高中数学人教a版选修1-1第二章圆锥曲线与方程学业分层测评12word版含答案 8页

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．过抛物线 y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B两点， 它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线( ) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 【解析】 由定义，知|AB|＝5＋2＝7，因为|AB|min＝4，所以这样 的直线有且仅有两条． 【答案】 B 2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线 y2＝8x交于 A，B两 点，则弦 AB的长为( ) A．2 13 B．2 15 C．2 17 D．2 19 【解析】 设 A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线 AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线 AB的方程为 y＝－2(x－1)，代入抛物 线方程 y2＝8x得 4(x－1)2＝8x，整理得 x2－4x＋1＝0，则 x1＋x2＝4， x1x2＝1，|AB|＝ 5 x1＋x22－4x1x2＝ 5 16－4＝2 15.故选 B. 【答案】 B 3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x的焦点为 F，A(x0，y0) 是 C上一点，|AF|＝5 4 x0，则 x0＝( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】 由 y2＝x得 2p＝1，即 p＝1 2 ，因此焦点 F 1 4 ，0 ，准线 方程为 l：x＝－ 1 4 ，设 A点到准线的距离为 d，由抛物线的定义可知 d ＝|AF|，从而 x0＋1 4 ＝ 5 4 x0，解得 x0＝1，故选 A. 【答案】 A 4．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1的直线交抛物 线于 A，B两点，若线段 AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线 方程为( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【解析】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B两点在抛物线上，得 y21＝2px1，① y22＝2px2，② 由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又线段 AB的中点的纵 坐标为 2，即 y1＋y2＝4，直线 AB的斜率为 1，故 2p＝4，p＝2，因此 抛物线的准线方程为 x＝－ p 2 ＝－1. 【答案】 B 5．设 O为坐标原点，F为抛物线 y2＝4x的焦点，A为抛物线上一 点，若 OA→·A F→＝－4，则点 A的坐标为( ) 【导学号：26160061】 A．(2，±2 2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2 2) 【解析】 设 A(x，y)，则 y2＝4x，① OA→＝(x，y)，A F→＝(1－x，－y)，OA→·A F→＝x－x2－y2＝－4，② 由①②可解得 x＝1，y＝±2. 【答案】 B 二、填空题 6．抛物线 y2＝4x 上的点到直线 x－y＋4＝0 的最小距离为 ________． 【解析】 可判断直线 y＝x＋4与抛物线 y2＝4x相离， 设 y＝x＋m与抛物线 y2＝4x相切， 则由 y＝x＋m， y2＝4x， 消去 x得 y2－4y＋4m＝0. ∴Δ＝16－16m＝0，m＝1. 又 y＝x＋4与 y＝x＋1的距离 d＝|4－1| 2 ＝ 3 2 2 ， 则所求的最小距离为 3 2 2 . 【答案】 3 2 2 7．已知抛物线 y2＝4x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1， y1)，B(x2，y2)两点，则 y21＋y 21的最小值是________． 【解析】 设 AB的方程为 x＝my＋4，代入 y2＝4x得 y2－4my－ 16＝0，则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－16， ∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32， 当 m＝0时，y21＋y 22最小为 32. 【答案】 32 8．过抛物线 y2＝2x的焦点 F作直线交抛物线于 A，B两点，若|AB| ＝ 25 12 ，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________. 【解析】 设过抛物线焦点的直线为 y＝k x－1 2 ， 联立得 y2＝2x， y＝k x－1 2 ， 整理得 k2x2－(k2＋2)x＋1 4 k2＝0， x1＋x2＝ k2＋2 k2 ，x1x2＝1 4 . |AB|＝x1＋x2＋1＝k2＋2 k2 ＋1＝25 12 ，得 k2＝24， 代入 k2x2－(k2＋2)x＋1 4 k2＝0 得 12x2－13x＋3＝0， 解之得 x1＝1 3 ，x2＝3 4 ，又|AF|＜|BF|， 故|AF|＝x1＋1 2 ＝ 5 6 . 