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- 2021-06-11 发布
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空间角的大小比较及最值(范围)问题
知识拓展
1.空间角的大小比较是每年高考的常考题型,以选择题的形式考查,主要类型有线线角间的
大小比较、线面角间的大小比较、面面角间的大小比较及线线角、线面角、面面角间的大小
比较,主要方法有计算法、元素比较法、三角函数值比较法及利用最小角定理等方法.
2.立体几何动态问题中空间角的最值及范围也是常见到的题型,常与图形转折、点线面等几
何元素的变化有关,常用方法有几何法、函数(导数)法,不等式法等.
题型突破
题型一 空间角的大小比较
类型 1 同类角间的大小比较
【例 1-1】 (1)(2020·嘉兴测试)已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形,AA1=a,
AB=b,且 a>b,侧棱 CC1 上一点 E 满足 CC1=3CE,设异面直线 A1B 与 AD1,A1B 与 D1B1,AE 与
D1B1 的所成角分别为α,β,γ,则( )
A.α<β<γ B.γ<β<α
C.β<α<γ D.α<γ<β
(2)(2017·浙江卷)如图,已知正四面体 DABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R 分别为 AB,
BC,CA 上的点,AP=PB,BQ
QC
=CR
RA
=2,分别记二面角 D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P 的平面
角为α,β,γ,则( )
A.γ<α<β B.α<γ<β
C.α<β<γ D.β<γ<α
解析 (1)以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,DD1 所在直线为 z 轴建立空
间直角坐标系,∵长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面为正方形,AA1=a,AB=b,且 a>b,侧棱 CC1
上一点 E 满足 CC1=3CE,∴A1(b,0,a),B(b,b,0),A(b,0,0),D1(0,0,a),B1(b,b,
a),E
0,b,a
3 ,A1B→=(0,b,-a),AD1
→=(-b,0,a),D1B1
→ =(b,b,0),AE→=
-b,b,a
3 ,
cos α=
|A1B→·AD1
→|
|A1B→|·|AD1
→|
= a2
a2+b2· a2+b2
= a2
a2+b2,cos β=
|A1B→·D1B1
→ |
|A1B→|·|D1B1
→ |
= b2
a2+b2· b2+b2
,
cos γ=
|AE→·D1B1
→ |
|AE→|·|D1B1
→ |
=0,∵a>b>0,∴cos α>cos β>cos γ=0,∴α<β<γ,故
选 A.
(2)如图①,作出点 D 在底面 ABC 上的射影 O,过点 O 分别作 PR,PQ,QR 的垂线 OE,OF,OG,
连接 DE,DF,DG,则α=∠DEO,β=∠DFO,γ=∠DGO.
由图可知它们的对边都是 DO,
∴只需比较 EO,FO,GO 的大小即可.
如图②,在 AB 边上取点 P′,使 AP′=2P′B,连接 OQ,OR,则 O 为△QRP′的中心.
设点 O 到△QRP′三边的距离为 a,则 OG=a,
OF=OQ·sin∠OQF<OQ·sin∠OQP′=a,
OE=OR·sin∠ORE>OR·sin∠ORP′=a,
∴OF<OG<OE,∴ OD
tan β
< OD
tan γ
< OD
tan α
,
∴α<γ<β.
答案 (1)A (2)B
类型 2 不同类型角间的大小比较
【例 1-2】 (1)(2019·浙江卷)设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱
VA 上的点(不含端点).记直线 PB 与直线 AC 所成的角为α,直线 PB 与平面 ABC 所成的角为β,
二面角 P-AC-B 的平面角为γ,则( )
A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γ
C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β
(2)(一题多解)(2018·浙江卷)已知四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线
段 AB 上的点(不含端点).设 SE 与 BC 所成的角为θ1,SE 与平面 ABCD 所成的角为θ2,二面角
S-AB-C 的平面角为θ3,则( )
A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1
C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1
解析 (1)由题意,不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等.因为点 P 是棱 VA 上的点(不含
端点),所以直线 PB 与平面 ABC 所成的角β小于直线 VB 与平面 ABC 所成的角,而直线 VB 与
平面 ABC 所成的角小于二面角 P-AC-B 的平面角γ,所以β<γ;因为 AC⊂平面 ABC,所以
直线 PB 与直线 AC 所成的角α大于直线 PB 与平面 ABC 所成的角β,即α>β.故选 B.
