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- 2021-06-11 发布
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- 1 -
辽宁省部分重点中学协作体 2020 年高考模拟考试
数学(理科)试卷
考试时间:120 分钟 考试分数:150 分
试卷说明:
本试卷分第Ⅰ卷(选择题,1-12 题,共 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题,13-23 题,共 90 分).答
卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.作答时,将答案写在答题卡,写
在本试卷上无效.
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 2 2 0A x x x , 0B x x ,则 A B ( )
A. [ 1 ,2] B. (1,2] C. (0,2] D. (2, )
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得 1 2A x x ,再由集合交集的概念即可得解.
【详解】由题意 2 2 0 2 1 0 1 2A x x x x x x x x ,
所以 1 2 0 0 2 0,2A B x x x x x x .
故选:C.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算,属于基础题.
2.已知复数 z 满足 1 1z i i (i 为虚数单位),则 z 的虚部为( )
A. i B. i C. 1 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数 z 满足 1 1z i i ,利用复数的除法求得 z ,再根据复数的概念求解.
【详解】因为复数 z 满足 1 1z i i ,
- 2 -
所以
211
1 1 1
iiz ii i i
,
所以 z 的虚部为 1 .
故选:D.
【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
3.已知 1
0.33
0.3log 2 2 , 2a b c
, ,则 a b c、 、 的大小关系是( )
A. a b c B. a c b C. c a b D.
b c a
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合对数函数、指数函数的性质可得 0 1a b c ,即可得解.
【详解】由题意 0.3 0.3log 2 log 1 0a , 1
030 2 2 1b
-
< = < = , 0.3 02 2 1c ,
所以 0 1a b c .
故选:A.
【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较,考查了对数函数、指数函数单调性的应用,
属于基础题.
4.已知某企业 2020 年 4 月之前的过去 5 个月产品广告投入与利润额依次统计如下:
月份 11 12 1 2 3
广告投入( x 万元) 8.2 7.8 8 7.9 8.1
利润( y 万元) 92 89 89 87 93
由此所得回归方程为 ˆ 12y x a ,若 2020 年 4 月广告投入 9 万元,可估计所获利润约为( )
A. 100 万元 B. 101 万元 C. 102 万元 D. 103 万元.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意计算出 x 、 y ,进而可得 12a y x ,代入 9x 即可得解.
- 3 -
【详解】由题意 1 8.2 7.8 8 7.9 8.1 85x , 1 92 89 89 87 93 905y ,
所以 12 90 12 8 6a y x ,所以 ˆ 12 6y x ,
当 9x 时, ˆ 12 9 6 102y .
故选:C.
【点睛】本题考查了线性回归方程的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
5.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 3 6 44a a a ,则 9S ( )
A. 18 B. 24 C. 48 D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列的性质可得 5 4a ,再由等差数列前 n 项公式结合等差数列的性质可得
1 9
9 59 92
a aS a ,即可得解.
【详解】数列 na 是等差数列, 3 6 5 4 44a a a a a ,
5 4a , 1 9
9 59 9 362
a aS a .
故选:D.
【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前 n 项和公式的应用,属于基础题.
6.人们通常以分贝(符号是 dB )为单位来表示声音强度的等级,30~40 分贝是较理想的安静
环境,超过 50 分贝就会影响睡眠和休息,70 分贝以上会干扰谈话,长期生活在 90 分贝以上
的嗓声环境,会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病,如果突然暴露在高
达 150 分贝的噪声环境中,听觉器官会发生急剧外伤,引起鼓膜破裂出血,双耳完全失去听
力,为了保护听力,应控制噪声不超过 90 分贝,一般地,如果强度为 x 的声音对应的等级为
( )f x dB ,则有 12( ) 10 lg
1 10
xf x
,则 90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为( )
A. 10 B. 100 C. 1000 D. 10000
【答案】D
【解析】
【分析】
- 4 -
设 90dB 的声音与 50dB 的声音对应的强度分别为 1x 、 2x ,由题意 12
190 10 lg
1 10
x
,
12
250 10 lg
1 10
x
,计算即可得解.
