2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十九） 8页

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十九）‎ ‎17．（12分）‎ 在等差数列中，，公差，记数列的前项和为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设数列的前项和为，若，，成等比数列，求．‎ ‎【解析】解：（1）∵，‎ ‎∴，∴，∴．……3分 ‎∴，．……6分 ‎（2）若，，成等比数列，则，‎ 即，∴．……8分 ‎∵，‎ ‎∴．……12分 ‎18．（12分）‎ 如图，在底面为矩形的四棱锥中，．‎ ‎（1）证明：平面平面PCD；‎ ‎（2）若异面直线与所成角为，，，求二面角的大小．‎ ‎【解析】（1）证明：由已知四边形ABCD为矩形，得，‎ ‎，，平面PBC，‎ 又，平面PBC，‎ 平面PCD，平面平面PCD； …..4分 ‎（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，，‎ 则，，，，……5分 所以，，则，即，‎ 解得（舍去）．……7分 设是平面的法向量，则即，‎ 可取，‎ 设是平面的法向量，则即，‎ 可取，所以，‎ 由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为．……12分 ‎19．（12分）‎ 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：‎ 租用单车数量x（千辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 每天一辆车平均成本y(元)‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：．‎ ‎（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：，称为相应于点的残差（也叫随机误差））；‎ 租用单车数量x（千辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 每天一辆车平均成本y（元）‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 模型甲 估计值 ‎2.4‎ ‎2.1‎ ‎1.6‎ 残差 ‎0‎ ‎－0.1‎ ‎0.1‎ 模型乙 估计值 ‎2.3‎ ‎2‎ ‎1.9‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好．‎ ‎（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6．问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润＝收入－成本）．‎ ‎【解析】解：（1）①经计算，可得下表：‎ ‎…..3分 ‎②，， …..5分 ‎，故模型乙的拟合效果更好． …..6分 ‎（2）若投放量为8千辆，则公司获得每一辆车的收入期望为，所以一天的总利润为（元）， …..8分 若投放量为1万辆，由（1）可知，‎ 每辆车的成本为（元）， …..9分 每辆车一天收入期望为， …..10分 所以公司一天获得的总利润为（元）， …..11分 因为，‎ 所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆． …..12分 ‎20．（12分）‎ 如图，设椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为右焦点．直线与的交点到轴的距离为．过点做轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与的另一个交点为，证明：直线与圆相切．‎ ‎【解析】（1）解：由题可知，∴，．……1分 设椭圆的方程为，……2分 由得，∴，，，‎ 故的方程为．……5分 ‎（2）证明：由（1）可得，设圆的圆心为，则，‎ 圆的半径为．……6分 直线的方程为．……7分 ‎（方法一）由，得，……8分 由，得，，‎ 直线的方程为，‎ 即．…10分 ‎∵点到直线的距离为，‎ ‎∴直线与圆相切．……12分 ‎（方法二）设过与圆相切的直线方程为，‎ 则，整理得，……8分 由，得，……10分 又∵，……11分 ‎∴直线与圆相切． ……12分 ‎21．（12分）‎ 已知函数的图象在处的切线过点．‎ ‎（1）若函数，求的最大值（用表示）；‎ ‎（2）若，，证明：．‎ ‎【解析】（1）解：由，得，……1分 的方程为，又过点，‎ ‎∴，解得．……3分 ‎∵，‎ ‎∴，……4分 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；……6分 故．……7分 ‎（2）证明：∵，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴．……9分 令，，，‎ 令得；令得．‎ ‎∴在上递减，在上递增，‎ ‎∴，∴，，‎ 解得．……12分