【答案】 5 6 三、解答题 9．求过定点 P(0,1)，且与抛物线 y2＝2x只有一个公共点的直线方 程． 【解】 如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点 P(0,1)的直线方程为 x＝0， 由 x＝0， y2＝2x， 得 x＝0， y＝0， 即直线 x＝0与抛物线只有一个公共点． 若直线的斜率存在， 则设直线为 y＝kx＋1，代入 y2＝2x得： k2x2＋(2k－2)x＋1＝0， 当 k＝0时，直线方程为 y＝1，与抛物线只有一个交点． 当 k≠0时，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0⇒k＝1 2 .此时，直线方程为 y＝1 2 x ＋1. 可知，y＝1或 y＝1 2 x＋1为所求的直线方程． 故所求的直线方程为 x＝0或 y＝1或 y＝1 2 x＋1. 10．已知抛物线的焦点 F在 x轴上，直线 l过 F且垂直于 x轴，l 与抛物线交于 A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于 4，求 此抛物线的标准方程． 【解】 由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)， 焦点 F p 2 ，0 ，直线 l：x＝p 2 ， ∴A，B两点坐标为 p 2 ，p ， p 2 ，－p ， ∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB的面积为 4， ∴ 1 2 ·| p 2|·2|p|＝4，∴p＝±2 2. ∴抛物线方程为 y2＝±4 2x. [能力提升] 1．(2014·全国卷Ⅱ)设 F为抛物线 C：y2＝3x的焦点，过 F且倾斜 角为 30°的直线交 C于 A，B两点，则|AB|＝( ) A. 30 3 B．6 C．12 D．7 3 【解析】 ∵F为抛物线 C：y2＝3x的焦点， ∴F 3 4 ，0 ， ∴AB的方程为 y－0＝tan 30° x－3 4 ， 即 y＝ 3 3 x－ 3 4 . 联立 y2＝3x， y＝ 3 3 x－ 3 4 ， 得 1 3 x2－7 2 x＋ 3 16 ＝0. ∴x1＋x2＝－ － 7 2 1 3 ＝ 21 2 ，即 xA＋xB＝21 2 . 由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝21 2 ＋ 3 2 ＝12. 【答案】 C 2．已知 AB是抛物线 y2＝2px(p>0)上的两点，O为原点，若|OA→ | ＝|OB→ |，且抛物线的焦点恰好为△AOB的垂心，则直线 AB的方程是 ( ) A．x＝p B．x＝3 2 p C．x＝5 2 p D．x＝3p 【解析】 ∵|OA→ |＝|OB→|， ∴A，B关于 x轴对称． 设 A(x0， 2px0)，B(x0，－ 2px0)． ∵AF⊥OB，F p 2 ，0 ， ∴ 2px0 x0－p 2 · － 2px0 x0 ＝－1， ∴x0＝5 2 p. 【答案】 C 3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0) 的距离和到直线 x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点 P(－1,0) 且斜率为 k的直线，则 k的取值范围是________． 【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以 F(1,0)为焦点，x＝－1 为准线的抛物线，其方程为 y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为 k的直线方 程为 y＝k(x＋1)．代入 y2＝4x，得 k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接 触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1或 k<－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．已知直线 l：y＝1 2 x＋5 4 ，抛物线 C：y2＝2px(p>0)的顶点关于直 线 l的对称点在该抛物线的准线上． (1)求抛物线 C的方程； (2)设 A，B是抛物线 C上两个动点，过 A作平行于 x轴的直线 m， 直线 OB与直线 m交于点 N，若 OA→·OB→＝0(O为原点，A，B异于原 点)，试求点 N的轨迹方程. 【导学号：26160062】 【解】 (1)直线 l：y＝1 2 x＋5 4 .① 过原点且垂直于 l的直线方程为 y＝－2x.② 由①②，得 x＝－ 1 2 . ∵抛物线的顶点关于直线 l的对称点在该抛物线的准线上， ∴－ p 2 ＝－ 1 2 ×2，∴p＝2. ∴抛物线 C的方程为 y2＝4x. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)． 由 OA→·OB→＝0，得 x1x2＋y1y2＝0. 又 y21＝4x1，y22＝4x2， 解得 y1y2＝－16.③ 直线 ON：y＝y2 x2 x，即 y＝4 y2 x.④ 由③④及 y＝y1，得点 N的轨迹方程为 x＝－4(y≠0)．