人教A版高中数学选修4-5全册试卷单元质量评估(三) 7页

单元质量评估(三) (第三讲) (90 分钟 120 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知 m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】选 B.由柯西不等式, (mt+ns)2≤(m2+n2)(t2+s2)=16,得|mt+ns|≤4, 当且仅当 ms=nt 时等号成立. 2.函数 y= +2 的最大值为 ( ) A. B. C.3 D.5 【解析】选 B.根据柯西不等式,有 ≤(1+4)[(x-5)+(6-x)]=5,所以 y= +2 ≤ . 3.设 a,b,c>0,且 a+b+c=1,则 + + 的最大值是 ( ) A.1 B. C.3 D.9 【解析】选 B.由柯西不等式得[( )2+( )2+( )2]·(12+12+12)≥( + + )2, 所以( + + )2≤1×3=3.当且仅当a=b=c= 时等号成立.故 + + 的最大 值为 . 4.n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( ) A.1 B.n C.n2 D. 【解析】选 C.设 n 个正数为 x1,x2,…,xn.由柯西不等式得:(x1+x2+…+xn)( + +… + )≥ =(1+1+…+1)2=n2.当且仅当 x1=x2=…=xn 时取等号. 5.已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则 + + 的最大值为 ( ) A.3 B.3 C.18 D.9 【 解 析 】 选 B. 根 据 柯 西 不 等 式 , + + ≤ =3 ,当且仅当 a=b=c= 时,等号成立. 6.已知 a,b,x1,x2∈R+,ab=1,x1+x2=2,则 M=(ax1+bx2)·(bx1+ax2)与 4 的大小关系是 ( ) A.M>4 B.M<4 C.M≥4 D.M≤4 【解析】选 C.(ax1+bx2)(bx1+ax2) =[( )2+( )2]·[( )2+( )2] ≥[ (x1+x2)]2=(x1+x2)2=4. 7.设 a1,a2,a3 为正数,E= + + ,F=a1+a2+a3,则 E,F 的大小关系是 ( ) A.E0, 于是 ≤ ≤ ,a2a3≤a3a1≤a1a2. 由排序不等式:顺序和≥乱序和,得 + + ≥ ·a2a3+ ·a3a1+ ·a1a2=a3+a1+a2, 即 + + ≥a1+a2+a3. 所以 E≥F. 8.已知 2x+3y+4z=10,则 x2+y2+z2 取得最小值时的 x,y,z 的值分别为 ( ) A. , , B. , , C.1, , D.1, , 【解析】选 B. (x2+y2+z2)(4+9+16)≥(2x+3y+4z)2=100, 当且仅当 = = 且 2x+3y+4z=10 时等号成立, 此时 x= ,y= ,z= . 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线 上) 9. 有 4 人 各 拿 一 只 水 桶 去 接 水 , 设 水 龙 头 注 满 每 个 人 的 水 桶 分 别 需 要 5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开,则他们等候的总时间最短为 s. 【解析】由题意知,等候的时间最短为 3×4+4×3+5×2+7=41. 答案:41 10.正数 a,b,c 满足 a+b+4c=1,则 + + 的最大值为 . 【解析】 ≤(1+1+ )(a+b+4c)= , 所以 + + ≤ . 答案: 11.已知 00,于是 ≤ ,又 c>0, 所以 >0,从而 ≥ . 同理,因为 b≥c>0,于是 ≤ , 因为 a>0,所以 >0, 于是得 ≥ . 从而 ≥ ≥ . (2)由(1) ≥ ≥ ,于是顺序和≥乱序和得, + + ≥ + + = + + ≥ + + = + + = + + . 16.(10 分)设 c1,c2,…,cn 为正数组 a1,a2,…,an 的某一排列,求证: + +…+ ≥ n. 【证明】不妨设 0 >…> .由乱序和≥反序和,得 + +…+ ≥ + +…+ . 因为 b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n, 所以 + +…+ ≥ + +…+ . 即 + +…+ ≤ + +…+ ≤ + +…+ .