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- 2021-06-11 发布
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文科数学试题 A 第 1 页 共 6 页
秘密 ★ 启用前 试卷类型: A
2020 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
文科数学
本试卷共 6 页,23 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,
用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号,并将试卷类型(A)填涂在答题卡
相应位置上.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在
试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指
定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;
不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 1,2,3,4,5,6,7U , 3,4,5M , 1,3,6N ,则集合 7,2 等于
A. MN B. U MN C. U MN D. NM
2.某地区小学,初中,高中三个学段的学生人数分别为 4800 人,4000 人,2400 人.现采用
分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况,在抽取的样本中,初中学生人
数为 70 人,则该样本的高中学生人数为
A.42 人 B.84 人 C.126 人 D.196 人
3.直线 10kx y 与圆 222 4 1 0x y x y 的位置关系是
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
4.已知函数
ln , 0,()
e , 0,x
xxfx
x
则 1
4ff
的值为
A. 4 B. 2 C.
2
1 D.
4
1
文科数学试题 A 第 2 页 共 6 页
5.已知向量 a 2, 1 , b ,2x,若 ab 2 ab,则实数 x 的值等于
A. 4
9 B. 1
2 C. 9
4 D. 2
6.如图所示,给出的是计算 1 1 1 1
2 4 6 22 的值
的程序框图,其中判断框内应填入的条件是
A. 9i
B. 10i
C. 11i
D. 12i
7.设函数 1( ) 2cos 23f x x
,若对任意 xR 都有 )()()( 21 xfxfxf 成立,则
21 xx 的最小值为
A. 4 B. 2 C. D.
2
8.刘徽是我国古代伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的
数学遗产.刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人,他正确地提出了正负数的概念及其
加减运算的规则.提出了“割圆术”,并用“割圆术”求出圆周率 为3.14.刘徽在割圆
术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”被
视为中国古代极限观念的佳作.其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积,
第二步是求圆的内接正十二边形的面积,„,依次类推.若在圆内随机取一点,则该点取
自该圆内接正十二边形的概率为
A. 33
B.
3 6 2
C. 3
D.
3 6 2
是
否
1ssn 输出 s
结束
开始
2nn
0s , 2n , 1i
1ii
文科数学试题 A 第 3 页 共 6 页
9.已知 1sin cos 5, 0 ,则cos2
A. 7
25 B. 7
25 C. 24
25 D. 24
25
10.已知点 00,P x y 在曲线C : 321y x x 上移动,曲线 在点 P 处的切线的斜率为 k ,
若 1,213k
,则 0x 的取值范围是
A. 75,37
B. 7 ,33
C. 7 ,3
D. 7,9
11.已知O 为坐标原点,设双曲线C :
22
221 0, 0xy abab 的左,右焦点分别为 1F , 2F ,
点 P 是双曲线 上位于第一象限内的点,过点 作 12F PF 的平分线的垂线,垂足为 A ,
若 12 2b F F OA,则双曲线 的离心率为
A. 5
4
B. 4
3
C. 5
3
D. 2
12.在三棱锥 A BCD 中,△ ABD 与△CBD 均为边长为 2 的等边三角形,且二面角
A BD C的平面角为120 ,则该三棱锥的外接球的表面积为
A. 7 B. C.
3
D.
3
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知复数 22i22z ,则 24zz .
14.已知函数 kf x x
x
在区间 0, 上有最小值 4 ,则实数 k .
15.已知直线 a 平面 ,直线b 平面 ,给出下列五个命题:
①若 ∥ ,则 ab ;②若 ⊥ ,则 ;③若 ⊥ ,则 //ab;
④若 ,则 ⊥ ;⑤若 ,则 ∥ ,
其中正确命题的序号是 .
文科数学试题 A 第 4 页 共 6 页
16.如图,在平面四边形 ABCD中,
2BAC ADC ,
6ABC ,
12ADB ,则 tan ACD .
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答.
(一)必考题:共 60 分.
17.(12 分)
已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,且满足 nn Sna ,设 1 nn ab .
(1)求 1a , 2a , 3a ;
(2)判断数列 nb 是否是等比数列,并说明理由;
(3)求数列 na 的前 n 项和 nS .
18.(12 分)
如图 1,在边长为 2 的等边△ ABC 中, D ,E 分别为边 AC , AB 的中点.将△ ADE
沿 DE 折起,使得 AB AD ,得到如图 2 的四棱锥 A BCDE ,连结 BD ,CE ,且 与
交于点 H .
(1)证明: AH BD ;
(2)设点 B 到平面 AED 的距离为 1h ,点 E 到平面 ABD 的距离为 2h ,求 1
2
h
h
的值.
D
CB
A
图2图1
B C
DE
H
A
B C
DE
A
文科数学试题 A 第 5 页 共 6 页
19.(12 分)
某种昆虫的日产卵数和时间变化有关,现收集了该昆虫第 1 天到第 5 天的日产卵数据:
第 x 天 1 2 3 4 5
日产卵数 y(个) 6 12 25 49 95
对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.
5
1
i
i
x
5
2
1
i
i
x
5
1
ln i
i
y
5
1
lnii
i
xy
15 55 15.94 54.75
(1)根据散点图,利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数 y 关于 x 的回归方程为 e a bxy
(其中 e 为自然对数的底数),求实数 a ,b 的值(精确到 0.1);
(2)根据某项指标测定,若产卵数在区间 68e ,e 上的时段为优质产卵期,利用(1)的
结论,估计在第 6 天到第 10 天中任取两天,其中恰有 1 天为优质产卵期的概率.
附:对于一组数据 11,v , 22,v ,„ , ,nnv ,其回归直线 =+v 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为 1
22
1
ˆ=
n
ii
i
n
i
i
v nv
v nv
, ˆˆ .v
y
x
文科数学试题 A 第 6 页 共 6 页
20.( 12 分)
已知 M 过点 A 3,0 ,且与 N : 2 23 16xy 内切,设 的圆心 M 的
轨迹为曲线C .
(1)求曲线 的方程;
(2)设直线l 不经过点 0,1B 且与曲线 相交于 P ,Q 两点.若直线 PB 与直线QB 的
斜率之积为 1
4 ,判断直线l 是否过定点,若过定点,求出此定点坐标;若不过定点,请说明
理由.
21.( 12 分)
已知函数 ( ) ( )e ( 0)bxf x x a b 的最大值为 1
e
,且曲线 )(xfy 在 0x 处的切线与
直线 2 xy 平行(其中 e 为自然对数的底数).
(1)求实数 a ,b 的值;
(2)如果 120 xx,且 )()( 21 xfxf ,求证: 1233xx.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一
题计分.
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为
3,
12
xt
yt
(t 为参数),曲线 2C 的
参数方程为
3 ,cos
3 tan
x
y
( 为参数,且 ,22
).
(1)求曲线 1C 和 2C 的普通方程;
(2)若 A , B 分别为曲线 1C , 2C 上的动点,求 AB 的最小值.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
已知函数 36f x x x a , aR .
(1)当 1a 时,解不等式 3)( xf ;
(2)若不等式 ( ) 11 4f x x对任意 34, 2x
恒成立,求实数 a 的取值范围.
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