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- 2021-06-11 发布
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2013年江西省高考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数z=i(﹣2﹣i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.(5分)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=( )
A.4 B.2 C.0 D.0或4
3.(5分)若sin=,则cosα=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
4.(5分)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )
A. B. C. D.
5.(5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.01
6.(5分)下列选项中,使不等式x<<x2成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)
7.(5分)阅读如图所示的程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是( )
A.S<8 B.S<9 C.S<10 D.S<11
8.(5分)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π
9.(5分)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=( )
A.2: B.1:2 C.1: D.1:3
10.(5分)如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为( )
A. B. C. D.
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.(5分)若曲线y=xα+1(α∈
R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= .
12.(5分)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于 .
13.(5分)设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是 .
14.(5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是 .
15.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .
三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(12分)正项数列{an}满足:an2﹣(2n﹣1)an﹣2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
(1)求证:a,b,c成等差数列;
(2)若C=,求的值.
18.(12分)小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋
(1)写出数量积X的所有可能取值
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
19.(12分)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1到平面EA1C1 的距离.
20.(13分)椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m﹣k为定值.
21.(14分)设函数常数且a∈(0,1).
(1)当a=时,求f(f());
(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,试确定函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;
(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2
,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值.
2013年江西省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2013•江西)复数z=i(﹣2﹣i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】化简可得复数z=i(﹣2﹣i)=﹣2i﹣i2=1﹣2i,由复数的几何意义可得答案.
【解答】解:化简可得复数z=i(﹣2﹣i)=﹣2i﹣i2=1﹣2i,
故复数在复平面内所对应的点的坐标为(1,﹣2)在第四象限,
故选D
2.(5分)(2013•江西)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=( )
A.4 B.2 C.0 D.0或4
【分析】当a为零时,方程不成立,不符合题意,当a不等于零时,方程是一元二次方程只需判别式为零即可.
【解答】解:当a=0时,方程为1=0不成立,不满足条件
当a≠0时,△=a2﹣4a=0,解得a=4
故选A.
3.(5分)(2013•江西)若sin=,则cosα=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2,代入已知化简即可.
【解答】解:由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2
=1﹣2×=1﹣=
故选C
4.(5分)(2013•江西)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6,由列举法可得符合条件的有2种,由古典概型的概率公式可得答案.
【解答】解:从A,B中各取任意一个数共有2×3=6种分法,
而两数之和为4的有:(2,2),(3,1)两种方法,
故所求的概率为:=.
故选C.
5.(5分)(2013•江西)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.01
【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中08,02,14,07,01符合条件,故可得结论.
【解答】解:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,
第一个数为65,不符合条件,第二个数为72,不符合条件,
第三个数为08,符合条件,
以下符合条件依次为:08,02,14,07,01,
故第5个数为01.
故选:D.
6.(5分)(2013•江西)下列选项中,使不等式x<<x2成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)
【分析】通过x=,,2验证不等式是否成立,排除选项B、C、D.即可得到正确选项.
【解答】解:利用特殊值排除选项,不妨令x=时,代入x<<x2,得到<,显然不成立,选项B不正确;
当x=时,代入x<<x2,得到,显然不正确,排除C;
当x=2时,代入x<<x2,得到,显然不正确,排除D.
故选A.
7.(5分)(2013•江西)阅读如图所示的程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是( )
A.S<8 B.S<9 C.S<10 D.S<11
【分析】由框图给出的赋值,先执行一次运算i=i+1,然后判断得到的i的奇偶性,是奇数执行S=2*i+2,是偶数执行S=2*i+1,然后判断S的值是否满足判断框中的条件,满足继续从i=i+1执行,不满足跳出循环,输出i的值.
【解答】解:框图首先给变量S和i赋值S=0,i=1,执行i=1+1=2,判断2是奇数不成立,执行S=2×2+1=5;
判断框内条件成立,执行i=2+1=3,判断3是奇数成立,执行S=2×3+2=8;
判断框内条件成立,执行i=3+1=4,判断4是奇数不成立,执行S=2×4+1=9;
此时在判断时判断框中的条件应该不成立,输出i=4.而此时的S的值是9,故判断框中的条件应S<9.
若是S<8,输出的i值等于3,与题意不符.
故选B.
8.(5分)(2013•江西)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π
【分析】根据题意,该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成.根据所给出的数据可求出体积.
【解答】解:根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和
长方体的三度为:10、4、5;
圆柱的底面半径为3,高为2,
所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π.
故选A.
