2020高中数学 第3章 不等式 第四节 基本不等式2 基本不等式的应用学案 苏教版必修5 4页

基本不等式的应用 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 基本不等式的应用 ‎1. 掌握基本不等式 （a≥0，b≥0）；‎ ‎2. 能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式，即可解决的问题）；‎ ‎3. 能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题。‎ 选择题 填空题 基本不等式是高中数学的重点，也是近几年高考的热点。注意应用均值不等式，求函数的最值三个条件缺一不可。‎ 二、重难点提示 重点：对由基本不等式推导出的命题的理解，以及利用此命题求某些函数的最值。突破重点的关键是对基本不等式的理解。‎ 难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正、二定、三相等”。‎ 考点：利用基本不等式求最值 ‎1. 由两个重要不等式可推得下面结论：‎ 已知，，则 ‎① 如果是定值，那么当且仅当时，取最小值；‎ ‎② 如果是定值，那么当且仅当时，取最小值。‎ ‎【要点诠释】‎ ‎（1）利用基本不等式求函数的最值时，强调三要素：正数；定值；等号成立的条件。‎ 特别式子中等号不成立时，则不能应用重要不等式，而改用函数的单调性求最值。‎ ‎（2）不能仅仅关注基本不等式的形式构造，而应注意统一的整体变换。‎ ‎【核心突破】‎ 利用重要不等式求函数的最值时，定值条件的构造技巧：‎ ‎①利用均值不等式求函数的最值应满足三个条件：即“一正、二定、三相等”。‎ ‎“一正”，是指所求最值的各项都是正值。‎ ‎“二定”，是指含变量的各项的和或者积必须是常数。‎ ‎“三相等”，是指具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大或最小值。‎ 在具体的题目中，“正数” 条件往往从题设条件中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧，因此“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题的关键。‎ ‎② 常用构造定值条件的技巧变换 Ⅰ. 加项变换；Ⅱ. 拆项变换；Ⅲ. 统一换元；Ⅳ. 平移后利用基本不等式。‎ 4‎ ‎③ 利用基本不等式求最值的实质是：有界并能达到。‎ ‎2. 其他形式：（1）若a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立；‎ ‎（2）若a>0，b>0，则ab≤，当且仅当a＝b时等号成立； ‎ ‎（3）若a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时等号成立。‎ ‎3. 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形，比如：‎ ‎（1）当x>2时，x＋＝（x－2）＋＋2≥2＋2＝4。‎ ‎（2）当0