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- 2021-06-11 发布
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6
.
3
.
1
平面向量基本定理
6
.
3
.
2
平面向量的正交分解及坐标表示
课标阐释
思维脉络
1
.
理解基底的定义
,
并能判断两个向量能否构成一个基底
.
(
数学抽象、逻辑推理
)
2
.
理解并掌握平面向量基本定理
,
会用基底表示平面向量
.
(
数学抽象、数学运算
)
3
.
理解平面向量正交分解以及坐标表示的意义
.
(
数学抽象、逻辑推理
)
激趣诱思
知识点拨
音乐是人们在休闲时候的一种选择
,
不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐
,
还是高雅的古典音乐
,
它们都给了人们不同的享受
.
事实上
,
音乐有基本音符
:do
re
mi
fa
sol
la
si,
所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合
,
音乐的奇妙就在于此
.
在多样的向量中
,
我们能否找到它的
“
基本音符
”
呢
?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、平面向量基本
定理
定理
条件
e
1
,e
2
是同一平面内的两个
不共线
向量
结论
对于这一平面内的
任一
向量
a,
有且只有
一对实数
λ
1
,
λ
2
,
使
a=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
基底
若
e
1
,e
2
不共线
,
我们把
{e
1
,e
2
}
叫做表示这一平面内所有向量的一个
基底
名师点析
对平面向量基本定理的理解
(1)
基底具备两个主要特征
:
①
基底是由两个不共线的向量构成的
;
②
基底的选择是不唯一的
.
(2)
基底
e
1
,
e
2
确定后
,
平面内任一向量
a
的分解式是唯一的
,
特别地
,
a
1
e
1
+a
2
e
2
=
0
时
,
恒有
a
1
=a
2
=
0
.
(3)
用向量解决几何问题时
,
可以选择适当的基底
,
将问题中涉及的向量向基底化归
.
激趣诱思
知识点拨
微思考
a
=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
中的一对实数
λ
1
,
λ
2
是否唯一
?
提示
:
当
e
1
,
e
2
不共线时
,
由平面向量基本定理知
,
λ
1
,
λ
2
是唯一的
;
当
e
1
,
e
2
共线时
,
λ
1
,
λ
2
不唯一
.
微练习
下列说法正确的是
(
)
A.
平面内的任一向量
a
,
都可以用平面内的两个非零向量
e
1
,
e
2
表示
B.
当
a
与两个不共线的非零向量
e
1
,
e
2
之一平行时
,
a
不能用
e
1
,
e
2
表示
C.
零向量可以作为基底中的向量
D.
平面内的基底是不唯一的
解析
:
根据平面向量基本定理可知
,
只要是不共线的两个向量就可以作为基底
,
因此基底是不唯一的
.
答案
:
D
激趣诱思
知识点拨
知识
点二、平面向量的正交分解及坐标表示
1
.
平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个
互相垂直
的向量
,
叫做把向量作正交分解
.
2
.
平面向量的坐标表示
(1)
基底
:
在平面直角坐标系中
,
设与
x
轴、
y
轴方向
相同
的两个
单位
向量分别为
i
,
j
,
取
{
i
,
j
}
作为
基底
.
(2)
坐标
:
对于平面内的任意一个向量
a
,
由平面向量基本定理可知
,
有且只有一对实数
x
,
y
,
使得
a
=x
i
+y
j
.
这样
,
平面内的任一向量
a
都可由
x
,
y
唯一确定
,
我们把有序实数对
(
x
,
y
)
叫做向量
a
的坐标
,
记作
a
=
(
x
,
y
),
其中
,
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标
,
y
叫做向量
a
在
y
轴上的坐标
.
(3)
坐标表示
:
a
=
(
x
,
y
)
叫做向量
a
的坐标表示
.
(4)
特殊向量的坐标
:
i
=
(1,0)
,
j
=
(0,1)
,
0
=
(0,0)
.
激趣诱思
知识点拨
微思考
在直角坐标平面内
,
O
为原点
,
向量
的
坐标与点
A
的坐标有什么关系
?
微
练习
在平面直角坐标系中
,
若
i
,
j
是与
x
轴、
y
轴正方向相同的单位向量
,
且
a
=
2
i
-
6
j
,
b
=
5
j
,
c
=-
4
i
,
则向量
a
,
b
,
c
的坐标分别是
,
,
.