9.(5分)(2013•江西)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=( )
A.2: B.1:2 C.1: D.1:3
【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标,从而得到AF的斜率k=﹣.过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△MPN中,根据tan∠MNP=,从而得到|PN|=2|PM|,进而算出|MN|=|PM|,由此即可得到|FM|:|MN|的值.
【解答】解:∵抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),点A坐标为(2,0)
∴抛物线的准线方程为l:y=﹣1,直线AF的斜率为k==﹣,
过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|=|PM|
∵Rt△MPN中,tan∠MNP=﹣k=,
∴=,可得|PN|=2|PM|,得|MN|==|PM|
因此,,可得|FM|:|MN|=|PM|:|MN|=1:
故选:C
10.(5分)(2013•江西)如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为( )
A. B. C.
D.
【分析】通过t的增加,排除选项A、D,利用x的增加的变化率,说明余弦函数的变化率,得到选项即可.
【解答】解:因为当t=0时,x=0,对应y=1,所以选项A,D不合题意,
当t由0增加时,x的变化率由大变小,又y=cosx是减函数,所以函数y=f(t)的图象变化先快后慢,
所以选项B满足题意,C正好相反.
故选B.
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.(5分)(2013•江西)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= 2 .
【分析】求出函数的导函数,求出x=1时的导数值,写出曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线方程,把原点坐标代入即可解得α的值.
【解答】解:由y=xα+1,得y′=αxα﹣1.
所以y′|x=1=α,则曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线方程为:
y﹣2=α(x﹣1),即y=αx﹣α+2.
把(0,0)代入切线方程得,α=2.
故答案为:2.
12.(5分)(2013•江西)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于 6 .
【分析】由题意可得,第n天种树的棵数an是以2为首项,以2为公比的等比数列,根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足sn≥100,解不等式可求
【解答】解:由题意可得,第n天种树的棵数an是以2为首项,以2为公比的等比数列
sn==2n+1﹣2≥100
∴2n+1≥102
∵n∈N*
∴n+1≥7
∴n≥6,即n的最小值为6
故答案为:6
13.(5分)(2013•江西)设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是 a≥2 .
【分析】构造函数F(x)=|f(x)|=|sin3x+cos3x|,利用正弦函数的特点求出F(x)max,从而可得答案.
【解答】解:∵不等式|f(x)|≤a对任意实数x恒成立,
令F(x)=|f(x)|=|sin3x+cos3x|,
则a≥F(x)max.
∵f(x)=sin3x+cos3x=2sin(3x+)
∴﹣2≤f(x)≤2
∴0≤F(x)≤2
F(x)max=2
∴a≥2.
即实数a的取值范围是a≥2
故答案为:a≥2.
14.(5分)(2013•江西)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是 .
【分析】
设出圆的圆心坐标与半径,利用已知条件列出方程组,求出圆的圆心坐标与半径,即可得到圆的方程.
【解答】解:设圆的圆心坐标(a,b),半径为r,
因为圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,
所以,
解得,
所求圆的方程为:.
故答案为:.
15.(5分)(2013•江西)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4 .
【分析】判断EF与正方体表面的关系,即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可.
【解答】解:由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,
所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
故答案为:4.
三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(12分)(2013•江西)正项数列{an}满足:an2﹣(2n﹣1)an﹣2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】(1)通过分解因式,利用正项数列{an},直接求数列{an}的通项公式an;
(2)利用数列的通项公式化简bn=,利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)由正项数列{an}满足:﹣(2n﹣1)an﹣2n=0,
可得(an﹣2n)(an+1)=0
所以an=2n.
(2)因为an=2n,bn=,
所以bn=
=
=,
Tn=
=
=.
数列{bn}的前n项和Tn为.
17.(12分)(2013•江西)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
(1)求证:a,b,c成等差数列;
(2)若C=,求的值.
【分析】(1)由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B,再由正弦定理可得 ab+bc=2b2,即 a+c=2b,由此可得a,b,c成等差数列.
(2)若C=,由(1)可得c=2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a)2=a2+b2﹣2ab•cosC,化简可得 5ab=3b2,由此可得 的值.
【解答】解:(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1,
∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B.
再由正弦定理可得 ab+bc=2b2,即 a+c=2b,故a,b,c成等差数列.
(2)若C=,由(1)可得c=2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a)2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab.
化简可得 5ab=3b2,∴=.