(2)法一 由题意知四棱锥 S-ABCD 为正四棱锥,如图,连接 AC,BD,记 AC∩BD=O,连接 SO,
则 SO⊥平面 ABCD,取 AB 的中点 M,连接 SM,OM,OE,易得 AB⊥SM,则θ2=∠SEO,θ3=∠SMO,
易知θ3≥θ2.再根据最小角定理知θ3≤θ1,所以θ2≤θ3≤θ1,故选 D.
法二 如图,不妨设底面正方形的边长为 2,E 为 AB 上靠近点 A 的四等分点,E′为 AB 的中
点,S 到底面的距离 SO=1,以 EE′,E′O 为邻边作矩形 OO′EE′,则∠SEO′=θ1,∠SEO
=θ2,∠SE′O=θ3.由题意得 tan θ1=SO′
EO′
= 5
2
,tan θ2=SO
EO
=
1
5
2
= 2
5
,tan θ3=1,此
时 tan θ2<tan θ3<tan θ1,可得θ2<θ3<θ1,当 E 在 AB 中点处时,θ2=θ3=θ1,故
选 D.
答案 (1)B (2)D
【训练 1】 (1)(2020·浙江十校联盟适考)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱
长均相等,侧棱 AA1⊥平面 ABC.过 AB1 作平面α与 BC1 平行,设平面α与平面
ACC1A1 的交线为 l,记直线 l 与直线 AB,BC,CA 所成锐角分别为θ,β,γ,
则这三个角的大小关系为( )
A.θ>γ>β B.θ=β>γ
C.γ>β>θ D.θ>β=γ
(2)(2020·浙江新高考仿真卷一)已知三棱锥 S-ABC 的底面 ABC 为正三角形,SA<SB<SC,
平面 SBC,SCA,SAB 与平面 ABC 所成的锐二面角分别为α1,α2,α3,则( )
A.α1<α2 B.α1>α2
C.α2<α3 D.α2>α3
(3)(2020·浙江三校三联)已知正三棱锥 S-ABC 中,G 为 BC 的中点,E 为线段 BG 上的动点(不
包括端点),SE 与平面 ABC 所成的角为α,二面角 S-BC-A 的平面角为β,SE 与 AC 所成的
角为γ,则( )
A.β>γ>α B.γ>β>α
C.γ>α>β D.β>α>γ
解析 (1)以 BA,BC 为邻边作平行四边形 ABCD,以四边形 ABCD 为底面补全
如图所示的直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,其中 O,E,F 分别为 A1C1,B1A1,B1C1
中点,由图易得平面 AB1D1 即为平面α,直线 OA 即为直线 l,则∠AOF,∠AOE,
∠AOA1 分别为θ,β,γ或它们的补角.设直四棱柱的棱长为 2,则在△AOA1
中,易得 cos∠AOA1=OA1
OA
= 5
5
,即 cos γ= 5
5
,在△AOF 中,易得 OF=1,
OA= 5,AF= 7,则由余弦定理得 cos∠AOF=- 5
10
,即 cos θ= 5
10
.在
△AOE 中,易得 OE=1,OA= 5,AE= 5,则由余弦定理得 cos∠AOE= 5
10
,即 cos β= 5
10
,
所以θ=β>γ,故选 B.
(2)如图,设底面等边三角形 ABC 的中心为 O,AB,BC 边上的高分别为
CD,AE,顶点 S 在底面 ABC 上的投影为点 P,则由 SA<SB 得点 P 在直线
CD 的上方,由 SB<SC 得点 P 在直线 AE 的左侧,则点 P 的投影在图中阴
影部分(不含边界)的区域.过点 P 分别作 BC,AC 的垂线,垂足分别为 Q,
R,易得∠SQP,∠SRP 即为二面角 S-BC-A 和二面角 S-CA-B 的平面角,且 PQ>PR,又因
为 tan∠SQP=SP
PQ
,tan∠SRP=SP
PR
,所以 tan∠SQP<tan∠SRP,则∠SQP<∠SRP,即α1<α2,
故选 A.
