2021届高考数学一轮复习第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积课件 39页

第 2 讲 空间几何体的表面积和体积 课标要求 考情风向标 了解球、棱柱、 棱锥、台的表面 积和体积的计 算公式 从近几年的高考试题来看，本部分内容是高考 的必考内容，考查形式可以直接求几何体的面 积和体积，也可以根据几何体的体积、面积求 某些元素的量，与三视图相结合求几何体的面 积、体积是课改以来高考的热点，在备考时应 予以重视 . 同时要特别注意有关球的内接或外 切几何体的计算，新课标多年都有考查 1. 柱、锥、台和球的侧面积和体积 2π rh ( 续表 ) ( 续表 ) 2. 几何体的表面积 (1) 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和 . (2) 圆柱、圆锥、 圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇 环形，它们的表面积等于侧面积与底面面积之和 . 4π R 2 3. 等积法的应用 (1) 等积法：包括等面积法和等体积法 . (2) 等积法的前提是几何图形 ( 或几何体 ) 的面积 ( 或体积 ) 通 过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何 图形的高 或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高 . 这一方法回 避了具体通过作图得到三角形 ( 或三棱锥 ) 的高，而通过直接计 算得到高的数值 . 1. 以边长为 1 的正方形的一边 所在直线为旋转轴，将该正 A 方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ( A.2π C.2 ) B.π D.1 2. 下列命题： ① 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆 锥； ② 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③ 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④ 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台， 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析： 命题①错，∵这条边若是直角三角形的斜边，则得 不到圆锥；命题②错，∵这条腰必须是垂直于两底的腰；命题 ③正确，∵圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；命题④错，必须 用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以 . 答案： B 3.(2016 年新课标 Ⅱ ) 体积为 8 的 正方体的顶点都在同一球 面上，则该球的表面积为 ( ) A A.12π B. 32 3 π C.8π D.4π 4.(2017 年江苏 ) 如图 8-2- 1 ，在圆柱 O 1 O 2 内有一个球 O ，该 球与圆柱的上、下面及母线均相切 . 记圆柱 O 1 O 2 的体积为 V 1 ， 图 8-2-1 考点 1 几何体的面积 例 1 ： (1) (2017 年新课标 Ⅱ ) 长方体的长、宽、高分别为 3,2,1 ， 其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ________. 答案： 14π (3)(2018 年新课标 Ⅰ ) 已知圆柱的上、下底面的中心分 别为 O 1 ， O 2 ，过直线 O 1 O 2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为 ( ) 答案： B (4)(2016 年新课标 Ⅲ ) 如图 8-2-2 ，网格纸上小正方形的边长 为 1 ，粗实线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的表面 积为 ( ) 图 8-2-2 答案： B 【 规律方法 】 第 (1)(2) (3) 小题是求实体的面积；第 (4) 小题 只是给出几何体的三视图，求该几何体的表面积时 ，先要根据 三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有 关公式进行计算 . 注意表面积包括底面的面积 . 考点 2 几何体的体积 例 2 ： (1) (2017 年新课标 Ⅲ ) 已知圆柱的高为 1 ，它的两个底 面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积 为 ( ) 答案： B (2)(2019 年江苏 ) 如图 8-2-3 ，长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的体 积是 120 ， E 为 CC 1 的中点，则三棱锥 E - BCD 的体积是 ________. 图 8-2-3 解析： ∵长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的体积为 120 ， ∴ AB · BC · CC 1 ＝ 120 ， 由长方体的性质知 CC 1 ⊥ 底面 ABCD ， ∴ CE 是三棱锥 E - BCD 的底面 BCD 上的高， ∴ 三棱锥 E - BCD 的体积 答案： 10 (3)(2018 年新课标 Ⅱ ) 已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ， SB 互 相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30° ，若△ SAB 的面积为 8 ， 则该圆锥的体积为 ________. 答案： 8π (4)(2018 年江苏 ) 如图 8-2-4 ，正方体的棱长为 2 ，以其所有 面的中心为顶点的多面体的体积为 ________. 