高中同步数学教案第4章 幂函数、指数函数、对数函数 66页

‎ 第四章：幂函数、指数函数和对数函数 ‎4、1 幂函数的图像与性质 ‎1、幂函数的概念 一般地，函数为常数，）叫做幂函数。‎ 思考：（1）在我们学过的函数中，有哪些是幂函数？举例说明。‎ ‎、、、、‎ ‎(2)下列函数是否为幂函数：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）。‎ ‎2、幂函数的图像 画幂函数图像分两步：‎ ‎（1）画出幂函数在第一象限的图像（如图）‎ ‎（2）由定义域和奇偶性画出幂函数在其它象限的图像。‎ 例1、分别画出下列幂函数的大致图像。‎ ‎（1）； （2）； （3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）； （7）； （8）‎ ‎（9）； （10）； （11）。‎ ‎3、幂函数的性质：‎ ‎（1）幂函数的图像恒过点；‎ ‎（2）当时，幂函数在区间是上增函数；‎ ‎ 当时，幂函数在区间上是减函数。‎ 例2、已知幂函数是偶函数，且在区间上是单调增函数。求整数的值，并作出相应幂函数的大致图像。‎ 解：（舍去），或，图像略。‎ 例3、分别画出下列函数的大致图像。‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）。‎ 例4、设，正数满足：，则之间的大小关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。‎ O 解：在同一坐标系内作出函数 的图像，‎ 与直线相交，得交 点的横坐标分别为。由图像 可以得出：。‎ 例5、解不等式：（1）；　　（2）。‎ 解：（1）考察幂函数，定义域为，在与上函数都是减函数，且时，当时。‎ 由函数的图像可以得到：‎ ‎①　或②　或 ‎③。‎ 解得：或。所以不等式 的解集为。‎ ‎（2）在同一坐标系中作出函数与的 图像。两函数的图像在第一象限内有交点，‎ 所以不等式的解集为。‎ 例6：设函数，研究函数的基本性质。‎ 解：，‎ 则函数的图像可以由幂函数的图像变化得到：‎ 先将的图像向左平移2个单位，得到，‎ 再向上平移1个单位，即得到的图像。‎ 函数的定义域为；‎ 值域为，不存在最大值与最小值；‎ 函数图像关于直线对称，是非奇非偶函数；‎ 在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数。‎ 例7：已知函数是定义域在上的非常值函数，且对于任意的实数 满足：。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：对于任意的，；‎ ‎（3）若当时，，求证：函数在上是增函数。‎ 解：（1）在中令得：，‎ 所以或。若，对于，‎ ‎，所以，‎ ‎ 与是非常值函数矛盾。所以。‎ 在中令得：，‎ 所以或，若，则对于任意的，‎ 恒成立，‎ 与是非常值函数矛盾，所以。‎ ‎（2）对于任意的，则，‎ 若存在使得，则对于任意的，‎ ‎，与是非常值函数矛盾。‎ 所以对于，，知。‎ ‎（3）设，且，由（2）知，‎ ‎＝，因为，则，‎ 所以，即，所以，‎ 知是上的增函数。‎ 讲评：导学先锋 练习巩固：‎ ‎1、写出幂函数与的基本性质。‎ ‎2、函数的定义域为＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、已知是幂函数，且，则的解析式为＿＿＿＿；‎ ‎4、若函数在上单调递减，则的最大负整数的值为＿＿＿＿＿；‎ ‎5、幂函数的幂指数，若集合的值域为，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿；若集合的定义域为，那么＿＿＿＿＿＿＿＿；若集合的定义域与值域相同｝，则＿＿＿＿；‎ ‎6、已知，函数的图像关于原点成中心对称且与两坐标轴都无公共点，则的值组成的集合为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎7、下列命题中正确的是（　　）‎ A、当时，幂函数的图像是一条直线；‎ B、幂函数的图像都经过与两点；‎ C、若幂函数是奇函数，则在定义域内是增函数；‎ D、幂函数的图像不经过第四象限。