(3)设点 S 在底面 ABC 内的投影为点 O,连接 OG,OE,OB,过点 E 作 DE∥AC 交 OB 于点 D,则
易得∠SEO=α,∠SGO=β,∠SED=γ,且 tan∠SEO=OS
OE
,tan∠SGO=OS
OG
,tan∠SED=SD
DE
,
在正三棱锥中易得 OE>OG,DE<OG,SD>OS,所以 tan∠SED>tan∠SGO>tan∠SEO,则γ>
β>α,故选 B.
答案 (1)B (2)A (3)B
题型二 空间角的最值
【例 2】 (1)(2020·台州期末评估)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,M 为 AB 的中点,
将△ADM 沿 DM 翻折,在翻折过程中,当二面角 A-BC-D 的平面角最大时,其正切值为( )
A. 3
3
B.1
2
C. 2
3
D.1
4
(2)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 是棱 AB 上的动点(P 点可以运动到端点 A 和 B),
设在运动过程中,平面 PDB1 与平面 ADD1A1 所成的最小角为α,则 cos α=________.
解析 (1)在图 1 中,过 A 作 DM 的垂线,垂足为 E,交 CD 于 F,交 BC 的延长线于 G,在图 2
中,设 A 在平面 BCD 内的射影为 O,则 O 在直线 EG 上,过 O 作 BC 的垂线,垂足为 H,连接 AH,
则∠AHO 为二面角 A-BC-D 的平面角,设∠AEO=θ(0<θ<π),AE= 2
2
,AO=AEsin θ=
2
2
sin θ,在图 1 中,由∠GAB=45°,可得 AG=2 2,则 OG=2 2- 2
2
- 2
2
cos θ=2 2-
2
2
(1+cos θ),OH= 2
2
OG=2-1
2
(1+cos θ),即有 tan∠AHO=AO
OH
=
2
2
sin θ
2-1
2
(1+cos θ)
=
2· sin θ
3-cos θ
(0<θ<π),令 t= sin θ
3-cos θ
,0<θ<π,可得 sin θ+tcos θ=
3t≤ t2+1,解得 t≤ 2
4
,则 tan∠AHO≤1
2
.∴当二面角 A-BC-D 的平面角最大时,其正切值
为1
2
,故选 B.
(2)以点 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为 1,AP=a(0≤a≤1),则易得 D(0,0,0),P(1,a,0),B1(1,1,1),则DP→
=(1,a,0),DB1
→=(1,1,1),设平面 PDB1 的法向量为 n=(x,y,z),则
DP→·n=x+ay=0,
DB1
→·n=x+y+z=0,
令 x=a,得平面 PDB1 的一个法向量为 n=(a,-1,-a+1),易得平面 ADD1A1 的一个法向量
为 m=(0,1,0),由图易得平面 PDB1 与平面 ADD1A1 所成的二面角为锐角,设其为θ,则其余
弦值为 cos θ=| n·m
|n||m||= |-1|
a2+(-1)2+(-a+1)2
=
1
2
a-1
2
2
+3
2
,易得当二面
角取得最小值α时,a=1
2
,此时有 cos α= 6
3
.
答案 (1)B (2) 6
3
【训练 2】 (1)已知三棱锥 P-ABC 中,点 P 在底面 ABC 上的投影正好在等腰直角三角形 ABC
的斜边 AB 上(不包含两端点),点 P 到底面 ABC 的距离等于等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 的
长.设平面 PAC 与底面 ABC 所成的角为α,平面 PBC 与底面 ABC 所成的角为β,则 tan(α+β)
的最小值为________.
(2)如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点 M 在线段 PQ 上,
E,F 分别为 AB,BC 的中点.设异面直线 EM 与 AF 所成的角为θ,则 cos θ的最大值是________.
解析 (1)设点 P 在底面 ABC 上的投影为 H,连接 PH,则 PH⊥平面 ABC.过 H 作 HM⊥AC 于 M,
HN⊥BC 于 N,连接 PM,PN,则α=∠PMH,β=∠PNH.设 AC=BC=1,AH=t(0<t< 2),则
PH=AB= 2.因为△ABC 为等腰直角三角形,所以 MH=AHsin 45°= 2t
2
,NH=BHsin 45°=
2( 2-t)
2
,所以 tan α=PH
MH
=
2
2
2
t
=2
t
,tan β=PH
NH
=
2
2
2
( 2-t)
= 2
2-t
,
所以 tan(α+β)= tan α+tan β
1-tan α·tan β
=
2
t
+ 2
2-t
1-2
t
× 2
2-t
=- 2 2
t2- 2t+4
=-
2 2
t- 2
2
2
+7
2
.
