高中数学人教a版必修四课时训练：3-1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3-1-2 word版含答案 5页

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和 与差的正切公式及变形运用． 1．两角和与差的正切公式 (1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T(α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan α·tan β＝______________________________________________________________. (2)T(α－β)的变形： tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝______________________________________________________________. 一、选择题 1．已知α∈ π 2 ，π ，sin α＝3 5 ，则 tan α＋π 4 的值等于( ) A.1 7 B．7 C．－1 7 D．－7 2．若 sin α＝4 5 ，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则 tan β的值是( ) A.4 3 B．－4 3 C．－7 D．－1 7 3．已知 tan α＝1 2 ，tan β＝1 3 ，0<α<π 2 ，π<β<3π 2 ，则α＋β的值是( ) A.π 4 B.3π 4 C.5π 4 D.7π 4 4．A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x2－5x＋1＝0 的两个实数根， 则△ABC 是( ) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 5．化简 tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A．1 B．2 C．tan 10° D. 3tan 20° 6．在△ABC 中，角 C＝120°，tan A＋tan B＝2 3 3 ，则 tan Atan B 的值为( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.5 3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.1＋tan 75° 1－tan 75° ＝________. 8．已知 tan π 4 ＋α ＝2，则 1 2sin αcos α＋cos2α 的值为________． 9．如果 tan α，tan β是方程 x2－3x－3＝0 两根，则sinα＋β cosα－β ＝________. 10．已知α、β均为锐角，且 tan β＝cos α－sin α cos α＋sin α ，则 tan(α＋β)＝________. 三、解答题 11．在△ABC 中，tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，且 3tan A＋ 3tan B＋1＝tan Atan B， 试判断△ABC 的形状． 12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与 单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 2 10 ，2 5 5 . 求 tan(α＋β)的值． 能力提升 13．已知 tan(α－β)＝1 2 ，tan β＝－1 7 ，且α，β∈(0，π)，求 2α－β的值． 14．已知锐角三角形 ABC 中，sin(A＋B)＝3 5 ，sin(A－B)＝1 5. (1)求证：tan A＝2tan B； (2)设 AB＝3，求 AB 边上的高． 1．公式 T(α±β)的适用范围 由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在 y 轴上，即不为 kπ＋π 2(k∈Z)． 2．公式 T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如 tan π 4 ＝1，tan π 6 ＝ 3 3 ，tan π 3 ＝ 3等． 要特别注意 tan(π 4 ＋α)＝1＋tan α 1－tan α ，tan(π 4 －α)＝1－tan α 1＋tan α . 3．公式 T(α±β)的变形应用 只要见到 tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式 T(α±β)的意识，就不难想到解题思路． 3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 答案 知识梳理 1．(1) tan α＋tan β 1－tan αtan β (2) tan α－tan β 1＋tan αtan β 2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan β tanα＋β (2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan β tanα－β －1 作业设计 1．A 2.C 3.C 4．A [tan A＋tan B＝5 3 ，tan A·tan B＝1 3 ， ∴tan(A＋B)＝5 2 ，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－5 2 ， ∴C 为钝角．] 5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋ 3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝ 3(tan 10°＋tan 20°＋ 3 3 tan 10°tan 20°) ＝ 3tan 30°＝1.] 6．B [tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝ 3， ∴tan(A＋B)＝ tan A＋tan B 1－tan Atan B ＝ 3，即 2 3 3 1－tan Atan B ＝ 3，解得 tan A·tan B＝1 3.] 7．－ 3 8.2 3 解析 ∵tan π 4 ＋α ＝2，∴1＋tan α 1－tan α ＝2， 解得 tan α＝1 3. ∴ 1 2sin αcos α＋cos2α ＝ sin2α＋cos2α 2sin αcos α＋cos2α ＝ tan2α＋1 2tan α＋1 ＝ 1 9 ＋1 2 3 ＋1 ＝2 3. 9．－3 2 解析 sinα＋β cosα－β ＝sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β＋sin αsin β ＝ tan α＋tan β 1＋tan αtan β ＝ 3 1＋－3 ＝－3 2. 10．1 解析 tan β＝cos α－sin α cos α＋sin α ＝1－tan α 1＋tan α . ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解 由 tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3， 得 tan B＋tan C＝ 3(1－tan Btan C)． ∴tan(B＋C)＝ tan B＋tan C 1－tan Btan C ＝ 3， 又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝π 3. 又 3tan A＋ 3tan B＋1＝tan Atan B， ∴tan A＋tan B＝－ 3 3 (1－tan Atan B)， ∴tan(A＋B)＝ tan A＋tan B 1－tan Atan B ＝－ 3 3 ， 而 A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝5π 6 ，又∵A＋B＋C＝π， ∴A＝2π 3 ，B＝C＝π 6.∴△ABC 为等腰三角形． 12．解 由条件得 cos α＝ 2 10 ，cos β＝2 5 5 . ∵α，β为锐角，∴sin α＝ 1－cos2 α＝7 2 10 ， sin β＝ 1－cos2 β＝ 5 5 . 因此 tan α＝sin α cos α ＝7，tan β＝sin β cos β ＝1 2. tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan α·tan β ＝ 7＋1 2 1－7×1 2 ＝－3. 13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ tanα－β＋tan β 1－tanα－βtan β ＝1 3>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，π 2)． ∵tan β＝－1 7 ，0<β<π，∴π 2<β<π. ∴－π<α－β<0.而 tan(α－β)＝1 2>0， ∴－π<α－β<－π 2. ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． ∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝ tan α＋tanα－β 1－tan αtanα－β ＝1， ∴2α－β＝－3π 4 . 14．(1)证明 ∵sin(A＋B)＝3 5 ，sin(A－B)＝1 5 ， ∴ sin Acos B＋cos Asin B＝3 5 sin Acos B－cos Asin B＝1 5 ⇒ sin Acos B＝2 5 cos Asin B＝1 5 ⇒tan A tan B ＝2，所以 tan A＝2tan B. (2)解 ∵π 2