高中数学人教a版选修1-2学业分层测评3合情推理word版含解析 7页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．(2016·郑州高二检测)下列说法正确的是( ) A．由合情推理得出的结论一定是正确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论无法判定正误 【解析】 合情推理得出的结论不一定正确，故 A 错；合情推理必须有前 提有结论，故 B 对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相 同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故 C 错；合情推理 得出的结论可以进行判定正误，故 D 错． 【答案】 B 2．下面使用类比推理恰当的是( ) A．“若 a·3＝b·3，则 a＝b”类比推出“若 a·0＝b·0，则 a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋b c ＝a c ＋b c(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn” 【解析】 由实数运算的知识易得 C 项正确． 【答案】 C 3．(2016·大连高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图 217 所示， 图 217 按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 【解析】 从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一 个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故 可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n＋2. 【答案】 C 4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内 切球切于四面体各正三角形的( ) A．一条中线上的点，但不是中心 B．一条垂线上的点，但不是垂心 C．一条角平分线上的点，但不是内心 D．中心 【解析】 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心． 【答案】 D 5．(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第 57 个数对是( ) A．(2,10) B．(10,2) C．(3,5) D．(5,3) 【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律： (1,1)的和为 2，共 1 个； (1,2)，(2,1)的和为 3，共 2 个； (1,3)，(2,2)，(3,1)的和为 4，共 3 个； (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为 5，共 4 个； (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为 6，共 5 个． 由此可知，当数对中两个数字之和为 n 时，有 n－1 个数对．易知第 57 个数 对中两数之和为 12，且是两数之和为 12 的数对中的第 2 个数对，故为(2,10)． 【答案】 A 二、填空题 6．把正数排列成如图 218 甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和 奇数行中的偶数，得到如图 218 乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大 的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若 an＝2 017，则 n＝__________. 【导学号：19220014】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 乙 图 218 【解析】 图乙中第 k 行有 k 个数，第 k 行最后的一个数为 k2，前 k 行共有 kk＋1 2 个数，由 44×44＝1 936,45×45＝2 025 知 an＝2 017 出现在第 45 行，第 45 行第一个数为 1 937，第2 017－1 937 2 ＋1＝41 个数为 2 017，所以 n＝4444＋1 2 ＋41＝1 031. 【答案】 1 031 7．(2016·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面 积)S＝πr2，观察发现 S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测 度(体积)V＝4 3πr3，观察发现 V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度 V＝ 8πr3，猜想其四维测度 W＝________. 【解析】 因为 V＝8πr3，所以 W＝2πr4，满足 W′＝V. 【答案】 2πr4 8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则 b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5 ＝2，则{an}的类似结论为________． 【解析】 结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an} 中，若 a5＝2，则有 a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9. 【答案】 a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9 三、解答题 9．已知数列 8×1 12×32 ，8×2 32×52 ，…， 8×n 2n－122n＋12 ，…，Sn 为其前 n 项和，计 算 S1，S2，S3，S4，观察计算结果，并归纳出 Sn 的公式． 【解】 S1＝ 8×1 12×32 ＝8 9 ＝32－1 32 ＝2×1＋12－1 2×1＋12 ， S2＝8 9 ＋ 8×2 32×52 ＝24 25 ＝52－1 52 ＝2×2＋12－1 2×2＋12 ， S3＝24 25 ＋ 8×3 52×72 ＝48 49 ＝72－1 72 ＝2×3＋12－1 2×3＋12 ， S4＝48 49 ＋ 8×4 72×92 ＝80 81 ＝92－1 92 ＝2×4＋12－1 2×4＋12 ， 由此归纳猜想 Sn＝2n＋12－1 2n＋12 . 10．(2016·咸阳高二检测)在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的 关系时，我们有真命题：边长为 a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定 值 3 2 a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一 个真命题，并给出简要的证明． 【解】 类比所得的真命题是：棱长为 a 的正四面体内任意一点到四个面的 距离之和是定值 6 3 a. 证明：设 M 是正四面体 PABC 内任一点，M 到平面 ABC，平面 PAB，平面 PAC，平面 PBC 的距离分别为 d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等， 故有： VPABC＝VMABC＋VMPAB＋VMPAC＋VMPBC＝1 3·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而 S△ABC ＝ 3 4 a2，VPABC＝ 2 12a3，故 d1＋d2＋d3＋d4＝ 6 3 a(定值)． [能力提升] 1．根据给出的数塔，猜测 123 456×9＋7 等于( ) 1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝11 111； 12 345×9＋6＝111 111； A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 【解析】 由前 5 个等式知，右边各位数字均为 1，位数比前一个等式依次 多 1 位，所以 123 456×9＋7＝1 111 111，故选 B. 【答案】 B 2．已知结论：“在正三角形 ABC 中，若 D 是边 BC 的中点，G 是三角形 ABC 的重心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等 的四面体 ABCD 中，若△BCD 的中心为 M，四面体内部一点 O 到四面体各面的 距离都相等”，则AO OM ＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 如图，设正四面体的棱长为 1，即易知 其高 AM＝ 6 3 ，此时易知点 O 即为正四面体内切球的 球心，设其半径为 r，利用等体积法有 4×1 3 × 3 4 r＝ 1 3 × 3 4 × 6 3 ⇒r＝ 6 12 ，故 AO＝AM－MO＝ 6 3 － 6 12 ＝ 6 4 ， 故 AO∶OM＝ 6 4 ∶ 6 12 ＝3∶1. 【答案】 C 3．(2016·温州高二检测)如图 219 所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点， 当FB → ⊥AB → 时，其离心率为 5－1 2 ，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭 圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于_________________________． 【导学号：19220015】 图 219 【解析】 如图所示，设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)， 则 F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)， 所以FB → ＝(c，b)，AB → ＝(－a，b)． 又因为FB → ⊥AB → ， 所以FB → ·AB → ＝b2－ac＝0， 所以 c2－a2－ac＝0，所以 e2－e－1＝0， 所以 e＝1＋ 5 2 或 e＝1－ 5 2 (舍去)． 【答案】 1＋ 5 2 4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结 论． 【解】 (1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－1 2sin 30°＝1－1 4 ＝3 4. (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋3 4cos2α＋ 3 2 sin αcos α＋1 4sin2α－ 3 2 sin αcos α－1 2sin2α ＝3 4sin2α＋3 4cos2α＝3 4.