因为 0<t< 2,所以当 t= 2
2
时,tan(α+β)取得最小值,最小值为-4 2
7
.
(2)以 A 点为坐标原点,AB,AD,AQ 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立
空间直角坐标系,如图所示,设 AB=1,则AF→=
1,1
2
,0
,E
1
2
,0,0
,
设 M(0,y,1)(0≤y≤1),则EM→=
-1
2
,y,1
,
∴cos〈AF→,EM→〉=
-1
2
+1
2
y
1+1
4
· 1
4
+y2+1
=-
1-y
5
2
· 4y2+5
.
则 cos θ=|cos〈AF→,EM→〉|=
1-y
5
2
· 4y2+5
=2 5
5
· 1-y
4y2+5
,
令 t=1-y,则 y=1-t,
∵0≤y≤1,∴0≤t≤1,
那么 cos θ=2 5
5
· t
4t2-8t+9
=2 5
5
t2
4t2-8t+9
=2 5
5
1
4-8
t
+9
t2
,
令 x=1
t
,∵0≤t≤1,∴x≥1,
那么 cos θ=2 5
5
1
4-8x+9x2,
又∵z=9x2-8x+4 在[1,+∞)上单调递增,
∴x=1 时,zmin=5,
此时 cos θ的最大值为2 5
5
· 1
5
=2 5
5
· 5
5
=2
5
.
答案 (1)-4 2
7
(2)2
5
题型三 空间角的范围
【例 3】 (1)在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC=1,将△ABC 与△ADC 沿 AC 所在的直线进行随意翻
折,在翻折过程中直线 AD 与直线 BC 成的角范围(包含初始状态)为( )
A.
0,π
6 B.
0,π
3
C.
0,π
2 D.
0,2π
3
(2)(2020·浙江高考适应性考试)四个同样大小的球 O1,O2,O3,O4 两两相切,点 M 是球 O1 上
的动点,则直线 O2M 与直线 O3O4 所成角的正弦值的取值范围为( )
A.
2 5
5
,1
B.
5
5
,1
C.
3
2
,1
D.
3
3
,1
解析 (1)根据题意,初始状态,直线 AD 与直线 BC 成的角为 0,当 BD= 2时,AD⊥DB,AD⊥DC,
且 DB∩DC=D,
所以 AD⊥平面 DBC,又 BC⊂平面 DBC,故 AD⊥BC,
直线 AD 与 BC 成的角为π
2
,
所以在翻折过程中直线 AD 与直线 BC 成的角范围(包含初始状态)为
0,π
2 .
(2)由四个同样大小的球 O1,O2,O3,O4 两两相切,则可以把 O1,O2,O3,
O4 看成正四面体的四个顶点,球的半径为棱长的一半,记球的半径为 1,
则正四面体的棱长为 2.平移直线 O3O4 至 O2C 位置,过 O2C,O1 的平面截球
O1 得一个大圆,过 O2 作大圆的两条切线 O2E,O2F,由线面垂直易证
O1O2⊥O2C,由图可知,当点 M 运动至切点 E 时,∠MO2C 最小,当点 M 运
动至切点 F 时,∠MO2C 最大,设∠EO2O1=θ,则∠MO2C∈
π
2
-θ,π
2
+θ
在 Rt△EO2O1 中,sin θ=1
2
,则θ=π
6
,即直线 O2M 与直线 O3O4 所成角α∈
π
3
,π
2 ,则直线
O2M 与直线 O3O4 所成角的正弦值的取值范围为
3
2
,1
.故选 C.
答案 (1)C (2)C
【训练 3】 (1)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,所有的棱长均为 2,M 是 AB 的中点,动点 P
在底面 A1B1C1 内,若 BP∥平面 A1MC,记∠PCC1=α,则 sin α的取值范围是________.
(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在 A1C 上运动(包括端点),则 BP 与 AD1 所成角的取值范围
是( )
A.
π
4
,π
3 B.
π
4
,π
2
C.