答案
:
(2,
-
6)
(0,5)
(
-
4,0)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对平面向量基本定理的理解
例
1
给出下列说法
:
①
若向量
e
1
,
e
2
不共线
,
则平面内的零向量不能用
e
1
,
e
2
表示
;
②
若向量
e
1
,
e
2
共线
,
则平面内任一向量
a
都不能用
e
1
,
e
2
表示为
a
=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
(
λ
1
,
λ
2
∈
R
)
的形式
;
③
若向量
e
1
,
e
2
是一组基底
,
则
e
1
+e
2
与
e
1
-e
2
也可以作为一组基底
.
其中正确说法的序号是
.
解析
:
①
错误
.
零向量也可以用一组基底来线性表示
.
②
错误
.
当
e
1
,
e
2
共线时
,
平面内的有些向量可以表示为
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
(
λ
1
,
λ
2
∈
R
)
的形式
,
有些向量则不可以
.
③
正确
.
当
e
1
,
e
2
不共线时
,
e
1
+e
2
与
e
1
-e
2
一定不共线
,
可以作为基底
.
答案
:
③
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
平面向量基本定理的四个要点
①
不共线的向量
e
1
,
e
2
;
②
平面内的任意向量
a
;
③
存在唯一一对实数
λ
1
,
λ
2
;
④
a
=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.
①②
B.
①③
C
.
①④
D.
③
④
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平面向量基本定理的应用
例
2
在
△
ABC
中
.
分析
根据平面向量基本定理
,
结合向量的线性运算进行求解
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量
,
基本方法有两种
:
一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化
,
直至用基底表示为止
;
另一种是通过列向量方程或方程组的形式
,
利用基底表示向量的唯一性求解
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平面向量的坐标表示
例
3
已知
i
,
j
分别是与
x
轴、
y
轴正方向相同的单位向量
,
a
=
3
i
-
2
j
,
b
=-
i
+
5
j
,
求向量
a
+
4
b
的坐标
.
分析
将
a
+
4
b
先用
i
,
j
表示
,
再转化为坐标的形式
.
解
:
因为
a
=
3
i
-
2
j
,
b
=-
i
+
5
j
,
所以
a
+
4
b
=
(3
i
-
2
j
)
+
4(
-
i
+
5
j
)
=
3
i
-
2
j
-
4
i
+
20
j
=-
i
+
18
j
,
因此向量
a
+
4
b
的坐标为
(
-
1,18
)
.
反思感悟
求平面向量坐标的方法
(1)
若
i
,
j
是分别与
x
轴、
y
轴同方向的单位向量
,
则当
a
=x
i
+y
j
时
,
向量
a
的坐标即为
(
x
,
y
)
.
(2)
求向量的坐标一般转化为求点的坐标
.
解题时
,
常常结合几何图形
,
利用三角函数的定义和性质进行计算
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
巧用直线的向量参数方程式
解题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
设
{
e
1
,
e
2
}
是平面内一个基底
,
则
(
)
A.
零向量不能用
e
1
,
e
2
表示
B.
对实数
λ
1
,
λ
2
,
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
不一定在该平面内
C.
对平面内任一向量
a
,
使
a
=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
的实数
λ
1
,
λ
2
有无数对
D.
若实数
λ
1
,
λ
2
使
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
=
0
,
则
λ
1
=
λ
2
=
0
解析
:
由平面向量基本定理可知
D
项正确
,
这是由于
0
=
0
e
1
+
0
e
2
,
而
λ
1
,
λ
2
是唯一的
,
所以
λ
1
=
λ
2
=
0
.
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
已知
=
(
-
2,4),
则下面说法正确的是
(
)
A.
点
A
的坐标是
(
-
2,4)
B.
点
B
的坐标是
(
-
2,4)
C.
当
B
是原点时
,
点
A
的坐标是
(
-
2,4)
D.
当
A
是原点时
,
点
B
的坐标是
(
-
2,4)
解析
:
由任一向量的坐标的定义可知
,
当点
A
是原点时
,
点
B
的坐标是
(
-
2,4)
.
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4
.
已知
e
1
,
e
2
不共线
,
且
a
=k
e
1
-
e
2
,
b
=
e
2
-
e
1
,
若
{
a
,
b
}
不能作为基底
,
则
k
等于
.
答案
:
1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
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