【详解】设90dB 的声音与 50dB 的声音对应的强度分别为 1x 、 2x ,
由题意 12
190 10 lg
1 10
x
, 12
250 10 lg
1 10
x
,
所以 3
1 10x , 7
2 10x ,所以
3
41
7
2
10 10 1000010
x
x
.
故选:D.
【点睛】本题考查了对数运算的应用,考查了对于新概念的理解,属于基础题.
7.函数 tan 2y x 图象的对称中心坐标为( )
A. (2 ,0),k k Z B. ( ,0),k k Z C. ( ,0),2
k k Z D.
( ,0),4
k k Z
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合正切函数的图象与性质可得 2 ,2
kx k Z ,即可得解.
【详解】令 2 ,2
kx k Z ,则 ,4
kx k Z ,
所以函数 tan 2y x 图象的对称中心坐标为 ,0 ,4
k k Z
.
故选:D.
【点睛】本题考查了正切函数图象与性质的应用,属于基础题.
8.已知二项式
1
2 1(2 )nx x
的展开式中,二项式系数之和等于 64,则展开式中常数项等于( )
A. 240 B. 120 C. 48 D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】
- 5 -
由题意结合二项式系数和的性质可得 2 64n 即 6n ,写出二项式展开式的通项公式
336 2
1 62
rr r
rT C x
,令 33 02 r 即可得解.
【详解】由题意 2 64n ,解得 6n ,则
1 1
62 21 1(2 ) (2 )nx xx x
,
则二项式
1
62 1(2 )x x
的展开式的通项公式为
61 3362 2
1 6 6
12 2
r r
rr r r
rT C x C xx
,
令 33 02 r 即 2r = ,则 6 4 2
6 62 2 240r rC C .
故选:A.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
9.已知函数
2 2 8, 1
( ) 4 , 1
x ax x
f x
x a xx
,若 ( )f x 的最小值为 (1)f ,则实数 a 的值不可能是
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合基本不等式可得当 1x 时, 4f x a ;由二次函数的性质可得 1a ,进而可
得9 2 4a a ,即可得解.
【详解】由题意当 1x 时, 4 42 4f x x a x a ax x
,
当且仅当 2x 时,等号成立;
当 1x 时, 2 2 8f x x ax ,图象为二次函数图象的一部分,对称轴为 x a ,
当 1a 时, f a 为函数 f x 在 ,1 上的最小值,不合题意;
当 1a 时, 1f 为函数 f x 在 ,1 上的最小值, 1 9 2f a ,
由题意可得9 2 4a a ,解得 5
3a ;
- 6 -
综上,实数 a 的取值范围为 5
3a .
故选:A.
【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用,考查了运算求解能
力,属于基础题.
10.已知三棱锥 A BCD 中,侧面 ABC 底面 BCD , ABC 是边长为 3 的正三角形,
BCD 是直角三角形,且 90BCD , 2CD ,则此三棱锥外接球的体积等于( )
A. 4 3 B. 32
3
C. 12 D. 64
3
【答案】B
【解析】
【分析】
取 BD 的中点 1O , BC 中点G ,连接 1GO 、 AG ,过点 1O 作直线垂直平面 BCD,可知三棱
锥外接球的球心在该直线上,设为 O ,过点 O 作 OH AG 于 H ,连接 AO 、 BO ,设
1OO m ,由勾股定理可得 2 213
4OD m 、
2
2 3 31 2OA m
,利用 2 2OD OA 即可
得 3
2m ,进而可得外接球半径 2R ,即可得解.