π
6
,π
2 D.
π
6
,π
3
解析 (1)如图,取 A1B1 的中点 D,连接 BD,C1D,BC1,则 BD∥A1M,又
A1M⊂平面 A1MC,BD⊄ 平面 A1MC,所以 BD∥平面 A1MC,又 C1D∥CM,C1D
⊄ 平面 A1MC,CM⊂平面 A1MC,所以 C1D∥平面 A1MC,又 BD∩C1D=D,所
以平面 BC1D∥平面 A1MC,所以点 P 在线段 C1D 上,点 P 的轨迹的长度
C1D= 3,连接 CD,在 Rt△CDC1 中,0≤α≤∠C1CD,CD= 7,sin∠C1CD= 21
7
,所以 0≤sin
α≤ 21
7
.
(2)建立如图坐标系,设正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 1,则AD1
→=(1,0,-1),A1C→=(1,1,
1).设A1P→=λA1C→=(λ,λ,λ),其中 0≤λ≤1.则BP→=(λ,λ-1,λ-1).又设 BP 与 AD1
所成角为θ,所以 cos θ=|cos〈BP→,AD1
→ 〉|=
|BP→·AD1
→|
|BP→||AD1
→|
=
1
6
λ-2
3
2
+4
3
.由 0≤λ≤1
得1
2
≤
cos θ≤ 3
2
,而 0≤θ≤π
2
,所以π
6
≤θ≤π
3
.
答案 (1)
0, 21
7 (2)D
补偿训练
1.如图,平面α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,A,B 到 l 的距离分别是 a 和 b,AB 与α,
β所成的角分别是θ和φ,线段 AB 在α,β内的射影长分别是 m 和 n,若 a>b,则( )
A.θ>φ,m>n B.θ>φ,mn
解析 由题意得
AB2=a2+n2=b2+m2,
a>b,
tan φ=a
n
,
tan θ=b
m
,
解得
m>n,
θ<φ.
答案 D
2.如图,二面角α-l-β中,P∈l,射线 PA,PB 分别在平面α,β内,点 A 在平面β内的
射影恰好是点 B,设二面角α-l-β、PA 与平面β所成的角、PB 与平面α所成的角的大小分
别为δ,φ,θ,则( )
A.δ≥φ≥θ B.δ≥θ≥φ
C.φ≥δ≥θ D.θ≥δ≥φ
解析 因为点 A 在平面β内的射影为点 B,则φ=∠APB,由二面角的定义易得δ≥φ,设 PB
在平面α内的射影为 PB′,则θ=∠BPB′,则由最小角定理得∠BPB′≤APB,则θ≤φ.综
上所述,故选 A.
答案 A
3.已知两个平面α,β和三条直线 m,a,b,若α∩β=m,a⊂α且 a⊥m,b⊂β,设α和β
所成的一个二面角的大小为θ1,直线 a 和平面β所成的角的大小为θ2,直线 a,b 所成的角
的大小为θ3,则( )
A.θ1=θ2≥θ3 B.θ3≥θ1=θ2
C.θ1≥θ3,θ2≥θ3 D.θ1≥θ2,θ3≥θ2
解析 当平面α与平面β所成的二面角为锐角或直角时,θ1=θ2,当平面α与平面β所成的
二面角为钝角时,θ2 为θ1 的补角,则θ1>θ2,综上所述,θ1≥θ2.又由最小角定理得θ3≥θ2.
答案 D
4.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E 分别是 BC,AB 的中点,AB≠AC,
且 AC>AD.设 PC 与 DE 所成角为α,PD 与平面 ABC 所成角为β,二面角 P-BC-A 为γ,则( )
A.α<β<γ B.α<γ<β
C.β<α<γ D.γ<β<α
解析 由题图可知∠PCA=α<π
2
,∠PDA=β<π
2
,因为 PA⊥平面 ABC,所以 tan α=PA
AC
,tan
β=PA
AD
.又 AC>AD,故 tan β>tan α,则β>α.过点 A 作 AQ⊥BC,垂足为 Q,连接 PQ,则∠PQA
=γ,同理可证得γ>β,所以α<β<γ,故选 A.
