高中数学人教版选修1-2课时提升作业（三）2-1-1合情推理探究导学课型word版含答案 9页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(三) 合情推理 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1.(2015·厦门高二检测)定义 A*B，B*C，C*D，D*A 的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)， (4)，那么下图中的 (A)，(B)所对应的运算结果可能是( ) A.B*D，A*D B.B*D，A*C C.B*C，A*D D.C*D，A*D 【解析】选 B.由(1)(2)(3)(4)图得 A 表示|，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图(A)(B) 表示 B*D 和 A*C. 2.给出下列三个类比结论： ①类比 ax·ay=ax+y，则有 ax÷ay=ax-y； ②类比 loga(xy)=logax+logay，则有 sin(α+β)=sinαsinβ； ③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2. 其中结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 C.根据指数的运算法则知 ax÷ay=ax-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知： sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正 确. 【补偿训练】若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列 bn= (n∈N*)也是等 差数列.类比上述性质，相应地有，若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且 cn>0，则数列 dn= (n∈N*)也是等比数列. 【解析】由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性.等差与 等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比.由此猜想 dn= . 答案： 3.设 n 棱柱有 f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数 f(n+1)等于( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 【解析】选 C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧 棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n 条侧棱可作 n(n-3)个对角面，由于这些对角面是 相互之间重复计算了，所以共有 n(n-3)÷2 个对角面， 所以可得 f(n+1)-f(n) =(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2 =n-1， 故 f(n+1)=f(n)+n-1. 4.(2015·北京高二检测)设 0<θ< ，已知 a1=2cosθ，an+1= ，猜想 an=( ) A.2cos B.2cos C.2cos D.2sin 【解析】选 B.因为 a1=2cosθ， a2= =2 =2cos ， a3= =2 =2cos ，…， 猜想 an=2cos . 【一题多解】验 n=1 时，排除 A，C，D. 5.(2015·吉林高二检测)设△ABC 的三边长分别为 a，b，c，△ABC 的面积为 S，内切圆半径 为 r，则 r= ；类比这个结论可知：四面体 P-ABC 的四个面的面积分别为 S1，S2，S3， S4，内切球的半径为 r，四面体 P-ABC 的体积为 V，则 r=( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.△ABC 的三条边长 a，b，c 类比到四面体 P-ABC 的四个面面积 S1，S2，S3，S4， 将三角形面积公式中系数 类比到三棱锥体积公式中系数 ，从而可知选 C. 【补偿训练】在 Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC 外接圆半径 r= . 运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a，b，c，则其外接球的半 径 R= . 【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体. 【解析】(构造法)通过类比可得 R= . 证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为 a，b，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长 度是 ，故这个长方体的外接球的半径是 ，这也是所求的三棱 锥的外接球的半径. 答案： 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示 化学键，按图中结构第 n 个图中有 个原子，有 个化学键. 【解析】第 1，2，3 个图中分别有原子：6 个、6×2-2 个、6×3-2×2 个，所以第 n 个图中 有 6n-(n-1)×2=4n+2 个原子；第 1，2，3 个图中分别有化学键：6 个，6×2-1 个，6×3-2 个，所以第 n 个图中有 6n-(n-1)=5n+1 个化学键. 答案：4n+2 5n+1 7.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题： 已知数列{an}是等和数列，且 a1=2，公和为 5，那么 a18= ，这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 . 【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个 常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 由上述定义，得 an= 故 a18=3. 从而 Sn= 答案：3 Sn= 8.如图 1，小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延长一倍得到新正方形 A1B1C1D1，再把正 方形 A1B1C1D1 的各边延长一倍得到正方形 A2B2C2D2(如图 2)，如此进行下去，正方形 AnBnCnDn 的面积为 .(用含有 n 的式子表示，n 为正整数) 【解题指南】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积 和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积 的 5 倍，从而解答. 