高中同步数学教案第8章 平面向量 44页

第八章：平面向量 一、向量的有关概念 ‎1、向量的定义：‎ 既有大小，又有方向的量称为向量。而那些只有大小，没有方向的量称为标量。‎ ‎（向量、标量举例）‎ ‎2、向量的表示：‎ ‎　　向量可以用有向线段来表示。如图向量的方向是从A到B。‎ A B 记作：向量（或向量）。‎ ‎3、向量的模（长度）：‎ ‎　有向线段的长度，即向量（或向量）的大小称为向量的模，记作为（或）。‎ ‎4、相等向量与零向量：‎ ‎　如果两个向量和的模相等且方向相同，那么这两个向量称为相等的向量。 记作。‎ 模为零的向量叫做零向量，记作。它的方向是不定的（也可以说其方向是任意的）。　注意：零向量都是相等的。‎ ‎5、平行向量：‎ ‎　如果两个向量和的方向相同或相反，那么这两个向量称为平行向量（也称为共线向量），记作；‎ 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意的向量，。‎ 如果两个向量和的方向相反且模相等，那么我们把向量叫做向量的负向量（也叫相反向量，逆向量），记作。可以看出，对于任意的两点A、B，有。‎ ‎6、单位向量：‎ ‎　模为的向量称为单位向量。‎ 例1：在平面几何中对于直线，若且，则。问：对于三个向量也是否有相应结论？说明理由。‎ 解：命题“若且，则”是假命题。当时，结论不一定成立。‎ 例2：在矩形ABCD中，AB＝2BC，M、N分别是AB、CD的中点，在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的向量中，与相等的非零向量有多少个？找出的负向量。‎ A B C D M N 二、向量的加法与减法 ‎1、向量加法的平行四边形法则与三角形法则：‎ 一般地，对于两个不平行的向量，如果以点O为起点，作，那么以为邻边的平行四边形OACB的对角线OC所表示的向量叫做向量与的和，记作。利用平行四边形作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。‎ O B A C 根据向量相等的意义，在平行四边形OACB中，，则有。即把向量进行平移，使的起点O移到的终点A，连接的起点O与平移后的终点C所得到的向量即是两向量的和向量。这种作向量和的方法叫做向量加法的三角形法则。‎ O A C ‎2、向量加法的运算律 ‎（1）交换律：；‎ ‎（2）结合律：。‎ 结合律的作图验证：‎ A B C D 如图：作，由向量 加法的三角形法则：，。‎ ‎，。所以。‎ ‎　　若干个起点、终点依次相接的向量的和是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量。‎ ‎3、向量减法的作图方法：‎ 已知向量，在平面内任取一点O，作，，因为，所以。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义。‎ O A B ‎4、向量加减法性质：‎ ‎（1）‎ ‎ （2） ‎ ‎（3）‎ 例1：一渡船从河南岸以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速度为向东。求船的实际航行速度与方向(方向精确到)。‎ A B C D 解：如图：设表示船和速度，表示水的速度，‎ 以AB、AD为邻边作平行四边形，则对角线表示船的实际航行的速度。‎ 在直角三角形中，，，‎ 所以。又，算得：。‎ 答：船的实际航行速度大约为，方向大约为东偏北。‎ 例2：某人用速度向正东方向行驶，感觉到风从正北方向吹来，若把速度提高到，则感觉到风从正东北方向吹来。试确定风速与风向。‎ ‎ 解：风向为西北风，风速为。‎ 三、实数与向量的积 ‎1、实数与向量乘积的定义：‎ 一般地，实数与与非零向量的乘积是一个向量，记作。的模与方向规定如下：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，是零向量。‎ 规定：任意实数与零向量的乘积是零向量。‎ ‎2、向量平行的充要条件：‎ 根据实数与向量乘积的意义，可知：与是相互平行的向量。