【详解】取 BD 的中点 1O , BC 中点G ,连接 1GO 、 AG ,
由题意可得 1O 为 BCD 的外心, AG 平面 BCD,
过点 1O 作直线垂直平面 BCD ,可知三棱锥外接球的球心在该直线上,设为 O ,
- 7 -
过点O 作OH AG 于 H ,连接 AO 、 OD ,可知四边形 1OHGO 为矩形,
ABC 是边长为 3, 2CD ,
3 3
2AG , 13BD , 1 1O G ,
设 1OO m ,则 3 3
2HA m ,
2 2 2 2
1 1
13
4OD DO OO m ,
2
2 2 2 3 31 2OA OH HA m
,
由 2 2OD OA 可得
2
213 3 314 2m m
,解得 3
2m ,
三棱锥 A BCD 外接球的半径 213 24R m ,
此三棱锥外接球的体积 34 32
3 3V R .
故选:B.
【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解,考查了面面垂直性质的应用和
空间思维能力,属于中档题.
11.已知过抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点 F 的直线交抛物线于 A B, 两点,线段 AB 的延长
线交抛物线的准线 l 于点C ,若 2BC , 1FB ,则 AB ( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
分别过点 B 、 A 作准线l 的垂线,垂足分别为G 、 H ,由抛物线的性质可得 1BG FB ,
设 AF AH x ,由平面几何的知识即可得解.
【详解】分别过点 B 、 A 作准线 l 的垂线,垂足分别为G 、 H ,
- 8 -
由题意 1BG FB , 2BC ,
设 AF AH x ,由三角形相似可得 BG BC
AH AC
即 1 2
1 2x x
,解得 3x ,
则 4AB AF BF .
故选:B.
【点睛】本题考查了抛物线性质的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
12.已知 2( ) 2 (ln )
xef x t x xx x
恰有一个极值点为 1,则 t 的取值范围是( )
A. 1( ]4 6
e
, B. 1( , ]6
C. 1[0 ]4 6
e
, D. 1( , ]4
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合导数转化条件得 2 2
x
t e
x
在 0, 上无解,令 02 2
xeg x xx
,求
导后确定函数 g x 的值域即可得解.
【详解】由题意,函数 ( )f x 的定义域为 0, ,
对函数 ( )f x 求导得
2 2 2
1 21 2( ) 2 ( 1 )
21 xx x e xef x tx x x
tx
x
,
- 9 -
2( ) 2 (ln )
xef x t x xx x
恰有一个极值点为 1,
22 0xe xt 在 0, 上无解,即 2 2
x
t e
x
在 0, 上无解,
令 02 2
xeg x xx
,则
2 2
2 2 2 2 1 0
2 2 2 2
x x xe x e e xg x
x x
,
函数 g x 在 0, 单调递增,
当 0,x 时, 10 4g x g ,
1
4a .
故选:D.
【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了运算求解能力与推理能力,属于基础题.
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.己知 x , y 满足约束条件
1 0
2
0
x y
x y
y
,则 2x y 的最小值是______.
【答案】 2
【解析】
【分析】
由题意作出可行域,转化目标函数为 2y x z ,数形结合即可得解.
【详解】由题意画出可行域,如图阴影所示:
- 10 -
令 2z x y ,目标函数可转化为 2y x z ,
上下平移直线 2y x z ,数形结合可得,当直线 2y x z 过点 A 时, z 取最小值,
由 0
1 0
y
x y
可得 1,0A ,此时 min 2z .
故答案为: 2 .
【点睛】本题考查了简单线性规划的应用,属于基础题.
14.古代中国,建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美,方形和圆形的应用比比皆是,在唐、
宋时期的单檐建筑中较多存在 2 :1的比例关系,这是当时工匠们着意设计的常见比例,今天,
4A 纸之所以流行的重要原因之一,就是它的长与宽的比无限接近 2 :1,我们称这种满足了
2 :1的矩形为“优美”矩形.现有一长方体 1 1 1 1ABCD A B C D , 1 2 6AD , 2 5AC ,
1 2 7AC ,则此长方体的表面六个矩形中,“优美”矩形的个数为___________.
