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  • 2021-06-11 发布

高中数学人教a版选修4-1学业分层测评9弦切角的性质word版含解析

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学业分层测评(九) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.如图 2412 所示,AB 是⊙O 的直径,MN 与⊙O 切于点 C,AC=1 2BC, 则 sin∠MCA=( ) 图 2412 A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 5 【解析】 由弦切角定理,得∠MCA=∠ABC. ∵sin∠ABC=AC AB = AC AC2+BC2 = AC 5AC = 5 5 ,故选 D. 【答案】 D 2.如图 2413,在圆的内接四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,EF 切⊙O 于 C 点,那么图中与∠DCF 相等的角的个数是( ) 图 2413 A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】 ∠DCF=∠DAC,∠DCF=∠BAC,∠DCF=∠BCE, ∠DCF=∠BDC,∠DCF=∠DBC. 【答案】 B 3.如图 2414 所示,AB 是⊙O 的直径,EF 切⊙O 于 C,AD⊥EF 于 D,AD =2,AB=6,则 AC 的长为( ) 图 2414 A.2 B.3 C.2 3 D.4 【解析】 连接 BC.∵AB 是⊙O 的直径, ∴AC⊥BC,由弦切角定理可知, ∠ACD=∠ABC,∴△ABC∽△ACD, ∴AC AD =AB AC , ∴AC2=AB·AD=6×2=12, ∴AC=2 3,故选 C. 【答案】 C 4.如图 2415,PC 与⊙O 相切于 C 点,割线 PAB 过圆心 O,∠P=40°, 则∠ACP 等于( ) 【导学号:07370043】 图 2415 A.20° B.25° C.30° D.40° 【解析】 如图,连接 OC,BC, ∵PC 切⊙O 于 C 点, ∴OC⊥PC,∵∠P=40°,∴∠POC=50°. ∵OC=OB, ∴∠B=1 2 ∠POC=25°, ∴∠ACP=∠B=25°. 【答案】 B 5.如图 2416 所示,已知 AB,AC 与⊙O 相切于 B,C,∠A=50°,点 P 是⊙O 上异于 B,C 的一动点,则∠BPC 的度数是( ) 图 2416 A.65° B.115° C.65°或 115° D.130°或 50° 【解析】 当点 P 在优弧 上时, 由∠A=50°,得∠ABC=∠ACB=65°. ∵AB 是⊙O 的切线,∴∠ABC=∠BPC=65°. 当 P 点在劣弧 上时,∠BPC=115°. 故选 C. 【答案】 C 二、填空题 6.如图 2417 所示,直线 PB 与圆 O 相切于点 B,D 是弦 AC 上的点,∠PBA =∠DBA.若 AD=m,AC=n,则 AB=________. 图 2417 【解析】 ∵PB 切⊙O 于点 B,∴∠PBA=∠ACB. 又∠PBA=∠DBA,∴∠DBA=∠ACB, ∴△ABD∽△ACB. ∴AB AC =AD AB ,∴AB2=AD·AC=mn, ∴AB= mn. 【答案】 mn 7.如图 2418,已知△ABC 内接于圆 O,点 D 在 OC 的延长线上.AD 是 ⊙O 的切线,若∠B=30°,AC=2,则 OD 的长为__________. 图 2418 【解析】 连接 OA, 则∠COA=2∠CBA=60°, 且由 OC=OA 知△COA 为正三角形,所以 OA=2. 又因为 AD 是⊙O 的切线,即 OA⊥AD, 所以 OD=2OA=4. 【答案】 4 8.如图 2419,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上,且 PB=OB=2,PC 切圆 O 于 C 点,CD⊥AB 于 D 点,则 CD=________. 图 2419 【解析】 连接 OC,∵PC 切⊙O 于点 C, ∴OC⊥PC, ∵PB=OB=2,OC=2, ∴PC=2 3,∵OC·PC=OP·CD, ∴CD=2×2 3 4 = 3. 【答案】 3 三、解答题 9.如图 2420 所示,△ABT 内接于⊙O,过点 T 的切线交 AB 的延长线于 点 P,∠APT 的平分线交 BT,AT 于 C,D. 图 2420 求证:△CTD 为等腰三角形. 【证明】 ∵PD 是∠APT 的平分线,∴∠APD=∠DPT. 又∵PT 是圆的切线,∴∠BTP=∠A. 又∵∠TDC=∠A+∠APD, ∠TCD=∠BTP+∠DPT, ∴∠TDC=∠TCD,∴△CTD 为等腰三角形. 10.如图 2421,AB 是⊙O 的弦,M 是 上任一点,过点 M 的切线与分 别以 A,B 为垂足的直线 AD,BC 交于 D,C 两点,过 M 点作 NM⊥CD 交 AB 于点 N,求证:MN2=AD·BC. 图 2421 【证明】 连接 AM,MB, 因为 DA⊥AB,MN⊥CD, 所以∠MDA+∠MNA=180°. 又因为∠MNA+∠MNB=180°, 所以∠MDA=∠MNB, 又因为 CD 为⊙O 的切线,所以∠1=∠2, 所以△ADM∽△MNB, 所以AD MN =AM BM ,同理MN BC =AM BM , 所以AD MN =MN BC ,即有 MN2=AD·BC. [能力提升] 1.在圆 O 的直径 CB 的延长线上取一点 A,AP 与圆 O 切于点 P,且∠APB =30°,AP= 3,则 CP=( ) 【导学号:07370044】 A. 3 B.2 3 C.2 3-1 D.2 3+1 【解析】 如图,连接 OP,则 OP⊥PA, 又∠APB=30°, ∴∠POB=60°, 在 Rt△OPA 中,由 AP= 3, 易知,PB=OP=1, 在 Rt△PCB 中, 由 PB=1,∠PBC=60°,得 PC= 3. 【答案】 A 2.如图 2422,AB 是⊙O 直径,P 在 AB 的延长线上,PD 切⊙O 于 C 点, 连接 AC,若 AC=PC,PB=1,则⊙O 的半径为( ) 图 2422 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 连接 BC. ∵AC=PC,∴∠A=∠P. ∵∠BCP=∠A,∴∠BCP=∠P, ∴BC=BP=1. 由△BCP∽△CAP,得 PC2=PB·PA, 即 AC2=PB·PA. 而 AC2=AB2-BC2, 设⊙O 半径为 r, 则 4r2-12=1·(1+2r),解得 r=1. 【答案】 A 3.如图 2423,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=__________. 图 2423 【解析】 由 PA 为⊙O 的切线,BA 为弦, 得∠PAB=∠BCA. 又∠BAC=∠APB, 于是△APB∽△CAB, 所以PB AB =AB BC. 而 PB=7,BC=5, 故 AB2=PB·BC=7×5=35,即 AB= 35. 【答案】 35 4.如图 2424,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连接 AE,BE. 图 2424 证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD·BC. 【证明】 (1)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠CEB=∠EAB. 由 AB 为⊙O 的直径,得 AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=π 2. 又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=π 2. 从而∠FEB=∠EAB,故∠FEB=∠CEB. (2)由 BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共边,得 Rt△BCE≌Rt △BFE,所以 BC=BF. 类似可证 Rt△ADE≌Rt△AFE,得 AD=AF. 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF2=AF·BF, 所以 EF2=AD·BC.