反之，如果两个非零向量与平行，那么一定存在惟一实数，使得。‎ 所以,两个非零向量与平行的充要条件是:存在实数，使得。‎ 与向量共线的单位向量有两种情况：若与同向，则，若与反向，则 ‎。‎ ‎3、实数与向量乘积的运算律：‎ 设，则有：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ 例1：O是平面上的任意一点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足：，则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）‎ A、外心；　　　B、内心；　　　C、重心；　　　D、垂心。‎ 解：选B。‎ 例2：如图：正六边形ABCDEF中，设。试用表示。‎ A B C D E F 解：，‎ 所以；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ 例3：设是两个不共线的向量，已知。若A、B、D三点共线，求的值。‎ 解：因为A、B、D三点共线，则必存在实数，使得。，则有：，那么，即。‎ 例4：在△ABC中，，设，且。试用表示与的单位向量。‎ A B C 解：因为，，由余弦定理得 ‎，所以。‎ ‎，所以。‎ 例5：已知O是四边形ABCD所在平面内一点，且向量满足等式：。问四边形ABCD有什么特征？证明你的结论。‎ 解：四边形ABCD是平行四边形。‎ 证明：因为，则，即，那么且。所以四边形ABCD是平行四边形。‎ 例6：如图：D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，延长CD到P，使D为CP中点，延长BE到Q，使E是BQ中点。求证：‎ ‎（1）A、P、Q三点共线；　　　（2）且。‎ A B C D E P Q 证明：（1）因为D是AB中点，D是CP中点，则有 ‎，，‎ ‎。所以；同理可证，‎ 所以，则A、P、Q三点共线。‎ ‎（2），所以且。‎ 四、平面向量分解定理：‎ 设是平面内两个不平行的向量，向量是该平面内的任意一个非零向量，下面研究与之间的关系。‎ O A B M N C 在平面内任取一点O，作。过C作平行于OB的直线，与直线OA交于点M；过C作平行于OA的直线交直线OB于N。由向量平行的充要条件知，存在实数，使得。由向量加法的几何意义知，所以。‎ 也就是说，平面内任意一非零向量都可以表示为这两个不平行的向量的线性组合。‎ 平面向量分解定理：‎ 如果是同一平面内的两个不平行的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。‎ 不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基向量（简称基）。‎ 例1：已知向量是平面内所有向量的一组基向量，且，。若（其中），求的值。‎ 解：由题得：‎ ‎，‎ 又，且是平面内所有向量的一组基向量，由平面向量分解定理知：‎ ‎，解得：。‎ 例2：已知是两个不共线的向量，且 ‎。‎ ‎（1）若A、B、C三点共线，求的值；‎ ‎（2）若A、B、D三点共线，求的值。‎ 解：（1）若A、B、C三点共线，则，即：，由平面向量分解定理得：，即。‎ ‎（2）。由A、B、D三点共线，则有，即，由平面向量分解定理得：‎ ‎，即。‎ 例3：已知A、B、C是平面上不同三点，O是平面上任意一点，求证：A、B、C三点共线的充要条件是：存在，使得。‎ O A B C 证明：充分性：若，且，‎ 则，，‎ 又，所以，所以A、B、C三点共线。‎ 必要性：由A、B、C三点共线，则存在，使得成立。＝。‎ 设，则有且。‎ 综上知：A、B、C三点共线的充要条件是：存在，使得。‎ 例4：已知△中，D、E、F分别是三边的中点，求证：。‎ A B C D E F 证明：选取作为一组基向量，设，‎ ‎。则，‎ ‎，‎ ‎。‎ 则。‎ 引伸1：如图△中，D、E、F分别是BC、CA、AB上靠近B、C、A的一个三等分点，求证：‎ 引伸2：△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB上的点，且，则。