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- 2021-06-11 发布
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第2课时 排列的综合应用
学习目标:1.进一步理解排列的概念,掌握一些排列问题的常用解决方法.(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题.(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1.排列数公式
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
=(n,m∈N*,m≤n)
A=n·(n-1)·(n-2)·…·2·1=n!(叫做n的阶乘)
另外,我们规定0!=1.
2.排列应用题的最基本的解法
(1)直接法:以元素为考察对象,先满足特殊元素的要求,再考虑一般元素(又称元素分析法);或以位置为考察对象,先满足特殊位置的要求,再考虑一般位置(又称位置分析法).
(2)间接法:先不考虑附加条件,计算出总排列数,再减去不合要求的排列数.
3.解简单的排列应用题的基本思想
[基础自测]
1.从n个人中选出2个,分别从事两项不同的工作,若选派的种数为72,则n的值为( )
A.6 B.8
C.9 D.12
C [由A=72,得n(n-1)=72,解得n=9(舍去n=-8).]
2.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
【导学号:95032035】
48 [从2,4中取一个数作为个位数字,有2种取法;再从其余四个数中取出三个数排在前三位,有A种排法.由分步乘法计数原理知,这样的四位偶数共有2×A=48个.]
3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有________种.
24 [把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,共A=24种.]
7
4.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三种不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有________种.
186 [可选用间接法解决:先求出从7人中选出3人的方法数,再求出从4名男生中选出3人的方法数,两者相减即得结果.A-A=186(种).]
[合 作 探 究·攻 重 难]
无限制条件的排列问题
(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
(2)有5种不同的书(每种不少于3本),要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?
【导学号:95032036】
[思路探究] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题;(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本,各人得到哪本书相互之间没有联系,要用分步乘法计数原理进行计算.
[解] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是A=5×4×3=60,所以共有60种不同的送法.
(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同方法种数是5×5×5=125,所以共有125种不同的送法.
[规律方法]
1.没有限制的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可.
2.对于不属于排列的计数问题,注意利用计数原理求解.
[跟踪训练]
1.将3张电影票分给10人中的3人,每人1张,共有________种不同的分法.
720 [问题相当于从10个人中选出3个人,然后进行全排列,这是一个排列问题.故不同分法的种数为A=10×9×8=720.]
排队问题
有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置.
(2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边.
(3)全体排成一行,其中男生必须排在一起.
7
(4)全体排成一行,男、女各不相邻.
(5)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.
(6)排成前后二排,前排3人,后排4人.
【导学号:95032037】
[思路探究] 分析题意,确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素
[解] (1)元素分析法:甲为特殊元素,故先安排甲,左、右、中共三个位置可供甲选择.有A种,其余6人全排列,有A种.由分步乘法计数原理得AA=2 160种.
(2)位置分析法:先排最左边,除去甲外,有A种,余下的6个位置全排列有A种,但应剔除乙在最右边的排法数AA种.则符合条件的排法共有AA-AA=3 720种.
(3)捆绑法:将男生看成一个整体,进行全排列有A种排法,把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A种排法,共有AA=720种.
(4)插空法:先排好男生,然后将女生插入排男生时产生的四个空位,共有AA=144种.
(5)定序排列用除法:第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N,第二步,对甲、乙、丙进行全排列,则为七个人的全排列,因此有A=N×A,∴N==840种.
(6)分排问题直接法:由已知,7人排在7个位置,与无任何限制的排列相同,有A=5 040种.
注意:解(6)时易出现AA的错误,其主要原因是排列的概念理解不深刻.
[规律方法]
1.排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置,可采用位置分析法或元素分析法进行排列.对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住.
2.元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件
解题策略
元素相邻
通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看做一个整体参与其他元素排列
元素
不相邻
通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中
[跟踪训练]
2.有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间,乙必在两端;
(2)甲不在左端,乙不在右端;
(3)男、女生分别排在一起;
(4)男女相间;
7
(5)男生不全相邻.
[解] (1)优先安排特殊元素.乙的站法有2种,甲的站法有7种,其余随便站,共有:
2×7×A=70 560种
(2)按甲在不在右端分类讨论.
甲站右端的有:A种;甲不在右端的有:7×7×A种;
共有:A+7×7×A=A×(8+49)=287 280种.
(3)(捆绑法)A·A·A=5 760种.
(4)(插空法)先排4名男生有A种方法,再将5名女生插空,有A种方法,故共有A·A=2 880种排法.