【解析】如题干图 1，已知小正方形 ABCD 的面积为 1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1 的面积是 1， 新正方形 A1B1C1D1 的面积是 5， 从而正方形 A2B2C2D2 的面积为 5×5=25=52， … 正方形 AnBnCnDn 的面积为 5n. 答案：5n 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9.已知：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，… 根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论. 【解析】注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为 1=2×1-1；3=2×2-1； 5=2×3-1；7=2×4-1，… 又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42；… 由此总结出一般结论：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2. 10.如图 1，在三角形 ABC 中，AB⊥AC，若 AD⊥BC，则 AB2=BD·BC；若类比该命题，如图 2， 三棱锥 A-BCD 中，AD⊥平面 ABC，若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影为 M，则可以得到 什么命题？命题是否是真命题并加以证明. 【解析】命题是：三棱锥 A-BCD 中，AD⊥平面 ABC，若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影 为 M，则有 =S△BCM·S△BCD，是一个真命题. 证明如下： 在图 2 中，连接 DM，并延长交 BC 于 E，连接 AE，则有 DE⊥BC. 因为 AD⊥平面 ABC， 所以 AD⊥AE. 又 AM⊥DE， 所以 AE2=EM·ED. 于是 = = · =S△BCM·S△BCD. (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第 n 个图形由 n 个正方形组成.通过观察可以发现第 10 个图形中火柴棒的根数是( ) A.30 B.31 C.32 D.34 【解析】选 B.第 1 个图形中有 4 根火柴棒； 第 2 个图形中有 4+3=7 根火柴棒； 第 3 个图形中有 4+3×2=10 根火柴棒； … 第 10 个图形中有 4+3×9=31 根火柴棒. 2.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3， 1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第 60 个数对是( ) A.(7，5) B.(5，7) C.(2，10) D.(10，1) 【解析】选 B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第 n 组“整数对”的和 为 n+1 ， 且 有 n 个 “ 整 数 对 ” . 这 样 前 n 组 一 共 有 个 “ 整 数 对 ” . 注 意 到 <60< .因此第 60 个“整数对”处于第 11 组的第 5 个位置，可得为(5， 7). 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 3.(2015·西安高二检测)对于命题：如果 O 是线段 AB 上一点，则| |· + | |· =0；将它类比到平面的情形是：若 O 是△ABC 内一点，有 S△OBC· + S△OCA· +S△OBA· =0；将它类比到空间的情形应该是：若 O 是四面体 ABCD 内一点，则 有 . 【解题指南】根据线性几何中的线段长度、平面几何中平面图形的面积中有关等式的共性， 将这个共性引申到立体几何中得到相应的等式或结论. 【解析】根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体 积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若 O 是四面体 ABCD 内一点，则有 VO-BCD· +VO-ACD· +VO-ABD· +VO-ABC· =0. 答案：VO-BCD· +VO-ACD· +VO-ABD· +VO-ABC· =0 【拓展延伸】类比推理的常见类型及解题思路 类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何 中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比， 等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两 数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替 换. 4.根据给出的数塔猜测 123456×9+7 等于 . 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 12345×9+6=111111 …… 【解析】由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数，即 1111111. 答案：1111111 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 5.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为 a 的正三 角形内任意一点到各边的距离之和是定值 a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任 意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明. 【解题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明. 【解析】类比所得的真命题是：棱长为 a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值 a. 证明：设 M 是正四面体 P-ABC 内任一点，M 到面 ABC，面 PAB，面 PAC，面 PBC 的距离分别为 d1，d2，d3，d4. 由于正四面体四个面的面积相等，故有： VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC = ·S△ABC·(d1+d2+d3+d4)， 而 S△ABC= a2，VP-ABC= a3， 故 d1+d2+d3+d4= a(定值). 【拓展延伸】类比法的可靠性 (1)类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想直到形成猜想来完成的， 是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性. (2)一般说来，共有属性越多，结论的可靠程度就越大；共有属性越是本质的，结论的可靠 程度就越高.尽管类比法结论的真实性不一定得到保证，但它在人们的认识活动中仍有着重 要意义. 6.设{an}是集合{2t+2s|0≤s