‎ ‎（证明略，方法同例4）‎ A B C D E F 五、向量的坐标表示及运算：‎ ‎1、基本单位向量：‎ 在平面直角坐标系内，分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫基本单位向量，分别记作为和。‎ ‎2、位置向量：‎ 在平面直角坐标系中，对于任意向量，将其起点置于坐标原点，作，我们称向量叫做向量的位置向量。‎ O A ‎3、向量的正交分解：‎ 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，这种分解称为正交分解。正交分解是一种常见的分解形式。‎ 平面直角坐标系中任意向量都可以正交分解为的形式。‎ ‎4、平面向量的坐标表示：‎ 平面直角坐标系中任意向量都可以用基本单位向量、唯一表示：。它们的系数是与向量相等的位置向量的终点A的坐标，我们用有序数对来表示向量，记作， O A M N 称为向量的坐标表示。‎ 实际上是向量的正交分解的简记形式。根据坐标表示，显然有：。‎ ‎5、向量坐标表示的运算：‎ 设是一个实数，。‎ 则，根据向量的运算法则，则有 ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ 向量坐标运算法则：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标。‎ ‎6、向量的模：‎ 若向量，则向量的模等于。‎ ‎7、向量坐标与点的坐标的关系：‎ O 如图，已知，‎ 由向量减法的意义：‎ 这就是说：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。‎ 例1：已知平行四边形ABCD中，，O是坐标原点。‎ ‎（1）写出向量的坐标；（2）求点D的坐标。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）设，则由四边形ABCD是平行四边形，则。，，由向量相等意义，则有：。所以D点坐标为。‎ 例2：已知。点P满足。‎ ‎（1）当为何值时，点P在直线上？‎ ‎（2）若点P位于第四象限，求实数的取值范围。‎ 解：，则 ‎，又。则点P的坐标为。‎ ‎　（1）若点P在直线上，则；‎ ‎　（2）若点P位于第四象限，则。‎ 六、向量平行与定比分点 ‎　　1、两非零向量平行的坐标关系：‎ 已知两非零向量。求证：的充要条件是。‎ 证明：（1）必要性：若，，则存在实数，使得成立，‎ 即，于是有：，‎ 则。‎ ‎（2）充分性：若，可知都不为零，则 且，即：，亦即，则有；若，则中至少有两个为零。如果，那么，则有，。存在，且，使得，即。‎ 如果，那么必有，同理可证。‎ 综上知：的充要条件是。‎ 例1：设。已知，求实数的值。‎ 解：因为，所以，解得：或。‎ 注意：当时，，同样满足。防止学生解题过程中舍去。‎ 例2：设P是坐标平面上的一点，。问为何值时，A、B、C三点共线。‎ 解：，‎ ‎。由A、B、C三点共线，则，‎ 所以，解得或。‎ 例3：已知，点且，若，求的坐标。‎ 解：设点的坐标为，则，则由且得：‎ ‎，解得：或。‎ 即或。‎ ‎2、定比分点坐标公式：‎ 设P是直线上的一点，且（是任意实数，且，若的坐标分别是。求P点的坐标。‎ 由可知：，因为，所以。我们把这个公式称为有向线段的定比分点的坐标公式，叫分有向线段的比。‎ 特别地，当时，P为线段的中点，此时有。这个公式叫做有向线段的中点坐标公式。‎ 例4：设△ABC的三顶点。G是三角形ABC的重心，求G点的坐标。‎ A B C D G O 解：由于G是三角形ABC的重心，则AG与BC交点D是BC中点。由中点坐标公式得：。‎ 设，且，由定比分点坐标公式得 ‎，即：。‎ 所以。这就是三角形的重心坐标公式。‎ 说明：本例的结论可作为公式应用。‎ 例5：已知△ABC中，。点D在AB上，且，点E在AC边上，且DE把△ABC的面积平分，求点E的坐标。‎ A B C D E O 解：由得，，所以，即。‎ 因为DE把△ABC的面积平分，则，所以，又，所以 ‎，则，设，由定比分点 坐标公式得：，即。