‎ ‎8、已知幂函数是互质的整数）的图像关于轴对称，且在是是减函数，则满足（　　）‎ A、且为奇数，为偶数；　　　　　　B、且为奇数，为偶数；‎ C、且为偶数，为奇数；　　　　　　D、且为偶数，为奇数。‎ 作业研究：‎ ‎1、对于幂函数，当时，，则有理数的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、若函数是幂函数，则该幂函数的解析式为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、已知幂函数的图像经过点，试求此函数的解析式，并写出这的定义域、值域，判断它的奇偶性，写出单调区间。‎ ‎4、已知幂函数是偶函数，且在区间上是单调减函数。‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）讨论函数的奇偶性。‎ ‎5、已知函数。‎ ‎（1）当为何值时，方程有解？‎ ‎（2）探讨函数与的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（3）写出函数的单调区间（不要求证明）；‎ ‎（4）分别计算的值，由此概括出涉及函数与的对所有非零实数成立的一个等式，并证明。‎ ‎6、利用幂函数的性质，分别求下列各式中实数的取值范围：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎7、奇函数的图像的对称中心是。‎ ‎（1）利用幂函数的图像变换作出函数的图像，并写出此函数图像的对称中心坐标与单调区间；‎ ‎（2）进一步研究：函数的图像是否是中心对称图形？若是，请写出它的对称中心坐标。‎ ‎8、作出函数的图像，并根据图像讨论方程的解的个数。‎ ‎9、对于函数，甲、乙、丙三位同学分别给出了函数的三个不同性质：‎ 甲：函数的值域为；乙：若，则一定有；丙：若规定，则对于任意恒成立。你认为正确的结论有（　　）‎ A、0个；　　　　B、1个；　　　　　C、2个；　　　　　　D、3个。‎ 作业：《课课精练》‎ 作业：《每周一练》（12）‎ ‎4、2 指数函数的图像与性质 ‎1、指数运算法则：‎ ‎　　初中阶段我们学习过指数运算法则：‎ 当指数从有理数推广到实数以后，指数的运算法则仍然成立。即 ‎2、指数函数的定义：‎ 一般地，函数叫做指数函数。‎ 其中是自变量，函数的定义域是R。‎ 注意：‎ ‎（1）规定底数且。‎ ‎（2）指数函数与幂函数的区别：指数函数的变量是指数，幂函数的变量是底数。‎ ‎3、指数函数的图像 ‎4、指数函数的性质：‎ 性质1：定义域为， 值域为。‎ 性质2：图像经过点。‎ 性质3：当时，函数在R上是增函数，‎ ‎ 当时，函数在R上是减函数。‎ 性质4：对于函数，‎ 当时，；当时，；‎ ‎ 对于函数，‎ 当时，，当时，。‎ 例1：不通过求值，比较下列各组中两个数的大小：‎ ‎（1）和；（2）和；（3）与。‎ 解：（1）因为指数函数在上是增函数，又，所以；‎ ‎（2）因为指数函数在上是减函数，又，所以；‎ ‎（3）因为指数函数在上是减函数，所以，又由幂函数在上是增函数，所以，因此。‎ 例2：已知，给出下列四个不等式：‎ ‎（1）；　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　（4）。‎ 其中正确的不等式的题号为 。‎ 解：（1）因为指数函数是减函数，，所以；‎ ‎（2）指数函数是增函数，，幂函数在上是增函数，所以，所以；‎ ‎（3），指数函数是减函数，所以；‎ ‎（4）指数函数是减函数，又，所以，又幂函数在上是增函数，，所以，根据不等式的传递性有：。‎ 综上知不等式（2）（4）正确。‎ 例3：（1）如图是指数函数、、、的图像，则按从小到大排列为 ；‎ ‎（2）函数的图像经过定点的坐标为 ；‎ ‎（3）若函数是上的减函数，则实数的取值范围为 ；‎ ‎（4）函数的单调递增区间为 ；函数的单调递增区间为 。‎ 解：（1）‎ ‎（2）；‎ ‎（3） 或；‎ ‎（4）；。‎ 例4：已知函数是偶函数，求实数的值。