【答案】4
【解析】
【分析】
由题意求出该长方体的长、宽、高后,根据新概念验证即可得解.
【详解】由题意,该长方体如图所示:
- 11 -
1 2 6AD , 2 5AC , 1 2 7AC ,
2
1 1
2 2 2CC C ACA , 2 2 2 2
11 1 1 4AD AD ADDD CC ,
2 2 2CD AC AD ,
2AB CD , 11 2 2CCAA ,
1 2AA
AB
,
1
2AD
AA
, 2AD
AB
,
此长方体的表面六个矩形中,“优美”矩形的个数为 4.
故答案为:4.
【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及对于新概念的理解,属于基础题.
15.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 1 1a , 12 1n nS a 则 nS ______.
【答案】 11 3 12
n
【解析】
【分析】
由 题 意 利 用 数 列 na 与 nS 的 关 系 可 转 化 条 件 为 1 3 1n nS S , 进 而 可 得
1
1 132 2n nS S
,利用等比数列的通项公式即可得解.
【详解】 12 1n nS a , 1 1a , 1 1 1S a , 1 12 1 1n n n nS a S S ,
- 12 -
1 3 1n nS S 即 1
1 3 13 32 2 2n n nS S S
,
又 1
1 1
2 2S ,数列 1
2nS
是首项为 1
2
,公比为 3 的等比数列,
11 1 32 2
n
nS , 1 11 1 13 3 12 2 2
n n
nS .
故答案为: 11 3 12
n .
【点睛】本题考查了数列 na 与 nS 关系的应用,考查了通过构造新数列求数列的通项,属于中
档题.
16.已知椭圆 1C 与双曲线 2C 有相同的焦点 1 2F F, ,点 P 是 1C 与 2C 的一个公共点, 1 2PF F△ 是
一个以 2PF 为底的等腰三角形, 2 4PF , 1C 的离心率为 3
7
,则 2C 的离心率是______.
【答案】3
【解析】
【分析】
设椭圆 1C 的长轴为 12a ,双曲线 2C 的实轴为 22a , 1 2 2F F c ,由椭圆的离心率结合题意可
得 1 1 2 3PF F F ,再由双曲线的离心率公式即可得解.
【详解】设椭圆 1C 的长轴为 12a ,双曲线 2C 的实轴为 22a , 1 2 2F F c ,
由题意椭圆 1C 的离心率 1 2
1
1 1 1 2
2 3
2 7
F Fc ce a a PF PF
,
又 1 2PF F△ 是一个以 2PF 为底的等腰三角形, 2 4PF ,
1 2
1 2
3
4 7
F F
F F
,解得 1 1 2 3PF F F ,
双曲线 2C 的离心率 1 2
2
2 2 1 2
2 32
F Fc ce a a PF PF
.
故答案为:3 .
【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用,考查了运算求解能力,属于中档题.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题,
- 13 -
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答,
(一)必考题:共 60 分
17.已知 (2cos ,sin ), (cos ,2 3 cos )m x x n x x ,且 ( )f x m n .
(1)求 ( )f x 在[0, ]2
上的值域;
(2)已知 , ,a b c 分别为 ABC 的三个内角 A ,B ,C 对应的边长,若 ( ) 32
Af ,且 2a ,
4b c ,求 ABC 的面积.
【答案】(1)[0,3](2) 3
【解析】
【分析】
(1)由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得 2sin 2 16f x x
,根据
0, 2x
可得 72 ,6 6 6x
,进而可得 1sin 2 ,16 2x
,即可得解;
(2)由题意可得
3A ,利用余弦定理可得 24 ( ) 3b c bc ,求得 4bc 后,利用三角形
面积公式即可得解.