‎ 七、向量的数量积 ‎　　1、两向量夹角的定义：‎ 对于两个非零向量和，以O为起点，作，那么射线的夹角叫做向量和的夹角。可以看出：两向量夹角的取值范围是。‎ 当时，表示两向量方向相同，当 时，表示两向量的方向相反。两向量的夹角为0或，则两向量是平行向量。‎ 当时，向量和称为互相垂直，记作：。‎ ‎2、向量数量积的定义：‎ 一般地，如果两个非零向量的夹角为，那么我们把叫做向量与的数量积，记作，即。‎ 特别地， ，。‎ ‎3、向量投影的定义：‎ O A B B1‎ 在数量积的定义中，称叫做向量在向量的方向上的投影，即如图中的有向线段的数量。‎ ‎（1）零向量在任何一个向量上的投影是0；‎ ‎（2）当时，在上的投影为负；‎ ‎（3）当时，在上的投影为0；‎ ‎（4）当时，在上的投影为正。‎ ‎4、向量数量积的几何意义：‎ 两个向量的数量积是其中一个向量的模与另一个向量在向量的方向上的投影的乘积。‎ ‎5、向量数量积的运算性质：‎ ‎（1）交换律：；‎ ‎（2）结合律：对于，；‎ ‎（3）分配律：。‎ 说明： 性质（1）与（2）可以由向量数量积的定义直接进行证明，性质（3）的证明，教师讲解时简单地作图说明，特别应注意向量在向量方向上的投影的正、负，可作两个图形说明。‎ ‎ 结合律中通常不成立。‎ ‎6、两向量夹角公式 已知两非零向量的夹角为，则。‎ 两非零向量，当时，；反之，当时，。注意到与任何向量垂直，所以得到：两个向量与垂直的充要条件是。‎ 例1：如图：△中，，D是AB的中点，。‎ 求下列各式的值。 （1）；　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　　（4）。‎ A B C D 解：（1）；‎ ‎（2）因为与的夹角是，所以 ‎；‎ ‎（3）；　　　　　　　（4）。‎ 例2：我们知道，当时，恒有 成立。‎ 对于任意的向量是否有类似的结论成立？‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ 解：（1）‎ ‎＝；‎ ‎　　　同样可以证明：，所以有。‎ ‎　　　（2）。‎ 问:如何证?‎ ‎（1）‎ ‎ （2） ‎ ‎ (3) ‎ 例3：已知，且与的夹角是，求下列各式的值：‎ ‎（1）；　　　　　　（2）。‎ 解：（1）由与的夹角是且得，‎ ‎，‎ 则。‎ ‎（2）因为 ‎＝‎ ‎，所以。‎ 例4：已知向量与向量满足：，且，求与的夹角的大小。‎ 解：‎ 例5：已知向量、满足：，与垂直，求实数的值。‎ 解：由与垂直，则，化简得：，即，由已知，所以，解得。所以时与垂直。‎ 例6：已知向量满足：与垂直，与也垂直，求向量与的夹角的值。‎ 解：由题知，且，即：‎ ‎，从两式中解得：，由此知，由向量夹角公式得，而，所以。‎ 例7：已知△AOB的面积为，。若，求向量与夹角 的取值范围。‎ O A B 解：由，则；‎ 则 又，‎ 所以。则因为，所以。‎ 八、向量数量积的坐标表示 ‎1、向量数量积的坐标表示：‎ 设向量，由数量积的运算性质：‎ 又与是互相垂直的单位向量，则，于是有：‎ 即：两个向量数量积的坐标运算结果是它们对应的坐标乘积之和。‎ ‎2、两向量数量积坐标表示的常用结论：‎ 设，的夹角为。‎ ‎（1）的充要条件是；‎ ‎（2）的充要条件是；‎ ‎（3）。‎ 例1：已知，求：‎ ‎（1）；　　　　　（2）。‎ 解：（1），所以；‎ ‎（2），所以。‎ 说明：与是两个不同的结果，是一个与平行的向量，是一个与平行的向量。‎ 例2：在△ABC中，已知A、B、C三点的坐标分别为，‎ 求证：三角形ABC是直角三角形。‎ 证明：因为，而，所以，即△ABC是直角三角形。‎ ‎（本例还可以利用向量的模来证明，求出三角形三边的长利用勾股定理。）‎ 例3：已知，若与垂直，求实数的值。‎ 解：，因为与垂直，所以，即，解得：。所以当时，与垂直。‎ 例4：中，已知向量，求的面积。‎ 解：‎ 例5：求与向量，向量夹角相等，且模为的向量的坐标。‎ 解：或。‎ 例6：已知，试在轴上求点，使得最小，并求此时的大小。‎ 解：设，则 ‎，‎ 所以当时，最小值为，此时。‎ 即为向量与的夹角，此时，，设，则，。