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- 2021-06-11 发布
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长春外国语学校2021届高三上学期期中考试数学试题
一、选择题（(本大题共12小题)）
1. 已知集合A={x|x2-3x<0}，B={x|-1ex-1
4. 已知等比数列{an}，a4=2，a8=10，则a16=( )
A. 50 B. 100 C. 150 D. 250
5. 已知平面向量a与b的夹角为2π3，若a=(3,-1)，|a-2b|=23，则|b|=( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
6. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点P(-4,3)，则cos(2π3+2α)=( )
A. -725 B. 725 C. 825 D. -825
7. 函数f(x)=lnx+b在x=a处切线的方程为y=x，则a+b=( )
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
8. 函数f(x)=sinx+cosxx的大致图象为( )
A. B.
C. D.
9. 已知函数f(x)=cos(ωx-π2)+3cos(π+ωπ)(0<ω<32)的图象过点(5π3,2)，则要得到函数f(x)的图象，只需将函数y=2sinωx的图象( )
A. 向右平移2π3个单位长度 B. 向左平移2π3个单位长度
C. 向左平移π3个单位长度 D. 向右平移π3个单位长度
10. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2an+1，则数列{anan+1}的前n项和Tn=( )
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A. n2n-1 B. n2n+1 C. 2n2n+1 D. n4n+2
1. 已知函数f(x)=ex+xx，a=f(ln1e)，b=f(12)，c=f(1e)，则( )
A. a>b>c B. c>b>a C. b>a>c D. b>c>a
2. 已知函数f(x)=1 (x=1)|ln|x-1||(x≠1)，若方程f2(x)+af(x)+b=0有九个不同实根，则ab的取值范围是( )
A. (-∞,-2)∪(-2,0) B. (-∞,-1)∪(-1,+∞)
C. (-∞, 14] D. (-2,+∞)
二、填空题（(本大题共4小题)）
3. 已知等差数列{an}，a3=8，a8=3，则a11=______．
4. 函数f(x)=-x3+3x2在[-1,1]上的最大、小值分别为M和m，则M+m=______．
5. 若函数f(x)=lnx+1x-a有且只有一个零点，则实数a的值为______．
6. 已知函数f(x)=a⋅2x+b的图象过点(2,9)和点(4,45)，若数列{an}的前n项和Sn=f(n)，数列{log2an3}的前n项和为Tn，则使得Tn≥55成立的最小正整数n=______．
三、解答题（(本大题共6小题)）
7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA(a+b)+bsin(A+C)=asin2CsinA．
(Ⅰ)求角C；
(Ⅱ)若a=2，c=23，求△ABC的面积S．
8.
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已知数列{an}，其前n项和Sn=n2，a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项．
(Ⅰ)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(Ⅱ)若cn=anbn，求数列{cn}前n项和Tn．
1. 如图，在梯形ABCD中，BC//AD，E在AD上，且BC=BE=ED=2.沿BE将△ABE折起，使得AB⊥CE．
(Ⅰ)证明：AD⊥CE；
(Ⅱ)若在梯形ABCD中，∠ADC=π3，折起后∠ABD=π3，点A在平面BCDE内的射影H为线段BD的一个四等分点(靠近点B)，求三棱锥D-ABC的体积．
2.
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已知向量a=(mcosx,sinx)，b=(sinx,-sinx)，函数f(x)=a⋅b，若其图象关于直线x=π8对称．
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及实数m的值．
(Ⅱ)当x∈(0,π2)时，求函数f(x)的值域．
1. 已知函数f(x)=lnx．
(Ⅰ)令g(x)=f(x)-axx+1，若函数g(x)在其定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)求证：f(x)=2π3,|a|=2，|a-2b|=23，
∴(a-2b)2=4|b|2+4|b|+4=12，且|b|≥0，∴解得|b|=1．
故选：A．
可求出|a|=2，再根据=2π3对|a-2b|=23两边平方，进行数量积的运算得出|b|2+|b|-2=0，从而根据|b|≥0解出|b|即可．
本题考查了向量数量积的计算公式和向量数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵P(-4,3)，∴|OP|=5，
由题意，sin(α-π6)=35，
即sin(π6-α)=-35，则cos(α+π3)=-35，
∴cos(2π3+2α)=cos2(α+π3)
=2cos2(α+π3)-1=2×(-35)2-1=-725．
故选：A．
由已知利用任意角的三角函数的定义求得sin(α-π6)=35，进一步得到cos(α+π3)=-35，再由二倍角的余弦求解cos(2π3+2α)的值．
本题考查诱导公式、倍角公式及任意角的三角函数的定义，是基础的计算题．
7.【答案】D
【解析】解：f(x)=lnx+b的导数为f'(x)=1x，
由切点(a,lna+b)，切线的方程y=x，
可得切线的斜率为1a=1，即a=1，
切点为(1,1)，
可得ln1+b=1，即b=1，
所以a+b=2．
故选：D．
求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线方程解得
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a，b的值，可得所求和．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属于简单题．
利用函数的奇偶性排除错误选项，然后再利用函数值的正负判断即可．
【解答】
解：函数f(x)=sinx+cosxx，定义域关于原点对称，满足函数f(-x)=-sinx-cosxx=-f(x)，
所以函数为奇函数，排除A、C，
因为x∈(0,π2)时，sinx>0，cosxx>0，此时f(x)>0，所以排除D，
故选：B．
9.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=cos(ωx-π2)+3cos(π+ωπ)=sinωx-3cosωx=2(12sinωx-32cosωx)=2sin(ωx-π3)(0<ω<32)，
根据f(x)的图象过点(5π3,2)，可得2sin(ω⋅5π3-π3)=2，∴ω⋅5π3-π3=2kπ+π2，k∈Z，
令k=0，可得ω=12，f(x)=2sin(12x-π3).