【详解】(1)由题意可得
2( ) 2cos 2 3sin cosf x m n x x x
1 cos22 3sin 2 cos2 3sin 2 1 2sin 2 12 6
x x x x x
0, 2x
, 72 ,6 6 6x
, 1sin 2 ,16 2x
( )f x 的值域为[0,3];
(2)因为 32
Af
,所以 2sin 1 36A
,sin 16A
因为 0 A ,所以
3A ,
由余弦定理得: 2 2 2 2 cosa b c bc A ,即 2 24 b c bc
- 14 -
24 ( ) 3b c bc ,由 4b c 可得 4bc ,
1 sin 32ABCS bc A △ .
【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用,考
查了运算求解能力,属于中档题.
18.已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1 2AB AA , D 是 BC 的中点.
(1)求证: 1A B ∥平面 1ADC ;
(2)求锐二面角 1D AC C 的余弦值.
【答案】(1)见解析(2) 15
5
【解析】
【分析】
(1)连结 1AC ,设 1 1AC AC M ,由平面几何知识可得 1 / /A B MD ,由线面平行的判定
即可得证;
(2)建立空间直角坐标系,表示出点的坐标后,求得平面 1DAC 的一个法向量 m
、平面 1ACC
的一个法向量 n
,利用 cos , m nm n
m n
即可得解.
- 15 -
【详解】(1)证明:连结 1AC ,设 1 1AC AC M ,则 M 是 1AC 的中点,
再连结 DM,因为 D 是 BC 的中点,所以 DM是 1A BC 的中位线,所以 1 / /A B MD ,
又因为 1A B 平面 1ADC , DM 平面 1ADC ,
所以 1 / /A B 平面 1ADC ;
(2)取 AB 的中点 O ,过点O 作 1/ /Oz AA ,连结OC ,易知 OB 、OC 、Oz 两两垂直,以
O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则有 ( 1,0,0)A , 1 3, ,02 2D
, (0, 3,0)C , 1(0, 3,2)C ,
所以 3 3, ,02 2AD
, 1 1, 3,2AC , 1, 3,0AC ,
设平面 1DAC 的一个法向量 ( , , )m x y z ,则
1
3 3 02 2
3 2 0
m AD x y
m AC x y z
,令 1x ,则有 (1, 3,1)m ,
设平面 1ACC 的一个法向量 ( , , )n a b c ,
- 16 -
则
1
3 0
3 2 0
m AC a b
n AC a b c
,令 1b 则 3, 1,0n
,
所以
1 3 ( 3) ( 1) 1 0 15cos , 55 2
m nm n
m n
,
所以二面角 1D AC C 的余弦值为 15
5
.
【点睛】本题考查了线面平行的证明及利用空间向量求二面角,考查了空间思维能力与运算
求解能力,属于中档题.
19.某工厂计划建设至少 3 个,至多 5 个相同的生产线车间,以解决本地区公民对特供商品 A
的未来需求.经过对先期样本的科学性调查显示,本地区每个月对商品 A 的月需求量均在 50
万件及以上,其中需求量在 50~ 100 万件的频率为 0.5,需求量在 100~200 万件的频率为 0.3,
不低于 200 万件的频率为 0.2.用调查样本来估计总体,频率作为相应段的概率,并假设本地
区在各个月对本特供商品 A 的需求相互独立.
(1)求在未来某连续 4 个月中,本地区至少有 2 个月对商品 A 的月需求量低于 100 万件的概
率.
(2)该工厂希望尽可能在生产线车间建成后,车间能正常生产运行,但每月最多可正常生产
的车间数受商品 A 的需求量 x 的限制,并有如下关系:
商品 A 的月需求量 x (万件)
50 100x
100 200x 200x
车间最多正常运行个数 3 4 5
若一个车间正常运行,则该车间月净利润为 1500 万元,而一个车间未正常生产,则该车间生
产线的月维护费(单位:万元)与月需求量有如下关系:
商品 A 的月需求量 x (万件) 50 100x 100 200x
未正常生产的一个车间的月维护费(万元) 500 600
- 17 -
试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个?使得商品 A 的月利润为最大.
