
所以要求的概率,
所以空白框内应填入的表达式是.
故选D.
法二:随机输入xi∈(0,1),yi∈(0,1)
那么点P(xi,yi)构成的区域为以
O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的正方形.
判断框内x2i+y2i≤1,
若是,说说明点P(xi,yi)在单位圆内部(圆)内,并累计记录点的个数M
若否,则说明点P(xi,yi)在单位圆内部(圆)外,并累计记录点的个数N
第2个判断框 i>1000,是进入计算
此时落在单位圆内的点的个数为M,一共判断了1000个点
那么圆的面积/正方形的面积=,
即π12÷1=
∴π=(π的估计值)
即执行框内计算的是.
故选D.
二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)(2012•陕西)观察下列不等式:
①1+<;
②1++<;
③1+++<;
…
照此规律,第五个不等式为 1+++++< .
【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方,右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,得出第n个不等式,即可得到通式,再令n=5,即可得出第五个不等式
【解答】解:由已知中的不等式
1+,1++,…
得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方
右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,
故可以归纳出第n个不等式是 1+…+<,(n≥2),
所以第五个不等式为1+++++<
故答案为:1+++++<
12.(5分)(2012•陕西)(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为 1 .
【分析】直接利用二项式定理的展开式的通项公式,求出x2的系数是10,得到方程,求出a的值.
【解答】解:(a+x)5展开式中x2的系数为,因为(a+x)5展开式中x2
的系数为10,
所以=10,解得a=1,
故答案为:1.
13.(5分)(2012•陕西)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为 2 米.
【分析】先建立直角坐标系,将A点代入抛物线方程求得m,得到抛物线方程,再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案.
【解答】解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,
将A(2,﹣2)代入x2=my,
得m=﹣2
∴x2=﹣2y,代入B(x0,﹣3)得x0=,
故水面宽为2m.
故答案为:2.
14.(5分)(2012•陕西)设函数,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x﹣2y在D上的最大值为 2 .
【分析】先求出曲线在点(1,0)处的切线,然后画出区域D,利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可.
【解答】解:当x>0时,f′(x)=,
则f′(1)=1,所以曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线为y=x﹣1,
D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分.
z=x﹣2y可变形成y=x﹣,当直线y=x﹣过点A(0,﹣1)时,截距最小,此时z最大.最大值为2.
故答案为:2.
15.(5分)(2012•陕西)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,则实数a的取值范围是 ﹣2≤a≤4 .
B.(几何证明选做题)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF•DB= 5 .
C.(坐标系与参数方程)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为 .
【分析】A;利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离,它的最大值等于3,作图可得实数a的取值范围.
B;利用相交弦定理AE•EB=CE•ED,AB⊥CD可得DE=;在Rt△EDB中,由射影定理得:DE2=DF•DB=5,即得答案;
C;将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为:x=,(x﹣1)2+y2=1,从而可得相交弦长.
【解答】解:A.∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,
而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离,
又最大值等于3,由图可得:当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3,
∴﹣2≤a≤4,
故答案为:﹣2≤a≤4.
B;∵AB=6,AE=1,由题意可得△AEC∽△DEB,DE=CE,
∴DE•CE=AE•EB=1×5=5,即DE=.
在Rt△EDB中,由射影定理得:DE2=DF•DB=5.
故答案为:5.
C;∵2ρcosθ=1,
∴2x=1,即x=;
又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得:x2+y2=2x,
∴(x﹣1)2+y2=1,
∴圆心(1,0)到直线x=的距离为,
∴相交弦长的一半为=,
∴相交弦长为.
故答案为:.
三、解答题
16.(12分)(2012•陕西)函数(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设,则,求α的值.
【分析】(1)通过函数的最大值求出A,通过对称轴求出周期,求出ω,得到函数的解析式.
(2)通过,求出,通过α的范围,求出α的值.
【解答】解:(1)∵函数f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A=2,
∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为,=,T=π,所以ω=2.
故函数的解析式为y=2sin(2x﹣)+1.
(2)∵,所以,
∴,
∵
∴,
∴,
∴.
17.(12分)(2012•陕西)设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的公比;
(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
【分析】(1)设{an}的公比为q(q≠0,q≠1),利用a5,a3,a4成等差数列结合通项公式,可得,由此即可求得数列{an}的公比;
(2)对任意k∈N+,Sk+2+Sk+1﹣2Sk=(Sk+2﹣Sk)+(Sk+1﹣Sk
)=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×(﹣2)=0,从而得证.
【解答】(1)解:设{an}的公比为q(q≠0,q≠1)
∵a5,a3,a4成等差数列,∴2a3=a5+a4,
∴
∵a1≠0,q≠0,
∴q2+q﹣2=0,解得q=1或q=﹣2
∵q≠1,
∴q=﹣2
(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2+Sk+1﹣2Sk=(Sk+2﹣Sk)+(Sk+1﹣Sk)=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×(﹣2)=0
∴对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
18.(12分)(2012•陕西)(1)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真.
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)
【分析】(1)证法一:做出辅助线,在直线上构造对应的方向向量,要证两条直线垂直,只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0,根据向量的运算法则得到结果.