‎ 变题：已知，试在轴上求点，使△是直角三角形。‎ 解：设，若是直角，则，即，解得或；‎ 若为直角，则，，所以，解得；‎ 若为直角，则，所以，解得。‎ 综上知所求点P的坐标为或或或。‎ 例7：如图，，的夹角为，的夹角为，，设，试用表示。‎ 解：。‎ 九、平面向量的应用 例1：证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。‎ A B C D O 证明：如图，设四边形ABCD的对角线AC与BD交于点 O，且AO＝OC，BO＝OD。亦即。‎ 则，，所以且，则四边形ABCD是平行四边形。‎ 拓展：在上题基础上进一步证明：对角线平分且相等的四边形是矩形。‎ 证明：由对角线平分的四边形是平行四边形，设，则，，由对角线相等地，则，所以，由向量的运算知，即，所以，则，即，所以四边形ABCD是矩形。‎ 例2：求证：三角形的三条高交于一点（该点称为三角形的垂心）。‎ A B C H 证明在线共点的问题一般先由两线确定一个交点，再证明这一点 在第三条直线上。因此本题可以转化为：已知△ABC中，‎ ‎，求证：。‎ 证法一：如图，设。‎ 则，。由，则――――――――――――（1）‎ 同理由得：――――――――――――――（2）‎ A B C H O ‎（2）－（1）得：，即，所以，所以。即三角形的三条高交于一点。‎ 证法二：建立如图所示直角坐标系。‎ 设，则，‎ ‎，因为，则，‎ 即。又，‎ 则，所以。‎ 例3：在四边形ABCD中，已知，求证：。‎ A B C D 证明：如图所示，设。‎ 则。‎ 由得，即 ‎，所以 ‎，即，，所以，，即，。‎ 例4：对于任意的，求证：。‎ 证明：（构造向量进行证明）设，的夹角为，则由向量运算的坐标形式得：，又，即 ‎，所以，平方得 ‎。知不等式成立。‎ 例5：有向量方法证明余弦定理。‎ A B C 证明：如图△ABC中，的对边分别为 ‎，求证。因为 且的夹角为，‎ ‎，则 ‎，所以。‎ 例6：用向量方法求证：。‎ 证明：，则且，向量的夹角为或即，则，又＝，所以。‎ 例7：一个质量为‎20千克的物体用两根绳子悬挂起来，如图所示：两根绳子与铅垂线的夹角分别为与，求两根绳子所受的力（精确到0.1牛）。‎ 千克 解：与的合力是垂直向上，模为20的向量。‎ O ‎20‎ 以为轴建立如图坐标系。，则 ‎，‎ ‎。‎ ‎，所以，解之得：‎ ‎。。所以，这两根绳子所受的力分别为牛和牛。‎ 十、向量的综合应用 ‎ 例1：如图，在△ABC中，是边BC上的一点， 且，求。‎ A B C D 解：‎ ‎，，‎ 又，，‎ ‎。‎ 说明：在此△ABC中，以为基底表示与。‎ ‎ 例2：如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点， BE、BF分别交AC于R、T两点，求证：R、T是AC的三等分点。‎ A B C D E F R T 解：设，则，因为与是共线向量，所以，又E、R、B三点共线，则有 ‎，‎ 而，所以，。‎ 则，所以R是AC的三等分点，同理可证T也是AC的三等分点。‎ 例3：已知，且存在实数与使得：‎ ‎，若，求：的取值范围。‎ 解：由题得：，，又，所以，即，，所以 ‎，所以的取值范围是。‎ 例4：在△中，角A、B、C的对边分别为。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若且，求。‎ 解：（1）由同角三角比基本关系式：，又是三角形内角，知，所以；‎ ‎（2）则，即，又，所以 ‎，，所以。‎ ‎ 例5：已知,若，‎ ‎ 且。‎ ‎ （1）用表示；‎ ‎ （2）求的最小值，并求出此时与的夹角的值。‎ 解：（1）由，则，所以，又则，即，展开得：中，即。所以。‎ ‎（2）由，当且仅当时等号成立。所以的最小值为，此时，则。‎ ‎ 例6：为非零向量，。‎ ‎ （1）求的最小值以及此时的值；‎ ‎ （2）求证：当取最小值时，与垂直。‎ 解：（1）因为 ‎　　　　　　　　　 ＝‎ ‎　　　　　　　　　 ＝。‎ 因为，所以当时，的最小值为，‎ 所以的最小值为。‎ ‎（2）因为时，最小，此时，‎ ‎，‎ 所以与垂直。‎