高中数学人教a版选修1-2学业分层测评8数系的扩充和复数的概念word版含解析 5页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A．0,2 B．0,0 C．0，－2 D．－2,0 【解析】 －2i 的实部为 0，虚部为－2. 【答案】 C 2．(2016·鹤岗高二检测)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i 是纯虚数，则实数 a 的 值为( ) A．1 B．2 C．－1 或－2 D．1 或 2 【解析】 由{a2－3a＋2＝0， a－1≠0， 得 a＝2. 【答案】 B 3．若 a，b∈R，i 是虚数单位，且 b＋(a－2)i＝1＋i，则 a＋b 的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 由 b＋(a－2)i＝1＋i，得 b＝1，a＝3，所以 a＋b＝4. 【答案】 D 4．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小； ②若 z1 和 z2 都是虚数，且它们的虚部相等，则 z1＝z2； ③若 a，b 是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i 必为纯虚数． A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误； 设 z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且 d≠0)，因为 b＝d， 所以 z2＝c＋bi. 当 a＝c 时，z1＝z2，当 a≠c 时，z1≠z2，故②错误； ③当 a＝b≠0 时，(a－b)＋(a＋b)i 是纯虚数，当 a＝b＝0 时，(a－b)＋(a＋ b)i＝0 是实数，故③错误，因此选 A. 【答案】 A 5．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若 x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i 的充要条件是 x＝y＝1； ②若 a，b∈R 且 a>b，则 a＋i>b＋i； ③若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 对于①，由于 x，y∈C，所以 x，y 不一定是 x＋yi 的实部和虚部， 故①是假命题； 对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； 对于③，如 12＋i2＝0，但 1≠0，i≠0，故③是假命题． 【答案】 A 5．已知复数 z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z 为纯虚数”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【 解 析 】 因 为 复 数 z ＝ (a2 － 4) ＋ (a － 3)i(a ， b ∈ R) 为 纯 虚 数 ⇔ {a2－4＝0， a－3≠0 ⇔a＝±2, 所以“a＝2”是“z 为纯虚数”的充分不必要 条件． 【答案】 A 二、填空题 6．以 3i－ 2的虚部为实部，以 3i2＋ 2i 的实部为虚部的复数是________． 【解析】 3i－ 2的虚部为 3,3i2＋ 2i＝－3＋ 2i，实部为－3，故应填 3－ 3i. 【答案】 3－3i 7．若 x 是实数，y 是纯虚数，且(2x－1)＋2i＝y，则 x，y 的值为________. 【导学号：19220037】 【解析】 由(2x－1)＋2i＝y，得{2x－1＝0， 2i＝y， ∴x＝1 2 ，y＝2i. 【答案】 x＝1 2 ，y＝2i 8．给出下列说法： ①复数由实数、虚数、纯虚数构成； ②满足 x2＝－1 的数 x 只有 i； ③形如 bi(b∈R)的数不一定是纯虚数； ④复数 m＋ni 的实部一定是 m. 其中正确说法的个数为________． 【解析】 ③中，b＝0 时，bi＝0 不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为 实数与虚数两大类；②中，平方为－1 的数是±i；④中，m，n 不一定为实数，故 ①②④错误． 【答案】 1 三、解答题 9．已知复数 z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数 m 取什么值时：(1)复数 z 是零；(2)复数 z 是纯虚数． 【解】 (1)∵z 是零， ∴{mm－1＝0， m2＋2m－3＝0， 解得 m＝1. (2)∵z 是纯虚数， ∴{mm－1＝0， m2＋2m－3≠0， 解得 m＝0. 综上，当 m＝1 时，z 是零；当 m＝0 时，z 是纯虚数． 10．已知集合 M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若 M∪P ＝P，求实数 m 的值． 【解】 因为 M∪P＝P，所以 M⊆P， 即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1 或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得 {m2－2m＝－1， m2＋m－2＝0， 解得 m＝1； 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得 {m2－2m＝0， m2＋m－2＝4， 解得 m＝2. 综上可知，m＝1 或 m＝2. [能力提升] 1．已知复数 z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数 a 的取值范围 是( ) A．－1 或 3 B．{a|a>3 或 a<－1} C．{a|a>－3 或 a<1} D．{a|a>3 或 a＝－1} 【解析】 由已知可以得到 a2>2a＋3，即 a2－2a－3>0，解得 a>3 或 a<－1， 因此，实数 a 的取值范围是{a|a>3 或 a<－1}． 【答案】 B 2．若复数 cos θ＋isin θ和 sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π 4 B.π 4 或5 4π C．2kπ＋π 4(k∈Z) D．kπ＋π 4(k∈Z) 【解析】 由复数相等定义得{cos θ＝sin θ， sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝1， ∴θ＝kπ＋π 4(k∈Z)． 【答案】 D 3．若 log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数 x 的值是________． 【解析】 ∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1， ∴{log2x2－3x－2>1， log2x2＋2x＋1＝0， ∴{x2－3x－2>2， x2＋2x＋1＝1， ∴{x>4 或 x<－1， x＝0 或 x＝－2. ∴x＝－2. 【答案】 －2 4．已知关于 x 的方程 x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0 有实根 x0，求 x0 以及实数 k 的 值. 【导学号：19220038】 【解】 x＝x0 是方程的实根，代入方程并整理，得 (x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0. 由复数相等的充要条件，得 {x20＋kx0＋2＝0， 2x0＋k＝0， 解 得 {x0＝ 2， k＝－2 2 或 {x0＝－ 2， k＝2 2. ∴方程的实根为 x0＝ 2或 x0＝－ 2，相应的 k 值为 k＝－2 2或 k＝2 2.