高中数学必修1公开课教案1_2_1 函数的概念 第2课时 6页

第2课时 函数相等 复 习 ‎1.函数的概念.‎ ‎2.函数的定义域的求法.‎ 导入新课 思路1.当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A、B中元素完全相同时,集合A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题:函数相等.‎ 思路2.我们学习了函数的概念,y=x与y=是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容,引出课题:函数相等.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①指出函数y=x+1的构成要素有几部分？‎ ‎②一个函数的构成要素有几部分？‎ ‎③分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.‎ ‎④函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗？‎ ‎⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？‎ 讨论结果：①函数y=x+1的构成要素为:定义域R,对应关系x→x+1,值域是R.‎ ‎②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.‎ ‎③定义域和对应关系分别相同.‎ ‎④值域相同.‎ ‎⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.‎ 应用示例 思路1‎ ‎1.下列函数中哪个与函数y=x相等？‎ ‎(1)y=()2;(2)y=;(3)y=;(4)y=.‎ 活动：‎ 让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.‎ 解：函数y=x的定义域是R,对应关系是x→x.‎ ‎(1)∵函数y=()2的定义域是［0,+∞),‎ ‎∴函数y=()2与函数y=x的定义域R不相同.‎ ‎∴函数y=()2与函数y=x不相等.‎ ‎(2)∵函数y=的定义域是R,‎ ‎∴函数y=与函数y=x的定义域R相同.‎ 又∵y==x,‎ ‎∴函数y=与函数y=x的对应关系也相同.‎ ‎∴函数y=与函数y=x相等.‎ ‎(3)∵函数y=的定义域是R,‎ ‎∴函数y=与函数y=x的定义域R相同.‎ 又∵y==|x|,‎ ‎∴函数y=与函数y=x的对应关系不相同.‎ ‎∴函数y=与函数y=x不相等.‎ ‎(4)∵函数y=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),‎ ‎∴函数y=与函数y=x的定义域R不相同,‎ ‎∴函数y=()2与函数y=x不相等.‎ 点评：本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数.‎ 变式训练 判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.‎ ‎①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;‎ ‎②y=与y=·;‎ ‎③y=1+与u=1+;‎ ‎④y=x2与y=x;‎ ‎⑤y=2|x|与y=‎ ‎⑥y=f(x)与y=f(u).‎ 是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).‎ 解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.‎ ‎①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;‎ ‎②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;‎ ‎③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;‎ ‎④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;‎ ‎⑤函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;‎ ‎⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.‎ 故填③⑤⑥.‎ 思路2‎ ‎1.判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由.‎ ‎(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1.‎ ‎(2)f(x)=x-1,g(x)=.‎ ‎(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2.‎ ‎(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.‎ 活动：学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同时,再判断它们的对应关系是否相同.‎ 解：(1)∵f(x)=(x-1)0的定义域是{x|x≠1},函数g(x)=1的定义域是R,‎ ‎∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1的定义域不同.‎ ‎∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1不表示同一个函数.‎ ‎(2)∵f(x)=x-1的定义域是R,g(x)==的定义域是R,‎ ‎∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=的定义域相同.‎ 又∵g(x)===|x-1|,‎ ‎∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=的对应关系不同.‎ ‎∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=不表示同一个函数.‎ ‎(3)很明显f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R,‎ 又∵f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的对应关系不同,‎ ‎∴函数f(x)=x2和g(x)=(x+1)2不表示同一个函数.‎ ‎(4)很明显f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的定义域都是R,‎ 又∵f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的对应关系也相同,‎ ‎∴函数f(x)=x2-1与g(u)=u2-1表示同一个函数.‎ 变式训练 ‎1.2007湖北黄冈模拟,理13已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=_______.‎ 解：由题意得f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2［f(2)+f(3)］=2p+2q.‎ 答案：2p+2q ‎2.函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点共有( )‎ A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.不确定 答案：C ‎2.设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的定义域,N是函数y=f(u)的值域,当M∩N≠时,则y成为x的函数,记为y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,它的定义域为M∩N,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.‎ ‎(1)y=;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y=-1.‎ 活动：让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么.‎ 解：(1)设y=,u=x+1,‎ 即y=的外层函数是反比例函数y=,内层函数是一次函数u=x+1.‎ ‎(2)设y=u2,u=x2-2x+3,‎ 即y=(x2-2x+3)2的外层函数是二次函数y=u2,内层函数是二次函数u=x2-2x+3.‎ ‎(3)设y=u2+u-1,u=,‎ 即y=-1的外层函数是二次函数y=u2+u-1,内层函数是反比例函数u=.‎ 点评：到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.‎ 变式训练 ‎1.2004重庆高考,文2设f(x)=,则=_______.‎ 答案：-1‎ ‎2.2006安徽高考,理15函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f［f(5)］=.‎ 分析:∵函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)= ,∴f(x+4)=f［(x+2)+1］==f(x).‎ ‎∴f(1)=f(1+4)=f(5).‎ 又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5.‎ ‎∴f［f(5)］=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)==.‎ 答案：‎ 知能训练 ‎1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是( )‎ A.① B.①③④ C.①②③ D.③④‎ 图1-2-1-2‎ 答案：B ‎2.函数y=f(x)的定义域是R,值域是［1,2］,则函数y=f(2x-1)的值域是_______.‎ 答案：［1,2］‎ ‎3.下列各组函数是同一个函数的有________.‎ ‎①f(x)=,g(x)=x;②f(x)=x0,g(x)=;‎ ‎③f(x)=,g(u)=;④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u.‎ 答案：②③④‎ 拓展提升 问题:函数y=f(x)的图象与直线x=m有几个交点？‎ 探究:设函数y=f(x)定义域是D,‎ 当m∈D时,根据函数的定义知f(m)唯一,‎ 则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m,f(m)),‎ 即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m仅有一个交点;‎ 当mD时,根据函数的定义知f(m)不存在,‎ 则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点不存在,‎ 即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m没有交点.‎ 综上所得,函数y=f(x)的图象与直线x=m有交点时仅有一个,或没有交点.‎ 课堂小结 ‎(1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素;‎ ‎(2)学习了复合函数的概念;‎ ‎(3)判断两个函数是否是同一个函数.‎ 作业 ‎1.设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列4个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系是( )‎ 图1-2-1-3‎ 分析:A中,当0