【答案】(1) 11
16
(2)4 个
【解析】
【分析】
(1)由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解;
(2)按照建设 3 个车间、4 个车间、5 个车间讨论,分别求出对应的分布列和期望,比较期
望大小即可得解.
【详解】(1)由题意每月需求量在 50~ 100 万件的概率为 0.5,则由独立重复实验概率公式可
得所求概率
2 2 3 1 4
2 3 4
4 4 4
1 1 1 1 1 111 12 2 2 2 2 16P C C C
;
(2)(i)当建设 3 个车间时,由于需求量在 50 万件以上,此时的净利润Y 的分布列为:
Y 4500
P 1
则 ( ) 4500 1 4500E Y (万元);
(ii)当建设 4 个车间时,需求量50 100x 时,则有 3 个车间正常运行时,会有 1 个车间
闲置,此时的净利润 1500 3 500 4000Y ;
需求量 100x 时,则 4 个车间正常运行,此时的净利润 1500 4 6000Y ;
则Y 的分布列为:
Y 4000 5000
P 0.5 0.5
则 ( ) 4000 0.5 6000 0.5 5000E Y (万元)
(iii)当建设 5 个车间时,需求量50 100x 时,则有 3 个车间正常运行时,会有 2 个车
间闲置,此时的净利润 1500 3 500 2 3500Y ;
- 18 -
需求量100 200x 时,则 4 个车间正常运行,会有 1 个车间闲置,
此时 1500 4 600 1 5400Y ;
需求量 200x 时,则 5 个车间正常运行,此时的净利润 1500 5 7500Y ;
则Y 的分布列为:
Y 3500 5400 7500
P 0.5 0.3 0.2
则 ( ) 3500 0.5 5400 0.3 7500 0.2 4870E Y (万元)
综上所述,要使该工厂商品 A 的月利润为最大,应建设 4 个生产线车间.
【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用,考查了离散型随机变量期望的求解与应
用,属于中档题.
20.己知椭圆
2 2
2 2 1( 0)y xC a ba b
: 过点 2( ,1)2P , 1(0, 1)F , 2(0,1)F 是两个焦点.以
椭圆C 的上顶点 M 为圆心作半径为 ( )0r r 的圆,
(1)求椭圆C 的方程;
(2)存在过原点的直线 l ,与圆 M 分别交于 A ,B 两点,与椭圆C 分别交于G ,H 两点(点
H 在线段 AB 上),使得 AG BH
uuur uuur
,求圆 M 半径 r 的取值范围.
【答案】(1)
2
2: 12
yC x (2)[ 2, 3]
【解析】
【分析】
(1)由题意结合椭圆性质可得 1 22 | 2 2a PF PF ,进而可得 2 2 2 1b a c ,即可得
解;
(2)当直线斜率不存在时, 2r ;当直线斜率存在时,设直线 l 方程为:y kx , 1 1,G x y ,
2 2,H x y ,联立方程后利用弦长公式可得 2
2
8 1
| | 2
k
GH k
,由圆的性质可得
- 19 -
2
2
2| | 2 1AB r k
,转化条件得| | | |AB GH ,可得 2
4 2
12 1 3 2r k k
,即可得解.
