2016年高考数学（理科）真题分类汇编I单元　统计 5页

数 学 I单元　统计 ‎ I1　随机抽样 ‎16．I1，K5[2016·北京卷] A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：‎ A班 ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ B班 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C班 ‎3‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎7.5‎ ‎9‎ ‎10.5‎ ‎12‎ ‎13.5‎ ‎(1)试估计C班的学生人数．‎ ‎(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎(3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)‎ ‎16．解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×＝40.‎ ‎(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1，2，…，5，‎ 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1，2，…，8.‎ 由题意可知，P(Ai)＝，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝，j＝1，2，…，8.‎ P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8.‎ 设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，‎ E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.‎ 因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×＝.‎ ‎(3)μ1<μ0.‎ I2　用样本估计总体 ‎4．I2[2016·上海卷] 某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是________(米)．‎ ‎4．1.76　[解析] 将这6位同学的身高按照从小到大的顺序排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，故答案为1.76.‎ ‎4．I2[2016·江苏卷] 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．‎ ‎4．0.1　[解析] 因为＝5＋‎ ＝5.1，‎ 所以s2＝×(0.42＋0.32＋0.32＋0.42)＝0.1.‎ ‎4．I2[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图11中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(　　)‎ 图11‎ A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 ‎4．D　[解析] 平均最高气温高于20℃的月份有七、八2个月．‎ ‎3．I2[2016·山东卷] 某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图11所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)‎ 图11‎ A．56 B．60‎ C．120 D．140‎ ‎3．D　[解析] 由频率分布直方图得，每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(0.16＋0.08＋0.04)×2.5×200＝140.‎ I3 正态分布 I4　变量的相关性与统计案例 ‎18．I4[2016·全国卷Ⅲ] 图14是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．‎ 图14‎ 注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.‎ ‎(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据：tiyi＝40.17，‎ ‎＝0.55，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数r＝，‎ 回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ＝ ‎ 解：由折线图中数据和附注中参考数据得 r≈≈0.99.‎ 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．‎ ‎(2)由y＝≈1.331及(1)得＝‎ ‎＝≈0.103，‎ ＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.‎ 所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.‎ 将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82，‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．‎ ‎ I5 单元综合 ‎ ‎16．I5[2016·四川卷] 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图13所示的频率分布直方图．‎ 图13‎ ‎(1)求直方图中a的值；‎ ‎(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．‎ ‎16．解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，‎ 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.‎ 由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，‎ 解得a＝0.30.‎ ‎(2)由(1)可知，100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.‎ 故可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.‎ ‎(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，‎ 前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，‎ 所以2.5≤x<3.‎ 由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，‎ 解得x＝2.9.‎ 所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．‎ ‎3．[2016·绵阳诊断] 甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：‎ 甲 乙 丙 丁 平均成绩 ‎86‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎85‎ 方差s2‎ ‎2.1‎ ‎3.5‎ ‎2.1‎ ‎5.6‎ 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是(　　)‎ A. 甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎3．C　[解析] 乙，丙的平均成绩最好，且丙的方差小于乙的方差，所以丙的发挥较稳定，故最佳人选为丙．‎ ‎4．[2016·临沂一中月考] 一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列，若a3＝8且前4项和S4＝28，则此样本的平均数和中位数分别是(　　)‎ A．22，23 B. 23，22‎ C．23，23 D．23，24‎ ‎4．C　[解析] 设公差为d，则a1＋2d＝8且4a1＋6d＝28，即2a1＋3d＝14，解得a1＝4，d＝2，所以中位数是＝a1＋d＝4＋19＝23，平均数是＝a1＋d＝23.‎ ‎5．[2016·邯郸一模] 某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下表数据：‎ 单价x/元 ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y/件 ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－，当单价定为8.3元时，预测销售的件数为(　　)‎ A. 82 B．84 C．86 D．88‎ ‎5．B　[解析] 根据题意，得＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，‎ 因为线性回归方程＝x＋中＝－20，‎ 所以＝－＝80－(－20)×8.5＝250，‎ 所以线性回归方程为＝－20x＋250.‎ 当x＝8.3时，＝－20×8.3＋250＝84，‎ 所以当单价定为8.3元时，预测销售件数为84.‎