浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第8节正弦定理和余弦定理及其应用课件 42页

第 8 节　正弦定理和余弦定理及其应用 考试要求　 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 . 知 识 梳 理 1 . 正、余弦定理 在 △ ABC 中，若角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， R 为 △ ABC 外接圆半径，则 b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C 2 R sin B 2 R sin C sin A ∶ sin B ∶ sin C 2. S △ ABC ＝ ab sin C ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ＝ ( a ＋ b ＋ c )· r ( r 是三角形内切圆的半径 ) ，并可由此计算 R ， r . 3. 在 △ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时，解的情况如下：   A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝ b sin A b sin A < a < b a ≥ b a > b a ≤ b 解的个数 _____ _____ _____ _____ _____ 一解 两解 一解 一解 无解 [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角时，有时出现一解、两解或无解的情况，所以要进行分类讨论 ( 此种类型也可利用余弦定理求解 ). 2. 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 .( 　　 ) (2) 在 △ ABC 中，若 sin A >sin B ，则 A > B .( 　　 ) (3) 在 △ ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素 .( 　　 ) (4) 当 b 2 ＋ c 2 － a 2 >0 时， △ ABC 为锐角三角形；当 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ 0 时， △ ABC 为直角三角形；当 b 2 ＋ c 2 － a 2 <0 时， △ ABC 为钝角三角形 .( 　　 ) (5) 在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积 .( 　　 ) 解析　 (1) 三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比 . (3) 已知三角时不可求三边 . (4) 当 b 2 ＋ c 2 － a 2 >0 时， A 为锐角，但 B 、 C 不一定为锐角， △ ABC 不一定为锐角三角形 . 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 答案　 A 3. ( 必修 5P10B2 改编 ) 在 △ ABC 中， a cos A ＝ b cos B ，则这个三角形的形状为 ________. 答案　 等腰三角形或直角三角形 化简得 a 2 ＝ 3 bc ； 5. (2019· 杭州质检 ) 设 a ， b ， c 分别为 △ ABC 的三边长，若 a ＝ 3 ， b ＝ 5 ， c ＝ 7 ，则 cos C ＝ ________ ； △ ABC 的外接圆半径等于 ________. 考点一　利用正、余弦定理解三角形 (3) (2019· 浙江卷 ) 在 △ ABC 中， ∠ ABC ＝ 90° ， AB ＝ 4 ， BC ＝ 3 ，点 D 在线段 AC 上 . 若 ∠ BDC ＝ 45° ，则 BD ＝ ________ ， cos ∠ ABD ＝ ________. 由 ∠ ABC ＝ ∠ ABD ＋ ∠ CBD ＝ 90° ，可得 cos ∠ ABD ＝ cos(90° － ∠ CBD ) ＝ sin ∠ CBD ＝ sin[π － ( C ＋ ∠ BDC )] ＝ sin( C ＋ ∠ BDC ) ＝ sin C ·cos ∠ BDC ＋ cos C ·sin ∠ BDC 考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 【例 2 】 ( 经典母题 ) 设 △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 b cos C ＋ c cos B ＝ a sin A ，则 △ ABC 的形状为 ( 　　 ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 变式迁移 答案　 B 【变式迁移 1 】 ( 一题多解 ) 将本例条件变为 “ 若 2sin A cos B ＝ sin C ” ，那么 △ ABC 一定是 ( 　　 ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析　法一　 由已知得 2sin A cos B ＝ sin C ＝ sin( A ＋ B ) ＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ，即 sin( A － B ) ＝ 0 ，因为－ π< A － B <π ，所以 A ＝ B . 答案　 B 【变式迁移 2 】 ( 一题多解 ) 将本例条件变为 “ 若 a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝ ab ，且 2cos A sin B ＝ sin C ” ，试确定 △ ABC 的形状 . 解　法一 　利用边的关系来判断： 即 c 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － a 2 ，所以 a 2 ＝ b 2 ，所以 a ＝ b . 又 ∵ a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝ ab . ∴ 2 b 2 － c 2 ＝ b 2 ，所以 b 2 ＝ c 2 ， ∴ b ＝ c ， ∴ a ＝ b ＝ c . ∴△ ABC 为等边三角形 . 法二　 利用角的关系来判断 ： ∵ A ＋ B ＋ C ＝ 180° ， ∴ sin C ＝ sin( A ＋ B ) ， 又 ∵ 2cos A sin B ＝ sin C ， ∴ 2cos A sin B ＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ， ∴ sin( A － B ) ＝ 0 ， 又 ∵ A 与 B 均为 △ ABC 的内角 ，所以 A ＝ B . 又由 a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝ ab ， 又 0°< C <180° ，所以 C ＝ 60° ， ∴△ ABC 为等边三角形 . 由已知得 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ， ∴△ ABC 是等边三角形 . 考点三　三角形面积问题 整理得 2sin B cos A ＝ cos C sin A ＋ sin C cos A ， 即 2sin B cos A ＝ sin( A ＋ C ) ， 而 A ＋ C ＝ π － B ，所以 2sin B cos A ＝ sin B ， (2) 根据余弦定理，得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ＝ ( b ＋ c ) 2 － 2 bc － 2 bc cos A ， 考点四　与三角形有关的最值 ( 范围 ) 问题 角度 1 　利用不等式求解 【例 4 － 1 】 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 a sin A ＋ b sin B ＝ 2 c sin C ，则角 C 的最大值为 ________ ；若 c ＝ 2 a ＝ 2 ，则 △ ABC 的面积为 ________. 多维探究 角度 2 　利用函数性质求解 角度 3 　利用图形求解 【例 4 － 3 】 已知 △ ABC 是边长为 3 的等边三角形，点 D 为 BC 边上一点且 BD ＝ 1 ， E ， F 分别为边 CA ， AB 上的点 ( 不包括端点 ) ，则 △ DEF 周长的最小值为 ________ ，此时 △ BDF 的面积为 ________. 解析　 设 D 关于直线 AB 的对称点为 M ，关于 AC 的对称点为 N ，连接 MN ，分别与 AB ， AC 交于点 F ， E ，则 △ DEF 周长的最小值为 MN .