【详解】(1)设椭圆的焦距为 2c ,
由题意 1c , 1 22 | 2 2a PF PF ,所以 2 2a , 2 2 2 1b a c ,
故椭圆C 的方程为
2
2 12
y x ;
(2)当直线斜率不存在时,圆 M 过原点,符合题意, 2r ;
当直线斜率存在时,设直线 l 方程为: y kx , 1 1,G x y , 2 2,H x y ,
由直线l 与椭圆C 交于G 、 H 两点,
则 2
2 12
y kx
y x
,所以 2 22 2 0k x , ,
则 1 2 1 2 2
20, 2x x x x k
,
所以 2
2 2
1 2 1 2 2
8 1
| 1 24| x xH xG x
k
k k
,
点 (0, 2)M 到直线l 的距离
2
2
1
d
k
,则 2
2
2| | 2 1AB r k
,
因为 AG BH
uuur uuur
,点 H 在线段 AB 上,所以点G 在线段 AB 的延长线上,
只需| | | |AG BH 即| | | |AB GH ,
所以 2
2
2 2
8 1 242 1
k
rk k
,
则 2 4 2
2
2 2 4 2 4 2
2 1 2 3 32 12 11 2 3 2 3 2
k k k
r k k k k k k
因为
2
4 2 2 3 13 2 22 4k k k
,
所以 4 2
1 10 3 2 2k k
,所以 2 2,3r , 2, 3r ;
- 20 -
综上, r 的取值范围为 2, 3 .
【点睛】本题考查了椭圆方程的确定,考查了直线、圆、椭圆的综合应用,属于中档题.
21.已知函数 ( ) 1 lnf x ax x .
(1) 2 21( ) ( ) ( 1)2g x af x x a a x ,求函数 ( )g x 的单调区间:
(2)对于任意 0x ,不等式 ( ) xf x xe 恒成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】(1)见解析(2) 1a
【解析】
【分析】
(1)求导后,按照 1a 、 1a 、0 1a 与 0a 分类,分别解出不等式 ( ) 0g x ,即可得
解;
(2)转化条件得对于任意 0x ,不等式 ln 1xxe xa x
恒成立,设 ln 1( )
xxe xF x x
,
则
2
2
ln( )
xx e xF x x
,设 2( ) lnxh x x e x ,求导后可得 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增,进而
可得 0
1 ,1x e
,使得 0 0h x ,即 0( ) 0F x ,则 0( )F x F x ,设 ( ) 0xx xe x ,
求导后可得 ( )x 在 (0, ) 上单调递增,即可证 0
0
0 0
1 1ln xx ex x
,代入求出 0F x
后,即可得解.
【详解】(1)由题意 21( ) ln ( 1) ,( 0)2g x a x x a x a x ,
则
2 ( 1) ( 1)( )( ) ( 1)a x a x a x x ag x x ax x x
,
(i)当 1a 时, ( ) 0g x 的解集为 (( ,1) )0, a ,则 ( )g x 的单调增区间为 (0,1) 和 ( , )a ,
单调减区间为 (1, )a ;
(ii)当 1a 时, ( ) 0g x ,则 ( )g x 的单调增区间为 (0, ) ,无单调减区间;
(iii)当 0 1a 时, ( ) 0g x 的解集为 (0, ) (1, )a ,则 ( )g x 的单调增区间为 (0, )a 和
- 21 -
(1, ) ,单调减区间为 ( ,1)a ;
(iiii)当 0a 时, ( ) 0g x 的解集为 (1, ) ,则 ( )g x 的单调增区间为 (1, ) ,单调减区
间为 (0,1) .
(2)由已知,问题等价于对于任意 0x ,不等式 ln 1xxe xa x
恒成立,
设 ln 1( )
xxe xF x x
,则
2
2
ln( )
xx e xF x x
,
设 2( ) lnxh x x e x ,则 2 1( ) 2 xh x x x e x
,
在 (0, ) 上, ( ) 0h x , ( )h x 单调递增,
又
1 21 1 0eh ee
, (1) 0h e ,所以 1 (1) 0h he
,
所以 0
1 ,1x e
,使得 0 0h x ,即 0( ) 0F x ,
在 00, x 上, ( ) 0F x , ( )F x 单调递减;
在 0x 上, ( ) 0F x , ( )F x 单调递增;
所以 0( )F x F x ,
又有 00 0 0
1ln
2
0 0 0 0
0 0 0
1 1 1ln ln ln xx x xx e x x e x e ex x x
,
设 ( ) 0xx xe x ,则有 0
0
1lnx x
和 ( ) ( 1) 0xx x e ,
所以在 (0, ) 上, ( )x 单调递增,所以 0
0
0 0
1 1ln xx ex x
,
所以 0
0 0 0
0
0 0
ln 1 1 1( ) 1
xx e x xF x F x x x
,
故实数 a 的取值范围为 1a .
