高考文科数学复习备课课件：第八节　解三角形 27页

文数 课标 版 第八节　解三角形   1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度 问题,计算面积问题等. 教材研读 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在 水平线① 　上方     的角叫仰角,目标视线在水平线② 　下方     的角叫俯 角(如图甲). (2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30 ° ,北 偏西45 ° 等. (3)方位角 从③ 　正北     方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点 B 的 方位角为 α (如图乙). (4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. (附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比) 3.解关于解三角形的应用题的一般步骤 (1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题; (3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解; (4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算 等的要求. 1.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东20 ° 的方向上,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东40 ° 的方 向上,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为   (　　)   A. a km　　B.   a km　　C.   a km　　D.2 a km 答案     B　在△ ABC 中,∠ ACB =180 ° -(20 ° +40 ° )=120 ° ,∵ AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2 AC · BC cos 120 ° = a 2 + a 2 -2 a 2 ×   =3 a 2 ,∴ AB =   a (km),故选B. 2.在上题的条件下,灯塔 A 相对于灯塔 B 的方向为   (　　) A.北偏西5 ° 　    B.北偏西10 ° C.北偏西15 ° 　    D.北偏西20 ° 答案     B　易知∠ B =∠ A =30 ° , C 在 B 的北偏西40 ° 的方向上,又40 ° -30 ° =1 0 ° ,故灯塔 A 相对于灯塔 B 的方向为北偏西10 ° . 3.如图所示, D , C , B 三点在地面的同一直线上, DC = a ,从 C , D 两点测得 A 点 的仰角分别为60 ° ,30 ° ,则 A 点离地面的高度 AB 等于   (　　)   A.   　    B.   　    C.   a 　    D.   答案     B　因为∠ D =30 ° ,∠ ACB =60 ° , 所以∠ CAD =30 ° , 故 CA = CD = a , 所以 AB = a sin 60 ° =   . 4.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔 P 的南偏西75 ° ,距灯塔68海 里的 M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则此船航行的速度 为 　　　     海里/小时. 答案        解析 　如图,由题意知∠ MPN =75 ° +45 ° =120 ° ,∠ PNM =45 ° .   在△ PMN 中,   =   , ∴ MN =68 ×   =34   海里. 又由 M 到 N 所用的时间为14-10=4小时, ∴此船的航行速度 v =   =     海里/小时. 5.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面 上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45 ° 和60 ° ,而且两条船与炮台 底部所连的线成30 ° 角,则两条船相距 　　　     m. 答案 　10   解析　 由题意画示意图,如图,   OM = AO tan 45 ° =30(m), ON = AO tan 30 ° =   × 30=10   (m), 在△ MON 中,由余弦定理得, MN =   =   =10   (m). 考点一　测量距离问题 典例1　 (1)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为 75 ° ,30 ° ,此时气球的高是60 m,则河流的宽度 BC 等于   (　　)   A.240(   -1)m　　B.180(   -1)m C.120(   -1)m　　D.30(   +1)m 考点突破 (2)如图,某观测站 C 在城 A 的南偏西20 ° 的方向上,从城 A 出发有一条走向 为南偏东40 ° 的公路,在 C 处观测到距离 C 处31 km的公路上的 B 处有一辆 汽车正沿公路向 A 城驶去,行驶了20 km后到达 D 处,测得 C , D 两处的距离 为21 km,这时此车距离 A 城 　　　     千米.   答案　 (1)C　(2)15 解析　 (1)如图,∠ ACD =30 ° ,∠ ABD =75 ° , AD =60 m,在Rt△ ACD 中, CD =   =   =60   m,在Rt△ ABD 中, BD =   =   =   =60(2-   )m,∴ BC = CD - BD =60   -60(2-   )=120(   -1)m.   (2)在△ BCD 中, BC =31 km, BD =20 km, CD =21 km,由余弦定理得cos∠ BDC =   =   =-   , 所以cos∠ ADC =   ,所以sin∠ ADC =   . 在△ ACD 中, CD =21 km,∠ CAD =60 ° , 所以sin∠ ACD =sin(60 ° +∠ ADC )=   ×   +   ×   =   . 由正弦定理得   =   ,所以 AD =   ×   =15 km. 方法技巧 求解距离问题的一般步骤 (1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题; (2)明确所求的距离在哪个三角形中,有几个已知元素; (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(对于解答题,应作答). 1-1 　设 A , B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧选定一点 C ,测出 AC 的 距离为50 m,∠ ACB =45 ° ,∠ CAB =105 ° ,则可以计算出 A , B 两点间的距离 为   (　　)   A.50   m　　B.50   m　　C.25   m　　D.   m 答案     A　由题意,易得 B =30 ° .由正弦定理,得   =   ,∴ AB =   =   =50   (m). 考点二　测量高度问题 典例2     (2015湖北,15,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西 行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30 ° 的方向上,行驶600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北75 ° 的方向上,仰角为30 ° ,则此山的高度 CD = 　　　     m.   答案　 100   解析　 依题意有 AB =600,∠ CAB =30 ° , ∠ CBA =180 ° -75 ° =105 ° ,∠ DBC =30 ° , DC ⊥ CB . ∴∠ ACB =45 ° , 在△ ABC 中,由   =   , 得   =   , 解得 CB =300   , 在Rt△ BCD 中, CD = CB ·tan 30 ° =100   , 则此山的高度 CD 为100   m. 易错警示 解决高度问题的注意事项 (1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念. (2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的问题,这时 最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又 不容易搞错. (3)一般是把高度问题转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关 系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平面图形的结合. 2-1 　在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30 ° 、6 0 ° ,则塔高是   (　　) A.   米　    B.   米 C.200   米　    D.200米 答案     A　如图所示, AB 为山高, CD 为塔高,则由题意知,在Rt△ ABC 中, ∠ BAC =30 ° , AB =200(米).   则 AC =   =   (米). 在△ ACD 中,∠ CAD =60 ° -30 ° =30 ° ,∠ ACD =30 ° , ∴∠ ADC =120 ° . 由正弦定理得   =   , ∴ CD =   =   (米). 考点三　测量角度问题 典例3 　如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于 A 处) 发现在北偏东45 ° 方向,相距12 n mile的水面 B 处,有蓝方一艘小艇正以每 小时10 n mile的速度沿南偏东75 ° 方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45 ° + α 方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内 拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.   解析 　如图,设红方侦察艇在 C 处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为 x 小时,   则 AC =14 x (n mile), BC =10 x (n mile),∠ ABC =120 ° . 根据余弦定理得(14 x ) 2 =12 2 +(10 x ) 2 -240 x cos 120 ° , 解得 x =2(负值舍去). 故 AC =28 n mile, BC =20 n mile. 根据正弦定理得   =   , 解得sin α =   =   . 所以,要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时 间为2小时,角 α 的正弦值为   . 易错警示 解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方向角的含义; (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关 键、最重要的一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理 的综合运用. 3-1 　如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向,相距40海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南 偏西30 ° ,相距20海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线前往 B 处救援,求cos θ 的值.   解析 　在△ ABC 中, AB =40海里, AC =20海里,∠ BAC =120 ° ,由余弦定理,得 BC 2 = AB 2 + AC 2 -2 AB · AC ·cos 120 ° =2 800,所以 BC =20   海里. 由正弦定理,得sin∠ ACB =   ·sin∠ BAC =   . 由∠ BAC =120 ° ,知∠ ACB 为锐角, 故cos∠ ACB =   . 故cos θ =cos(∠ ACB +30 ° ) =cos∠ ACB cos 30 ° -sin∠ ACB sin 30 ° =   .