‎ 解：用定义，。‎ 例5：已知函数。‎ ‎（1）求的定义域，并判断的奇偶性；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）求的值域。‎ 解：（1）定义域为，奇函数；‎ ‎（2）在；‎ ‎（3）。‎ 例6：分别画出下列函数的大致图像。‎ ‎（1）； （2）； （3）。‎ 例7：求下列函数值域 ‎（1）； （2）；‎ ‎（3） （4）。‎ 解：（1）；（2）；（3）；（4）。‎ 例8：（1）若函数的图像不经过第三象限，‎ ‎ 则实数的取值范围是＿＿＿＿；‎ ‎（2）关于的方程 ‎ 实数解的个数为 。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）。‎ 例9：求函数的值域。‎ 解：时，；时，无最小值。‎ 例10：已知函数且在区间上的最大值为，求实数的值。‎ 解：设，由，则。‎ ‎（1）当时，，在上是增函数，则当时，有最大值，则；‎ ‎（2）当时，，在上是增函数，则时，有最大值，则。‎ 综上知：或。‎ 例11：讨论关于的方程的根的个数。‎ 解：设，则，所以方程转化为，---（1）‎ 即。又，作函数的图像：‎ 由图像可以看出：（1）当或时，方程（1）无解，所以原方程无解；‎ ‎。‎ ‎（2）当或时，方程（1）有一解且不为，所以原方程有两解；‎ ‎（3）当时，方程（1）有一解，所以原方程有一解；‎ ‎（4）当时，方程（1）有两解，所以原方程有四解。‎ 例12：已知函数。‎ ‎（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围。‎ ‎（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围。‎ 解：（1）定义法，，。‎ ‎（2）令，则方程有解，或，可得。‎ 例13：已知实数满足，求的最小值及相应的的值。‎ 解：方法一：由，则，‎ ‎ ，当且仅当，‎ ‎ 即时等号成立，所以当时，的最小值为。‎ 方法二：，‎ ‎ 当即，时，的最小值为。‎ ‎ 例14：银行一年期定期储蓄年利率为，如果存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及的利息（利息须交纳利息税，由银行代交）自动转存一年期定期储蓄。‎ ‎（1）某人以一年期定期储蓄存入银行万元，问年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为多少？（精确到元）‎ ‎（2）设本金为元，年利率为，交纳利息税后的本利和为，写出随存入年数变化的函数式。‎ 解：（1）。‎ ‎（2）。‎ 例15：（2003年高考上海题22）已知集合M是满足下列性质的函数的全体。存在非零常数T，对于任意的，有成立。‎ ‎（1）函数是否属于集合M？说明理由；‎ ‎（2）设函数的图像与的图像有公共点，证明：。‎ 解：（1）若属于集合，则对于，存在不等于零的常数，使得成立。即对于恒成立，取，则，矛盾。所以函数不属于集合M。‎ ‎（2）由函数的图像与的图像有公共点，则方程有解，不妨设此解为，显然，且，成立，即成立，所以函数。‎ 例16：已知函数是定义在R上的非常值函数，且对于任意实数，成立。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证对于任意的，；‎ ‎（3）若，求证：函数是R上的增函数。‎ 解：（1）令，则，得或。若，则对于任意的，恒成立，与函数是非常值函数矛盾。所以。‎ ‎（2）对于任意的，若存在使得，则对于任意的恒成立，与题设矛盾。‎ 所以，即恒成立。‎ ‎（3）设，且，‎ 则，‎ 又，所以，即，‎ 由（2）知，所以。‎ 函数是R上的增函数。‎ 作业研究：‎ ‎1、求下列函数的定义域：‎ ‎（1）；　　　　　（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎2、设，求的值。‎ ‎3、已知，化简。