则要得到函数f(x)的图象，只需将函数y=2sinωx的图象，向右平移2π3个单位长度即可，
故选：A．
利用三角恒等变换，化简f(x)的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．
10.【答案】B
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【解析】解：数列{an}满足a1=1，an+1=an2an+1，则1an+1=2an+1an=1an+2，
故1an+1-1an=2(常数)，
所以数列{1an}是以1a1=1为首项，2为公差的等差数列，
所以1an=1+2(n-1)=2n-1，
则an=12n-1，an+1=12n+1，
所以anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
故Tn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1．
故选：B．
首先利用关系式的变换，整理得1an+1-1an=2，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：f(x)=ex+xx=exx+1(x≠0)，f'(x)=ex(x-1)x2，
由f'(x)>0，可得x>1，由f'(x)<0，可得x<0或00时，f(x)在x=0时取得极小值也是最小值为f(1)=e+1，
因为0<1e<12<1，所以f(1e)>f(12)>e+1，
又f(ln1e)=f(-1)=-1e+1f(12)>f(ln1e)，
即c>b>a，
故选：B．
利用导数求出函数f(x)的单调性，由ln1e<1e<12，比较函数值的大小即可．
本题主要考查导数的应用，利用导数求函数的单调性，从而比较函数值的大小，属于中档题．
12.【答案】A
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【解析】解：作出函数f(x)=1 (x=1)|ln|x-1||(x≠1)的图象，如图：
方程f2(x)+af(x)+b=0有九个不同实根，由图象可知，
f(x)=1和f(x)=m(m>0且m≠1)，
∴1+m=-a且1×m=b，
∴ab=-m(m+1)=-m2-m=-(m+12)2+14(m>0且m≠1)，
∴ab∈(-∞,-2)∪(-2,0)．
故选：A．
作出函数f(x)的图象，方程f2(x)+af(x)+b=0有九个不同实根，利用数形结合，可解决．
本题考查了函数图象，二次方程的根，综合性强，属于难题．
13.【答案】0
【解析】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
依题意有：a1+2d=8a1+7d=3，
解得：a1=10d=-1，
∴an=11-n．
故a11=11-11=0，
故答案为：0．
由已知条件利用等差数列通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的通项公式，进而求解结论．
本题考查数列的通项公式的求法，属于基础题．
14.【答案】4
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【解析】解：∵f(x)=-x3+3x2，x∈[-1,1]，
∴f'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2)，
令f'(x)=0，解得x=0，x=2(舍去)，
当-1≤x<0时，f'(x)<0，当00，
∴f(x)在[-1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴m=f(0)=0，
∵f(1)=2，f(-1)=1+3=4，
∴M=4，
∴M+m=4，
故答案为：4．
利用导数求出函数的最大值和最小值即可得到结论．
本题考查了导数与函数的最值的关系，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：f(x)的定义域是(0,+∞)，
f'(x)=1x-1x2=x-1x2，
令f'(x)>0，解得：x>1，
令f'(x)<0，解得：00)，
则g'(x)=1x-a(x+1)2，
①a≤0时，g'(x)>0，g(x)在(0,+∞)递增，符合题意，
②a>0时，g'(x)=1x-a(x+1)2=x2+(2-a)x+1x(x+1)2，
若函数g(x)在其定义域上单调递增，
只需x2+(2-a)x+1≥0在(0,+∞)恒成立，
即2-a≥-x2+1x在(0,+∞)恒成立，
令p(x)=-x2+1x=-x-1x(x>0)，则p'(x)=1-x2x2，
令p'(x)>0，解得：01，
故p(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，
故p(x)max=p(1)=-2，
故2-a≥-2，解得：a≤4，
故a的取值范围是：(-∞,4]；
(Ⅱ)证明：令h(x)=lnx-ex+2，则h'(x)=1x-ex，h″(x)=-1x2-ex<0，
故h'(x)在(0,+∞)递减，而h'(1)=1-e<0，h'(1e)=e-e1e>0，
故存在x0∈(1e,1)，使得h'(x0)=0，
故1x0=ex0，lnx0=-x0，
故x∈(0,x0)时，h'(x)>0，h(x)递增，
x∈(x0,+∞)时，h'(x)<0，h(x)递减，
故h(x)max=h(x0)=lnx0-ex0+2=-x0-1x0+2<-2+2=0，
故h(x)<0，
故f(x)
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