证法二:做出辅助线,根据线面垂直的性质,得到线线垂直,根据线面垂直的判定定理,得到线面垂直,再根据性质得到结论.
(2)把所给的命题的题设和结论交换位置,得到原命题的逆命题,判断出你命题的正确性.
【解答】证明:(1)证法一:如图,过直线b上任一点作平面α的垂线n,设直线a,b,c,n对应的方向向量分别是,则共面,
根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得,
则=
因为a⊥b,所以,
又因为a⊂α,n⊥α,
所以,
故,从而a⊥c
证法二
如图,记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P做PO⊥π,垂足为O,则O∈c,
∵PO⊥π,a⊂π,
∴直线PO⊥a,
又a⊥b,b⊂平面PAO,PO∩b=P,
∴a⊥平面PAO,
又c⊂平面PAO,
∴a⊥c
(2)逆命题为:a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b,
逆命题为真命题
19.(12分)(2012•陕西)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
【分析】(1)求出椭圆的长轴长,离心率,根据椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率,即可确定椭圆C2的方程;
(2)设A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),根据,可设AB的方程为y=kx,分别与椭圆C1和C2联立,求出A,B的横坐标,利用,即可求得直线AB的方程.
【解答】解:(1)椭圆的长轴长为4,离心率为
∵椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率
∴椭圆C2的焦点在y轴上,2b=4,为
∴b=2,a=4
∴椭圆C2的方程为;
(2)设A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),
∵
∴O,A,B三点共线,且点A,B不在y轴上
∴设AB的方程为y=kx
将y=kx代入,消元可得(1+4k2)x2=4,∴
将y=kx代入,消元可得(4+k2)x2=16,∴
∵,∴=4,
∴,解得k=±1,
∴AB的方程为y=±x
20.(13分)(2012•陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表:
办理业务所需的时间(分)
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
【分析】(1)设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,可得Y的分布列,A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟,由此可求概率;
(2)确定X所有可能的取值,求出相应的概率,即可得到X的分布列及数学期望.
【解答】解:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布如下:
Y
1
2
3
4
5
P
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:
①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.
所以 P(A)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22
(2)X所有可能的取值为:0,1,2.
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=0.1×0.9+0.4=0.49;
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=0.1×0.1=0.01;
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
21.(14分)(2012•陕西)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)
(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:fn(x)在区间内存在唯一的零点;
(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,xn的增减性.
【分析】(1)根据 fn()fn(1)=(﹣)×1<0,以及fn(x)在区间内单调递增,可得fn(x)在区间内存在唯一的零点.
(2)当n=2,由题意可得函数f2(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4,分当>1时、当﹣1≤﹣<0时、当0≤﹣≤1 时三种情况,分别求得b的取值范围,再取并集,即得所求.
(3)证法一:先求出fn(xn)和fn+1(xn+1)的解析式,再由当xn+1∈时,fn(xn)=0=fn+1(xn+1)=+xn+1﹣1<+xn+1﹣1=fn(xn+1),且
fn(x)在区间内单调递增,故有xn<xn+1,从而得出结论.
证法二:设xn是fn(x)=xn+x﹣1在内的唯一零点,由fn+1(xn) fn+1(1)<0可得 fn+1(x)的零点在(xn,1)内,从而有 xn<xn+1 (n≥2),由此得出结论.
【解答】解:(1)由于n≥2,b=1,c=﹣1,fn(x)=xn+bx+c=xn+x﹣1,∴fn()fn(1)=(﹣)×1<0,
∴fn(x)在区间内存在零点.再由fn(x)在区间内单调递增,可得fn(x)在区间内存在唯一的零点.
(2)当n=2,函数f2(x)=x2+bx+c,对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,
故函数f2(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4.
当>1时,即b>2或 b<﹣2时,M=|f2(﹣1)﹣f2(1)|=2|b|>4,这与题设相矛盾.
当﹣1≤﹣<0时,即0<b≤2时,M=f2(1)﹣=≤4 恒成立.
当0≤﹣≤1 时,即﹣2≤b≤0时,M=f2(﹣1)﹣=≤4 恒成立.
综上可得,﹣2≤b≤2.
(3)证法一:在(1)的条件下,xn是fn(x)=xn+x﹣1在内的唯一零点,则有fn(xn)=+xn﹣1=0,
fn+1(xn+1)=+xn+1﹣1=0.
当xn+1∈时,fn(xn)=0=fn+1(xn+1)=+xn+1﹣1<+xn+1﹣1=fn(xn+1).
由(1)知,fn(x)在区间内单调递增,故有xn<xn+1,故数列x2,x3,…,xn单调递增数列.
证法二:设xn是fn(x)=xn+x﹣1在内的唯一零点,
fn+1(xn) fn+1(1)=(+xn﹣1)×1=+xn﹣1<+xn﹣1=0,
故fn+1(x)的零点在(xn,1)内,∴xn<xn+1 (n≥2),故数列x2,x3,…,xn单调递增数列.
参与本试卷答题和审题的老师有:maths;qiss;sllwyn;ywg2058;xintrl;xize;wsj1012;minqi5;wfy814;刘长柏;涨停;caoqz(排名不分先后)
2017年2月3日
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