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高中数学第6章（第3课时）不等式的性质（3） 5页

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  • 2021-06-11 发布

高中数学第6章（第3课时）不等式的性质（3）

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课 题：不等式的性质（3）‎ 教学目的：‎ 1． 熟练掌握定理1，2，3的应用；‎ 2． 掌握并会证明定理4及其推论1，2；‎ 3． 掌握反证法证明定理5‎ 教学重点：定理4，5的证明 教学难点：定理4的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎ 1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，cb，那么bb．(对称性)‎ ‎ 即：a>bbb 定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)‎ ‎ 即a>b，b>ca>c 定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．‎ ‎ 即a>ba+c>b+c 推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则) ‎ ‎ 即a>b， c>d a+c>b+d．‎ 二、讲解新课：‎ 定理4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；‎ ‎ 如果a>b，且c<0，那么acb∴a-b>0‎ 当c>0时，(a-b)c>0即ac>bc．‎ 当c<0时，(a-b)c <0即acb，c>d是否一定能得出ac>bd？(举例说明) ‎ 能否加强条件得出ac>bd呢?(引导学生探索，得出推论) ．‎ 推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)‎ 证明： ①‎ 又 ∴ ②‎ 由①、②可得 说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；‎ ‎（2）所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论 ‎（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向 推论2 若 说明：（1）推论2是推论1的特殊情形； ‎ ‎（2）应强调学生注意n∈N的条件 ‎ 如果a>b >0，那么an>bn (nN，且n>1)‎ 定理5 若 点拨：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难则反” ．我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即和，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举” ‎ 证明：假定不大于，这有两种情况：，或者 由推论2和定理1，当时，有；当时，显然有 这些都同已知条件矛盾 所以 点评：反证法证题思路是：反设结论→找出矛盾→肯定结论．‎ 三、讲解范例：‎ 例1 已知且，求证： (相除法则)‎ 证：∵ ∴‎ 例2 已知a>b>0，c<0，求证： ‎ 证明：∵两边同乘以正数 ‎ ‎ 即 ，又 c<0 ∴ ‎ 例3 已知a，b，x，y是正数，且，x>y．求证：‎ 证：∵>0 ∴b>a>0, ‎ 又x>y>0 ∴xb>ay ∴xy+xb>xy+ay ‎ 即 x(y+b)>y(x+a) ∵a，b，x，y是正数，∴y+b>0，x+a>0‎ ‎ ∴‎ 例4 已知函数, -4≤≤-1, -1≤(2)≤5, 求的取值范围 分析： 利用与设法表示a 、c, 然后再代入的表达式中，从而用与来表示, 最后运用已知条件确定的取值范围 解： ∵ 解得 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵ -4≤(1)≤1, 故 (1)‎ 又 -1≤(2)≤5, 故 (2)‎ 把(1)和(2)的各边分别相加，得：‎ ‎-1≤≤20‎ 所以，-1≤(3)≤20‎ 点评：应当注意，下面的解法是错误的：‎ ‎ 依题意，得：‎ 由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得 ‎ 0≤a≤3， 1≤c≤7 (3)‎ 所以，由可得，-7≤(3)≤27‎ 以上解法其错因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a、c的范围扩大，这样(3)的范围也就随之扩大了 四、课堂练习：‎ ‎1．已知，，，求证：‎ 证：‎ ‎6．如果 求证：‎ 证：∵ p>1 ∴‎ 又∵ ∴‎ ‎∴ ∴‎ 五、小结 ：通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础 六、课后作业：‎ 一选择题：‎ 1． 如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是 [ C ]‎ A．a-d>b-c B． C．a+d>b+c D．ac>bd ‎2 如果a、b为非0实数，则不等式成立的充要条件是 [ D ]‎ A．a>b且ab<0 B．a0 C．a>b,ab<0或ab<0 D．a2b-ab2<0‎ ‎3 当a>b>c时，下列不等式恒成立的是 [ B ]‎ A．ab>ac B．(a-b)∣c-b∣>0 C．a∣c∣>b∣c∣ D．∣ab∣>∣bc|‎ ‎4已知a、b为实数，则“a+b>2”是“a、b中至少有一个大于1”的 [ A ]‎ ‎ A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D 不充分也不必要条件 ‎ ‎5．log m2> log n2的充要条件是 [ C ]‎ A．n>m>1或1>m>n>0 B．1>m>n>0 C．n>m>1或1>n>m>0 D．m>n>1‎ 二填空题：‎ ‎6．若-1>>‎ ‎ 7．设角α、β满足，则α-β的取值范围为-π<α-β<0‎ ‎ 8．若实数a>b, 则a2-ab > ba-b2(填上不等号)‎ ‎ 9．已知a>b>c，且a+b+c=0,则b2 – 4ac的值的符号为 正数 ‎ 三解答题：‎ ‎10．已知x、y均为正数，设M=, N=, 试比较M和N的大小 证明：‎ ‎11．设函数f(x)的图象为一条开口向上的抛物线, 已知x、y均为正数，p>0,q>0且p+q=1,求证f (px+qy)0,q>0且p+q=1,则 ‎＝++‎ 所以pf (x)+qf (y) －f (px+qy)＝－>0‎ 所以f (px+qy)

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