高中数学必修1教案：第四章（第12课时）两角和差的正弦余弦正切余切（1） 4页

课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（1）‎ 教学目的：‎ ‎1．巩固平面上的两点间距离公式，并能运用两点间距离公式推导出两角和与差的余弦公式，会初步运用解决具体问题 ‎2．初步理解解析法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力 ‎3．培养探索和创新的能力和意识 教学重点：公式推导及运用 教学难点：推导公式方法，找出含有的等量关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ x y o P1‎ P2‎ M1‎ N1‎ N2‎ M2‎ Q 一、复习引入：‎ 平面上的两点间距离公式 ‎1．数轴上两点间的距离公式 ‎ ‎2．平面内任意两点，间的距离公式 从点，分别作x轴的垂线, 与x轴交于点 (,0), (,0) 再从点,分别作y轴的垂线, 与y轴交于点, 直线, 与相交于Q点则：Q==|-| ‎ Q= =|-|‎ 由勾股定理：‎ ‎ 从而得，两点间的距离公式：‎ ‎ ‎ ‎3．练习：已知A(-1,5),B(4,-7) 求AB 解：‎ 二、讲解新课：‎ ‎ 1．探究 反例：‎ 问题：的关系？‎ 解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线 ‎2．探究：在坐标系中a、b角构造a+b角 ‎3．探究：作单位圆，构造全等三角形 ‎4．探究：写出4个点的坐标 ‎，‎ ‎，，‎ ‎5．计算，‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎6．探究 由=导出公式 展开并整理得 所以 可记为 ‎ ‎7．探究 特征 ‎①熟悉公式的结构和特点； ‎ ‎②此公式对任意a、b都适用 ‎③公式记号 ‎8．探究 cos(a-b)的公式 以-b代b得：‎ 公式记号 三、讲解范例：‎ 例1 计算① cos105° ②cos15° ③coscos-sinsin ‎ 解：①cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45° ‎=‎ ‎②cos15° =cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45° ‎=‎ ‎③coscos-sinsin= cos(+)=cos=0‎ ‎ 例2已知sina=，cosb=求cos(a-b)的值 解：∵sina=>0，cosb=>0 ‎ ‎∴a可能在一、二象限，b在一、四象限 若a、b均在第一象限，‎ 则cosa=，sinb= cos(a-b)=‎ 若a在第一象限，b在四象限，‎ 则cosa=，sinb=- cos(a-b)=‎ 若a在第二象限，b在一象限，‎ 则cosa=-，sinb= cos(a-b)=‎ 若a在第二象限，b在四象限，‎ 则cosa=-，sinb=- cos(a-b)=‎ 例3已知cos(2α-β)=-,sin (α-2β)=,且<α<,0<β<,‎ 求cos(α+β)的值 ‎ 分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，‎ 即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解 ‎ 解：∵, ‎ ‎∴<2α-β<π,- <α-2β<, ‎ 由cos(2α-β)=-得，sin (2α-β)=; ‎ 由sin (α-2β)=得，cos(α-2β)= ‎ ‎∴cos(α+β)=cos［(2α-β)-(α-2β)］=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin (2α-β)sin (α-2β)=- ×+×= ‎ 评注：在三角变换中，首先应考虑角的变换如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的常用的变换角的方法有：α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,α=,…‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．已知cos(a-b)=,求(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2的值 解: (sina+sinb)2+(cosa+cosb)2=2+2 cos(a-b)=2+=‎ ‎2．sina-sinb=-，cosa-cosb=，aÎ(0, ),bÎ(0, ),求cos(a-b)的值 解: ∵sina-sinb=-，cosa-cosb=，aÎ(0, ),bÎ(0, ),‎ ‎∴(sina-sinb)2=(-)2，(cosa-cosb)2=()2‎ ‎∴2-2 cos(a-b)= ∴cos(a-b)=‎ 五、小结 距离公式，两角和与差的余弦 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