2021届高考数学一轮复习第五章平面向量第2节平面向量基本定理及坐标表示课件新人教A版 29页

第 2 节　平面向量基本定理及坐标表示 考试要求　 1. 了解平面向量的基本定理及其意义； 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 . 知 识 梳 理 1. 平面向量的基本定理 如果 e 1 ， e 2 是同一平面内的两个 ____________ 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ， ____________ 一对实数 λ 1 ， λ 2 ，使 a ＝ ____________ . 其中，不共线的向量 e 1 ， e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 . 不共线 有且只有 λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 ____________ 的向量，叫做把向量正交分解 . 互相垂直 3. 平面向量的坐标运算 4. 平面向量共线的坐标表示 设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ∥ b ⇔ _______________ . ( x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 ) ( x 1 － x 2 ， y 1 － y 2 ) ( λx 1 ， λy 1 ) ( x 2 － x 1 ， y 2 － y 1 ) x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然 . 2. 若 a 与 b 不共线， λ a ＋ μ b ＝ 0 ，则 λ ＝ μ ＝ 0. 3. 向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系 . 两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析 　 (1) 共线向量不可以作为基底 . 答案　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 2. ( 老教材必修 4P118A2(6) 改编 ) 下列各组向量中，可以作为基底的是 ( 　　 ) 解析　 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 B. 答案　 B 3. ( 新教材必修第二册 P33T1 改编 ) 已知向量 a ＝ ( － 1 ， 3) ， b ＝ (2 ， 1) ，则 3 a － 2 b ＝ ( 　　 ) A.( － 7 ， 7) B.( － 3 ，－ 2) C.(6 ， 2) D.(4 ，－ 3) 解析　 3 a － 2 b ＝ ( － 3 ， 9) － (4 ， 2) ＝ ( － 7 ， 7). 答案　 A 4. (2020· 合肥质检 ) 设向量 a ＝ ( － 3 ， 4) ，向量 b 与向量 a 方向相反，且 | b | ＝ 10 ，则向量 b 的坐标为 ( 　　 ) 答案　 D 5. (2019· 福州质检 ) 已知 ▱ ABCD 的顶点 A ( － 1 ，－ 2) ， B (3 ，－ 1) ， C (5 ， 6) ，则顶点 D 的坐标为 ________. 答案　 (1 ， 5) 6. (2017· 山东卷 ) 已知向量 a ＝ (2 ， 6) ， b ＝ ( － 1 ， λ ) ，若 a ∥ b ，则 λ ＝ ________. 解析 　 ∵ a ∥ b ， ∴ 2 λ ＋ 6 ＝ 0 ，解得 λ ＝－ 3. 答案 　－ 3 考点一　平面向量基本定理及其应用 答案　 A 规律方法　 1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 . 2. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 . 考点二　平面向量的坐标运算 A.1 B.2 C.3 D.4 (2) 以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系 ( 设每个小正方形边长为 1) ， 则 A (1 ，－ 1) ， B (6 ， 2) ， C (5 ，－ 1) ， ∵ c ＝ λ a ＋ μ b ， ∴ ( － 1 ，－ 3) ＝ λ ( － 1 ， 1) ＋ μ (6 ， 2) ， 答案　 (1)A 　 (2)D 规律方法　 向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算 . 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用 . (2) 如图所示，以 e 1 ， e 2 为基底，则 a ＝ ________. 答案　 (1)(4 ， 7) 　 (2) － 2 e 1 ＋ e 2 考点三　平面向量共线的坐标表示　 多维探究 角度 1 　利用向量共线求向量或点的坐标 【例 3 － 1 】 ( 一题多解 ) 已知点 A (4 ， 0) ， B (4 ， 4) ， C (2 ， 6) ，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 ________. 所以 ( x － 4) × 6 － y × ( － 2) ＝ 0 ，解得 x ＝ y ＝ 3 ， 所以点 P 的坐标为 (3 ， 3). 答案　 (3 ， 3) 角度 2 　利用向量共线求参数 【例 3 － 2 】 (1) (2018· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知向量 a ＝ (1 ， 2) ， b ＝ (2 ，－ 2) ， c ＝ (1 ， λ ). 若 c ∥ (2 a ＋ b ) ，则 λ ＝ ________. 又 a － 3 b ＝ (2 ， 3) － 3( － 1 ， 2) ＝ (5 ，－ 3) ≠ 0 . 那么当 m a ＋ n b 与 a － 3 b 共线时， 规律方法　 1. 两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1) 若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ∥ b 的充要条件是 x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 ； (2) 若 a ∥ b ( b ≠ 0 ) ，则 a ＝ λ b . 2. 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数 . 当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解 .