答案 A
5.(2020·浙江“超级全能生”联考)各棱长均相等的三棱柱 ABC-A1B1C1,AA1⊥平面 ABC,M 是
B1C1 的中点,点 P 是△A1B1M 内动点,记二面角 P-AB-C,P-BC-A,P-AC-B 的平面角分别
为α,β,γ.当点 P 到点 A1 的距离和到直线 B1C1 的距离相等时,则( )
A.α>β>γ B.γ>β>α
C.γ>α>β D.α>γ>β
解析 由题意可知点 P 的轨迹为△A1B1M 内一段抛物线,且该抛物线
的焦点为 A1,顶点为 B1C1 的高的中点,设点 P 到 A1B1,B1C1,A1C1 的距
离分别为 h1,h2,h3,记点 P 到底面 ABC 的距离为 h,则由题意知 tan
α=h
h1
,tan β=h
h2
,tan γ=h
h3
,由图可知 h1<h3<h2,则α>γ>
β,故选 D.
答案 D
6.如图,在正四面体 A-BCD 中,P,Q,R 分别为 AB,AC,AD 上的点,AP
PB
=2,CQ
QA
=AR
RD
=3,记
二面角 B-PQ-R,C-QR-P,D-PR-Q 的平面角分别为α,β,γ,则( )
A.γ<α<β B.α<γ<β
C.α<β<γ D.β<γ<α
解析 易知二面角 B-PQ-R 的平面角的补角就是二面角 A-PQ-R 的平面角,二面角 C-QR
-P 的平面角的补角就是二面角 A-QR-P 的平面角,二面角 D-PR-Q 的平面角的补角就是二
面角 A-PR-Q 的平面角.易得二面角 A-PQ-R 的平面角>二面角 A-QR-P 的平面角>二面
角 A-PR-Q 的平面角,即α<β<γ.故选 C.
答案 C
7.(2020·七彩阳光联盟三联)如图,在三棱锥 S-ABC 中,SC⊥平面 ABC,E,F 是棱 SC 的两
个三等分点,设二面角 S-AB-F,F-AB-E,E-AB-C 的平面角分别为α,β,γ,则( )
A.α>β>γ B.α>γ>β
C.γ>β>α D.γ>α>β
解析 如图,过点 C 作 CM⊥AB 于 M,连接 SM,FM,EM,则 AB⊥平面 SCM,
由二面角的定义可知,α=∠SMF,β=∠FME,γ=∠EMC,且 tan(α+
β+γ)=SC
MC
,tan(β+γ)=FC
MC
,tan γ=EC
MC
.因为 E,F 是棱 SC 的三等
分点,所以tan(α+β+γ)∶tan(β+γ)∶tan γ=3∶2∶1.设tan γ
=a,则 tan(α+β+γ)=3a,tan(β+γ)=2a,所以 tan β=tan(β
+γ-γ)= a
1+2a2,同理可得 tan α= a
1+6a2.因为 a> a
1+2a2> a
1+6a2,所以 tan γ>tan β
>tan α,所以γ>β>α,故选 C.
答案 C
8.(2020·嘉、丽、衢模拟)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=1,BC=AA1= 2,点 E,
O 分别是线段 C1C,BC 的中点,A1F→=1
3
A1A→,分别记二面角 F-OB1-E,F-OE-B1,F-EB1-O 的
平面角为α,β,γ,则下列结论正确的是( )
A.γ>β>α B.α>β>γ
C.α>γ>β D.γ>α>β
解析 设 B1C1 的中点为点 M,过点 F 作平面 BB1C1C 的垂线,设垂足为点 G,
则易得点 G 为 OM 的靠近点 M 的三等分点,设点 G 到直线 B1E,OE,OB1 的
距离分别为 d1,d2,d3,则 tan α=FG
d3
,tan β=FG
d2
,tan γ=FG
d1
,由图
易得 d1<d3<d2,则 tan γ>tan α>tan β,即γ>α>β,故选 D.