(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况,有A-A·A=345 600种.
数字排列问题
[探究问题]
1.偶数的个位数字有何特征?从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数?
[提示] 偶数的个位数字一定能被2整除.先从2,4中任取一个数字排在个位,共2种不同的排列,再从剩余数字中任取一个数字排在十位,共4种排法,故从1,2,3,4,5中任取两个数字,能组成2×4=8(种)不同的偶数.
2.在一个三位数中,身居百位的数字x能是0吗?如果在0~9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数,如何排才能使百位数字不为0?
[提示] 在一个三位数中,百位数字不能为0,在具体排数时,从元素0的角度出发,可先将0排在十位或个位的一个位置,其余数字可排百位、个位(或十位)位置;从“位置”角度出发可先从1~9这9个数字中任取一个数字排百位,然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置.
用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)六位奇数?
(2)个位数字不是5的六位数?
(3)不大于4310的四位偶数.
【导学号:95032038】
[思路探究] 这是一道有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外,还可以用间接法求解.
[解] (1)法一:从特殊位置入手(直接法)分三步完成,第一步先填个位,有A种填法,第二步再填十万位,有A种填法,第三步填其他位,有A种填法,故共有AAA=288(个)六位奇数.
7
法二:从特殊元素入手(直接法)
0不在两端有A种排法,从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有A种排法,故共有AAA=288(个)六位奇数.
法三:排除法
6个数字的全排列有A个,0,2,4在个位上的六位数为3A个,1,3,5在个位上,0在十万位上的六位数有3A个,故满足条件的六位奇数共有A-3A-3A=288(个).
(2)法一:排除法
0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个,0在十万位且5在个位的六位数有A个.
故符合题意的六位数共有A-2A+A=504(个).
法二:直接法
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同.因此需分两类:
第一类:当个位排0时,符合条件的六位数有A个.
第二类:当个位不排0时,符合条件的六位数有AAA个.
故共有符合题意的六位数A+AAA=504(个).
(3)用直接法
①当千位上排1,3时,有A·A·A个.
②当千位上排2时,有A·A个.
③当千位上排4时,形如40××,42××的各有A个;形如41××的有A·A个,形如43××的只有4 310和4 302这两个数.
故共有A·A·A+A·A+2A+A·A+2=110(个).
母题探究:1.本例条件不变,能组成多少个能被5整除的五位数?
[解] 个位上的数字必须是0或5.若个位上是0,则有A个;若个位上是5,若不含0,则有A个;若含0,但0不作首位,则0的位置有A种排法,其余各位有A种排法,故共有A+A+AA=216(个)能被5整除的五位数.
2.本例条件不变,若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an},则240 135是第几项?
[解] 由于是六位数,首位数字不能为0,首位数字为1有A个数,首位数字为2,万位上为0,1,3中的一个有3A个数,所以240 135的项数是A+3A+1=193,即240 135是数列的第193项.
[规律方法] 解排数字问题常见的解题方法
1.“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.
7
2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行,要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏.
3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.
4.“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1.6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为( )
A.36 B.120
C.720 D.240
C [由于6人排两排,没有什么特殊要求的元素,故排法种数为A=720.]
2.6位选手依次演讲,其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( )
A.240种 B.360种
C.480种 D.720种
C [先排甲,有4种方法,剩余5人全排列,有A=120种,所以不同的演讲次序有4×120=480种.]
3.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数,要求在其偶数位上必须是偶数,奇数位上必须是奇数,则这样的七位数有________个.
144 [先排奇数位有A种,再排偶数位有A种,故共有AA=144个.]
4.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为________.
24 [分3步进行分析,①先安排两位爸爸,必须一首一尾,有A=2种排法,②两个小孩一定要排在一起,将其看成一个元素,考虑其顺序有A=2种排法,③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列,有A=6种排法.
则共有2×2×6=24种排法.]
5.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,问共有多少种参赛方案?
[解] 法一:从运动员(元素)的角度考虑,优先考虑甲,分以下两类:
第1类,甲不参赛,有A种参赛方案;
第2类,甲参赛,可优先将甲安排在第二棒或第三棒,有2种方法,然后安排其他3棒,有A种方法,此时有2A种参赛方案.
由分类加法计数原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A+2A=240种.
7
法二:从位置(元素)的角度考虑,优先考虑第一棒和第四棒,则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人,有A种方法;其余两棒从剩余4人中选,有A种方法.
由分步乘法计数原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA=240种.
7
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