2020届高考数学大二轮复习层级二专题七系列4鸭第1讲坐标系与参数方程课时作业选修4-4 4页

第1讲 坐标系与参数方程 限时45分钟　满分50分 解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)‎ ‎1．(2020·惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，直线l1：θ＝(ρ∈R)，直线l2：θ＝(ρ∈R)．以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；‎ ‎(2)若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面积．‎ 解析：(1)依题意，直线l1的直角坐标方程为y＝x，直线l2的直角坐标方程为y＝x.‎ 由ρ＝2cos θ＋2sin θ得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，‎ 所以(x－)2＋(y－1)2＝4，‎ 所以曲线C的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(2)联立得所以|OA|＝4，‎ 同理，|OB|＝2.‎ 又∠AOB＝，‎ 所以S△AOB＝·|OA|·|OB|·sin∠AOB＝×4×2×＝2，‎ 即△AOB的面积为2.‎ ‎2．(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.‎ ‎(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；‎ ‎(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．‎ 解：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.‎ 设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，在Rt△OPQ中，ρcos ＝|OP|＝2.‎ - 4 -‎ 经检验，点P在曲线ρcos ＝2上．‎ 所以，l的极坐标方程为ρcos ＝2.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，则ρ＝4cos θ，‎ 因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.‎ 所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，‎ θ∈.‎ ‎3．(2020·成都摸底)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2(1＋2cos2θ)＝3.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M(1,1)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AM|＋|BM|的值．‎ 解析：(1)由直线l的参数方程消去参数t，得x－1＝(y－1)，‎ 化简，得直线l的普通方程为x－y＋1－＝0.‎ 曲线C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ2cos2θ＝3，‎ ‎∴(x2＋y2)＋2x2＝3，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由题易知，点M在直线l上．‎ 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋2＝1，‎ 化简，得t2＋2t＋＝0，‎ 此时Δ＝＋＞0，‎ 此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.‎ 由根与系数的关系，得t1＋t2＝－，t1t2＝，‎ ‎∴|AM|＋|BM|＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝2＋.‎ ‎4．(2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中α为参数)，曲线C2：(x－1)2＋y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程．‎ - 4 -‎ ‎(2)若射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.‎ 解析：(1)因为曲线C1的参数方程为(其中α为参数)，‎ 所以曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4.‎ 因为曲线C2：(x－1)2＋y2＝1，‎ 所以把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－1)2＋y2＝1，‎ 得到曲线C2的极坐标方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1，化简得ρ＝2cos θ.‎ ‎(2)依题意设A，B，‎ 因为曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－3＝0，‎ 将θ＝(ρ＞0)代入曲线C1的极坐标方程，‎ 得ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3，‎ 同理，将θ＝(ρ＞0)代入曲线C2的极坐标方程，‎ 得ρ2＝，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－.‎ ‎5．(2020·长春模拟)已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ.‎ ‎(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若过点F(1,0)的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围．‎ 解析：(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1，‎ 曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 因为直线l与曲线C2：y2＝4x有两个交点，因此sin α≠0.‎ 联立直线l与曲线C1：＋y2＝1，‎ 可得(1＋sin2α)t2＋2tcos α－1＝0，‎ 则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝，‎ 联立直线l与曲线C2：y2＝4x，‎ 可得t2sin2α－4tcos α－4＝0，‎ 则|FM|·|FN|＝|t3t4|＝，‎ - 4 -‎ 所以＝＝· ‎＝·∈.‎ - 4 -‎