答案 D
9.(2020·浙江名师预测卷三)如图,矩形 ABCD 的边长 AB= 3,AD=1,以 AC 为折痕将△ACD
折起,使点 D 到达点 M 的位置,记 AM 与平面 ADC 所成角为α,记二面角 M-AD-C 为β,记
∠MAB 为γ,则在翻折过程中一定正确的结论是( )
A.α≤β≤γ B.β≤α≤γ
C.γ≤α≤β D.α≤γ≤β
解析 过点 M 作平面 ABCD 的垂线,垂足为 H,过点 H 分别作直线 AD 和 AB 的垂线,垂足分别
为 E,F,连接 ME,MF,则 sin α=MH
AM
,sin β=MH
EM
,sin γ=MF
AM
,在 Rt△MEA 中,EM<AM,
又α,β均为锐角,故α<β,而当平面 ACM 与平面 ABC 重合时,α=β,故α≤β.而在 Rt△MHF
中,MF>MH,故α<γ,又当点 H 落到 AB 上时,MF=MH,此时α=γ,故α≤γ,又因为 cos
β=EH
EM
,cos γ=AF
AM
,而 EH=AF,EM≤AM,故β≤γ,综上,α≤β≤γ,故选 A.
答案 A
10.(2020·金华十校期末调研)如图,在底面为正三角形的棱台 ABC-A1B1C1 中,记锐二面角 A1
-AB-C 的大小为α,锐二面角 B1-BC-A 的大小为β,锐二面角 C1-AC-B 的大小为γ,若
α>β>γ,则( )
A.AA1>BB1>CC1 B.AA1>CC1>BB1
C.CC1>BB1>AA1 D.CC1>AA1>BB1
解析 分别延长 AA1,BB1,CC1 交于点 D,过点 D 作 DO⊥底面 ABC,过点 O 分别作△ABC 三边的
垂线,分别交于点 M,N,P,则 tan α=DO
OM
,tan β=DO
ON
,tan γ=DO
OP
,因为α>β>γ,
所以 OM<ON<OP,则点 O 一定在△BEF 内部(不包括边界),所以 OB<OA<OC,又因为 AD=
OA2+OD2,BD= OB2+OD2,CD= OC2+OD2,所以 BD<AD<CD,所以 CC1>AA1>BB1,故选 D.
答案 D
11.(2020·浙江名师预测卷五)已知二面角 A-BC-D 大小为θ,θ∈
0,π
2 ,若 BC=6,AB
+AC=DB+DC=10,BC 的中点为 O,当四面体 ABCD 的体积最大时,∠AOD 与θ的大小关系为
( )
A.θ>∠AOD B.θ=∠AOD
C.θ<∠AOD D.无法确定
解析 因为 BC=6,AB+AC=DB+BC=10,所以 A,D 的运动轨迹均为椭圆的一部分,易知 A,
D 均为相应椭圆短轴端点时,此时 AO⊥BC,DO⊥BC,四面体 ABCD 的体积最大,则∠AOD 为二
面角 A-BC-D 的平面角,所以θ=∠AOD,故选 B.
答案 B
12.如图,已知三棱锥 D-ABC 满足 AC>AB>BC,D 在底面的投影 O 为△ABC 的外心,分别记直线
DO 与平面 ABD,ACD,BCD 所成的角为α,β,γ,则( )
A.α<β<γ B.α<γ<β
C.β<γ<α D.β<α<γ
解析 过点 O 分别作 AC,AB,BC 的垂线,垂足分别为 E,F,G,连接 DE,DF,DG,则由 OE⊥AC,
DO⊥AC,OE∩DO=O 得 AC⊥平面 DEO,又因为 AC⊂平面 ACD,所以平面 DEO⊥平面 ACD,则∠ODE
即为 DO 与平面 ACD 的夹角,即∠ODE=β,同理可得∠ODF=α,∠ODG=γ,则 tan β=OE
OD
,
tan α=OF
OD
,tan γ=OG
OD
,在△ABC 中,因为点 O 为△ABC 的外心,且 AC>AB>BC,所以 OEγ>β B.γ>β>α
C.γ>α>β D.β>α>γ
解析 作 FF′⊥平面 BB1D1D,则 FF′= 2
2
,作 FK⊥OB1,FM⊥OE,FN⊥B1D1,
所以 tan α=tan∠FKF′= 2
2F′K
,tan β=tan∠FMF′= 2
2F′M
,tan γ
= tan ∠FNF′ = 2
2F′N
, 又 F′K = OF′·sin ∠ B1OF′ , F′M =
OF′·sin∠EOF′,且 AF=λAA1<1
2
AA1,EB1=4
5
B1D1,所以 F′N>OF′>F′K>F′M,所以 tan β>tan
α>tan γ,所以β>α>γ,故选 D.
答案 D
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