【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了运算求解能力与推理能力,属于难题.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
- 22 -
一题计分.
22.已知平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的方程为
2 2
116 2
x y ,以原点O 为极点, x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2 cos( ) 36
.若将曲线 1C 上的所
有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标伸长到原来的 2 倍,得曲线 2C .
(1)写出直线l 和曲线 2C 的直角坐标方程;
(2)设点 (1,0)P , 直线 l 与曲线 2C 的两个交点分别为 A , B ,求 1 1
PA PB
的值.
【答案】(1) 3 3 0x y , 2 2 4x y (2) 13
3
【解析】
【分析】
(1)转化直线l 的极坐标方程为 3 12 cos sin 32 2
,利用极坐标方程与直角坐标
方程转化公式得直线 l 的直角坐标方程;设点 ,P x y 在曲线 1C 上,点 ,Q x y 为坐标变换
后点 ,P x y 的对应点,由题意得
1
2
2
x x
y y
,代入化简即可得解;
(2)写出直线的参数方程
11 2
3
2
x t
y t
,(t 为参数),代入 2C 的直角坐标方程,由根与系数的
关系可得 1A Bt t , 3 0A Bt t ,转化条件 2 41 1 A B A B
A B
t t t t
PA PB t t
即可得解.
【详解】(1)直线 l 的极坐标方程可化为 3 12 cos sin 32 2
,
直线 l 的直角坐标方程为 3 3 0x y ;
设点 ,P x y 在曲线 1C 上,点 ,Q x y 为坐标变换后点 ,P x y 的对应点,
- 23 -
则
1
2
2
x x
y y
,
2
2
2
22 116 2
y
x
,化简得 2 2 4x y ,
曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 4x y ;
(2)由题意点 (1,0)P 在直线l 上,
则直线l 的参数方程为
11 2
3
2
x t
y t
,(t 为参数),
将直线l 的参数方程代入曲线 2C 的直角坐标方程可得: 2 3 0t t , 1 12 13 0 ,
则 1A Bt t , 3 0A Bt t ,
2 41 1 1 1 13
3
A B A BA B A B
A B A B A B A B
t t t tt t t t
PA PB t t t t t t t t
.
【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化,考查了直线参数方程 t
的几何意义的应用,属于中档题.
23.已知函数 ( ) ln( 1 2 )f x x x m .
(1)当 2m 时,求函数 ( )y f x 的定义域;
(2)己知函数 ( )f x 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) 3| 2x x
(2) 3m
【解析】
【分析】
(1)由题意,分类讨论求解不等式| 1| | 2| 2x x ,即可得解;
(2)转化条件得 | 1| | 2|m x x 恒成立,由绝对值三角不等式求得| 1| | 2 |x x 的最
小值即可得解.
【详解】(1)当 2m 时,由题意可得| 1| | 2| 2x x ,
所以 2
1 2 2
x
x x
或 2 1
1 2 2
x
x x
或 1
1 2 2
x
x x
,解得 3
2x ,
- 24 -
所以函数 ( )y f x 的定义域为 3| 2x x
;
(2)由题意可得| 1| | 2| 0x x m 恒成立即 | 1| | 2|m x x 恒成立,
又因为 | 1| | 2| | 2| | 1| | 2 1 | 3x x x x x x ,
当且仅当 1x 时,等号成立.
所以实数 m 的取值范围为 3m .
【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用,考查了运算求解能力,
属于中档题.
- 25 -
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