18.(12分)(2013•江西)小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋
(1)写出数量积X的所有可能取值
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
【分析】(1)由题意可得:X的所有可能取值为:﹣2,﹣1,0,1,
(2)列举分别可得数量积为﹣2,﹣1,0,1时的情形种数,由古典概型的概率公式可得答案.
【解答】解:(1)由题意可得:X的所有可能取值为:﹣2,﹣1,0,1,
(2)数量积为﹣2的有,共1种,
数量积为﹣1的有,,,,
,共6种,
数量积为0的有,,,共4种,
数量积为1的有,,,共4种,
故所有的可能共15种,所以小波去下棋的概率P1=,去唱歌的概率P2=,
故不去唱歌的概率为:P=1﹣P2=1﹣=
19.(12分)(2013•江西)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1到平面EA1C1 的距离.
【分析】(1)过点B作BF⊥CD于F点,算出BF、EF、FC的长,从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长,由勾股定理的逆定理得BE⊥BC,结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理,可证出BE⊥平面BB1C1C;
(2)根据AA1⊥平面A1B1C1,算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=.根据线面垂直的性质和勾股定理,算出A1C1=EC1=3、A1E=2,从而得到等腰△A1EC1的面积=3,设B1到平面EA1C1 的距离为d,可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=××d=d,从而得到=d,由此即可解出点B1到平面EA1C1的距离.
【解答】解:(1)过点B作BF⊥CD于F点,则:
BF=AD=,EF=AB=DE=1,FC=EC﹣EF=3﹣1=2
在Rt△BEF中,BE==;
在Rt△BCF中,BC==
因此,△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2
∴∠CBE=90°,可得BE⊥BC,
∵BB1⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,
∴BE⊥BB1,
又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线,
∴BE⊥平面BB1C1C;
(2)∵AA1⊥平面A1B1C1,得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线
∴三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=×AA1×=
在Rt△A1D1C1中,A1C1==3
同理可得EC1==3,A1E==2
∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于=,
可得=×2×=3
设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=××d=d,
可得=d,解之得d=
即点B1到平面EA1C1的距离为.
20.(13分)(2013•江西)椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m﹣k为定值.
【分析】(1)由题目给出的离心率及a+b=3,结合条件a2=b2+c2列式求出a,b,则椭圆方程可求;
(2)设出直线方程,和椭圆方程联立后解出P点坐标,两直线方程联立解出M点坐标,由D,P,N三点共线解出N点坐标,
由两点求斜率得到MN的斜率m,代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值.
【解答】(1)解:因为,所以,即a2=4b2,a=2b.
又a+b=3,得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为;
(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为.
联立,得(4k2+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0.
所以,.
则.
所以P().
又直线AD的方程为.
联立,解得M().
由三点D(0,1),P(),N(x,0)共线,
得,所以N().
所以MN的斜率为=.
则.
所以2m﹣k为定值.
21.(14分)(2013•江西)设函数常数且a∈(0,1).
(1)当a=时,求f(f());
(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,试确定函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;
(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值.
【分析】(1)当a=时,根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案;
(2)根据二阶周期点的定义,分段进行求解,找出符号定义的根即为所求;
(3)由题意,先表示出s(a)的表达式,再借助导数工具研究s(a)在区间[,]上的单调性,确定出最值,即可求解出最值.
【解答】解:(1)当a=时,求f()=,故f(f())=f()=2(1﹣)=
(2)f(f(x))=
当0≤x≤a2时,由=x,解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是函数的二阶周期点;
当a2<x≤a时,由=x,解得x=
因为f()==≠,
故x=是函数的二阶周期点;
当a<x≤a2﹣a+1时,由=x,解得x=∈(a,a2﹣a+1),因为f()=,故得x=不是函数的二阶周期点;
当a2﹣a+1<x≤1时,由,解得x=∈(a2﹣a+1,1),因为f()=≠,故x=是函数的二阶周期点;
因此函数有两个二阶周期点,x1=,x2=
(3)由(2)得A(,),B(,)
则s(a)=S△OCB﹣S△OCA=×,所以s′(a)=×,
因为a∈(),有a2+a<1,所以s′(a)=×=>0(或令g(a)=a3﹣2a2﹣2a+2利用导数证明其符号为正亦可)
s(a)在区间[,]上是增函数,
故s(a)在区间[,]上的最小值为s()=,最大值为s()=
参与本试卷答题和审题的老师有:lincy;qiss;minqi5;sxs123;ywg2058;邢新丽;wubh2011;caoqz;xintrl(排名不分先后)
2017年2月3日
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