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- 2021-06-11 发布
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课 题:4.1 角的概念推广(一)
教学目的:
1.掌握用“旋转”定义角的概念,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3.体会运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念;
教学重点:理解并掌握正角负角零角的定义,掌握终边相同的角的表示方法.教学难点:终边相同的角的表示.
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念,终边相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解推广后的角的概念. 教学方法方法可以选为讨论法,通过实际问题,教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确“规定”的实际意义,突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题,让学生从不同角度作答,理解终边相同的角的概念,并给以表示,从特殊到一般,归纳出终边相同的角的表示方法,达到突破难点之目的.
教学过程:
一、复习引入:
1.复习:初中是如何定义角的?
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形
这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它是从图形形状来定义角,因此角的范围是,这种定义称为静态定义,其弊端在于“狭隘”
2.生活中很多实例会不在改范围
体操运动员转体720º,跳水运动员向内、向外转体1080º
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度?
这些例子不仅不在范围,而且方向不同,有必要将角的概念推广到任意角,想想用什么办法才能推广到任意角?(运动)
二、讲解新课:
1.角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点O叫做角α的顶点.
突出“旋转” 注意:“顶点”“始边”“终边”
⑵.“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°,
特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零角.记法:角或 可以简记成
⑶意义
用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了
1° 角有正负之分 如:a=210° b=-150° g=660°
2° 角可以任意大
实例:体操动作:旋转2周(360°×2=720°) 3周(360°×3=1080°)
3° 还有零角 一条射线,没有旋转
角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意,正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯,就好象与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好象数零无正负一样.
2.“象限角”
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点,角的始边合于轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限)
例如:30°、390°、-330°是第Ⅰ象限角,300°、-60°是第Ⅳ象限角,585°、1180°是第Ⅲ象限角,-2000°是第Ⅱ象限角等
3.终边相同的角
⑴观察:390°,-330°角,它们的终边都与30°角的终边相同
⑵探究:终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和:
390°=30°+360°
-330°=30°-360°
30°=30°+0×360°
1470°=30°+4×360°
-1770°=30°-5×360°
⑶结论:所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合:
即:任何一个与角a终边相同的角,都可以表示成角a与整数个周角的和
⑷注意以下四点:
(1)
(2) a是任意角;
(3)与a之间是“+”号,
如-30°,应看成+(-30°);
(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.
三、讲解范例:
例1 在0到360度范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限的角
解:⑴∵-120º=-360º+240º,
∴240º的角与-140º的角终边相同,它是第三象限角.
⑵∵640º=360º+280º,
∴280º的角与640º的角终边相同,它是第四象限角.
⑶∵-950º12’=-3360º+129º48’,
∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同,它是第三象限角.
例2写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在间的角写出来:
解:(1)
S中在-360°~720间的角是
-1×360°+60°=-280°;
0×360°+60°=60°;
1×360°+60°=420°.
(2)
S中在-360°~720间的角是
0×360°-21°=-21°;
1×360°-21°=339°;
2×360°-21°=699°.
(3)
S中在-360°~720°间的角是
-2×360°+363º14’=-356º46’;
-1×360°+363º14’=3º14’;
0×360°+363º14’=363º14’.
四、课堂练习:
1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都是锐角?小于90°的角是锐角吗?0°~90°的角是锐角吗?
(答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定是锐角;小于90°的角可能是零角或负角,故它不一定是锐角;0°~90°的角可能是零角,故它也不一定是锐角.)
总结有关角的集合表示.
锐角:{θ|0°<θ<90°},
0°~90°的角:{θ|0°≤θ≤90°};
小于90°角:{θ|θ<90°}.
2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的正半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?
(1)420°,(2)-75°,(3)855°,(4)-510°.
(答:(1)第一象限角,(2)第四象限角,(3)第二象限角,(4)第三象限角)
五、小结 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念,象限角的概念,要注意如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.本节课重点是学习终边相同的角的表示法.严格区分“终边相同”和“角相等”;“轴线角”“象限角”和“区间角”;“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.
六、课后作业:
1.下列命题中正确的是( )
A.终边在y轴非负半轴上的角是直角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同
2.与120°角终边相同的角是( )
A.-600°+k·360°,k∈Z B.-120°+k·360°,k∈Z
C.120°+(2k+1)·180°,k∈Z D.660°+k·360°,k∈Z
3.若角α与β终边相同,则一定有( )
A.α+β=180° B.α+β=0°
C.α-β=k·360°,k∈Z D.α+β=k·360°,k∈Z
4.与1840°终边相同的最小正角为 ,与-1840°终边相同的最小正角是 .
5.今天是星期一,100天后的那一天是星期 ,100天前的那一天是星期 .
6.钟表经过4小时,时针与分针各转了 (填度).
7.在直角坐标系中,作出下列各角
(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°
8.已知A={锐角},B={0°到90°的角},C={第一象限角},D={小于90°的角}.
求A∩B,A∪C,C∩D,A∪D.
9.将下列各角表示为α+k·360°(k∈Ζ,0°≤α<360°)的形式,并判断角在第几象限.
(1)560°24′ (2)-560°24′ (3)2903°15′
(4)-2903°15′ (5)3900° (6)-3900°
参考答案:1.D 2.A 3.C 4.40° 320° 5.三 六 6.-120°-1440°
7.
8.A∩B=A A∪C=C
C∩D={α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,k≤0=
A∪D=D
9.(1)∵560°24′=200°24′+360°
∴560°24′与200°24′终边相同在第三象限
(2)∵-560°24′=159°36′+(-2)·360°
∴-560°24′与159°36′终边相同在第二象限
(3)∵2903°15′=23°15′+8·360°
∴2903°15′与23°15′终边相同在第一象限
(4)∵-2903°15′=336°45′+(-9)·360°
∴-2903°15′与336°45′终边相同在第四象限
(5)∵3900°=300°+10·360°
∴3900°与300°终边相同在第四象限
(6)∵-3900°=60°+(-11)·360°
∴-3900°与60°终边相同在第一象限
七、板书设计(略)
八、课后记:
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