图 8-2-4 (5)(2019 年新课标 Ⅲ ) 学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印 技术制作模型 . 如图 8-2-5 ，该模型为长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 挖 去四棱锥 O - EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心， E ， F ， G ， H 分别为所在棱的中点， AB ＝ BC ＝ 6 cm, AA 1 ＝ 4 cm, 3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm 3 ，不考虑打印损耗，制作该模型 所需原料的质量为 ________g. 图 8-2-5 答案： 118.8 【 规律方法 】 求几何体的体积时，若所给的几何体是规则 的柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几 何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直 观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计 考点 3 立体几何中的折叠与展开 例 3 ： (20 17 年新课标 Ⅰ ) 如图 8-2-6 ， 圆形纸片的圆心为 O ， 半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O . D ， E ， F 为圆 O 上的点，△ DBC ，△ ECA ，△ FAB 分别是以 BC ， CA ， AB 为底边的等腰三角形 . 沿虚线剪开后，分别以 BC ， CA ， AB 为折痕折起△ DBC ，△ ECA ，△ FAB ，使得 D ， E ， F 重合，得 到三棱锥 当 . ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积 ( 单位： cm 3 ) 的最大值为 ________. 图 8-2-6 解析： 如图 D71 ，设正三角形的边长为 x ，则 图 D71 【 跟踪训练 】 1.(2018 年新课标 Ⅰ ) 某圆柱的高为 2 ，底面周长为 16 ，其 三视图如图 8-2-7. 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ， 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面 ) 上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 ( 图 8-2-7 图 D72 答案： B 2.(2018 年广东阶段性测评 ) 一块边长为 6 cm 的正方形铁皮 按如图 8-2-8(1) 所示的阴影部分裁下，然后 用余下的四个全等的 等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图 8-2-8(2) 放置 . 若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积为 ( ) 图 8-2-8 解析： 由题和 D73(1) 可知， PM ＋ PN ＝ 6 (cm) ，且 PM ＝ PN . 图 D73 答案： D 难点突破 ⊙ 组合体的相关运算 例题： Rt△ ABC 的角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ( 其 中 c 为斜边 ) ，分别以 a ， b ， c 边所在的直线为旋转轴，将△ ABC 旋转一周得到的几何体的体积分别是 V 1 ， V 2 ， V 3 ，则 ( ) 答案： D 【 跟踪训练 】 3.(2019 年新课标 Ⅱ ) 中国有悠久的金石文化，印信 是金石 文化的代表之一 . 印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但 南北朝 时期的官员独孤信的印信形状是 “ 半正多面体 ” ( 图 8-2-9(1)). 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多 面体 . 半正多面体体现了数学的对称美 . 图 8-2-9(2) 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上， 且此正方体的棱长为 1. 则该半正多面体共有 _____ 个面，其棱长 为 _______. (1) (2) 图 8-2-9 解析： 中间一层是一个正八棱柱，有 8 个侧面，上层有 (8 ＋ 1) 个侧面，下层有 (8 ＋ 1) 个侧面，因此该半正多面体共有 26 个面， 设其棱长为 x ，在正八边形中， 2.(1) 圆锥的母线 l 、高 h 和底面圆的半径 R 组成直角三角形 . 圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形，关系式是 l 2 ＝ h 2 ＋ R 2 . (2) 圆台的母线 l 、高 h 和上、下底面圆的半径 r ， R 组成直 角梯形 . 圆台的计算一般归结为解这个直角梯形，关系式是 l 2 ＝ h 2 ＋ ( R － r ) 2 . 3. 球的截面性质：球的截面是圆面，球面被经过球心的平 面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做 中 r 为截面圆半径， R 为球的半径， d 为球心 O 到截面圆的距 离，即 O 到截面圆心 O 1 的距离 ). 5. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 . 解题 时要认真分析图形，明确切点和接点的位置 ，确定有关元素间 的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点 为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接 于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等 于球的直径 .