‎ ‎4、函数的值域是＿＿＿＿＿；‎ ‎5、函数的图像与的交点个数有＿＿＿＿；‎ ‎6、函数的单调递增区间为＿＿＿＿＿；‎ ‎7、设，则函数的最小值为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎8、不论为何值，函数的图像必定经过的定点坐标为＿＿；‎ ‎9、函数，不等式的解集为＿＿＿＿＿；‎ ‎10、若函数是奇函数，则实数的值为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎11、若函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是＿＿；‎ ‎12、若把函数的图像向左、向下分别平移2个单位得到函数的图像，则函数的解析式为＿＿＿＿＿。‎ ‎13、已知函数在区间上的最大值比最小值大，求的值。‎ ‎14、求下列函数的单调区间与值域：‎ ‎（1）；　　　　（2）。‎ ‎15、已知关于的方程存在正根，求实数的取值范围。‎ ‎16、已知。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的值。‎ ‎17、已知函数。‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）求函数的值域；‎ ‎（3）证明函数是上的增函数。‎ ‎18、已知函数。‎ ‎（1）判断函数在区间上的单调性，并证明；‎ ‎（2）问：是否存在负实数，使？说明理由。‎ 作业：《导学先锋》‎ 作业：《导学先锋》‎ ‎4.3 对数的概念及运算 ‎1、先看下面的问题：假设2012年我国的国民生产总值是亿元，如果每年的平均增长率是，那么经过多少年国民生产总值是2012年的2倍（即翻一番）？‎ 假设经过年国民生产总值是2012年的2倍，根据题意有：‎ ‎，即。‎ 如何求出的值？怎样表示出呢？‎ 这是已知底数和幂的值，求指数的问题，这就是要学习的对数问题。‎ ‎2、对数的概念：‎ 一般地：如果，那么叫做以为底的对数，记作：‎ 其中 叫做对数的底数，叫做对数的真数。‎ ‎3、指数式与对数式的互化：‎ ‎（其中，，）‎ ‎4、对数的性质：‎ ‎（1），即零和负数没有对数。‎ ‎（2）1的对数为零，底数的对数等于1。即。‎ ‎（3）对数恒等式：。‎ ‎5、常用对数与自然对数：‎ 通常将以10为底的对数叫做常用对数。的常用对数记作。‎ 另外在科学技术中，常使用无理数为底的对数，以为底的对数叫做自然对数。记为。‎ 一般计算器都有常用对数与自然对数的计算功能。‎ 例1：将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式：‎ ‎（1）；　　　 （2）；‎ ‎（3）；　 （4）；　‎ ‎（5）。‎ 解：（1）；　　 （2）；‎ ‎　 （3）；　　 （4）；　　　　‎ ‎ （5）。‎ 例2：求下各式中的的值： ‎ ‎（1）；　　（2）；‎ ‎（3）；　　　 （4）。‎ 解：（1）；　　‎ ‎ （2）且，所以；‎ ‎ （3），所以；　　　‎ ‎ （4），所以。‎ 例3：求下列各式的值：‎ ‎（1）；　　　 （2）；　　　‎ ‎（3）；　 （4）。‎ 解：（1）由对数恒等式：；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）。‎ ‎6、对数的运算性质： 如果且，那么：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ 证明：设。‎ 由对数的定义知：。由指数的运算性质得：‎ ‎（1），则，‎ ‎ 即；‎ ‎（2），所以，‎ ‎ 即；‎ ‎（3），所以，‎ ‎ 即。‎ 例4：设都是正数，用表示下列各式：‎ ‎（1）； （2）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）。‎ 例5：已知，试用表示下列各式：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； ‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ 注意：当对数的真数不是单项式时，要对真数加括号。‎ 例6：计算下列各式的值：‎ ‎（1）； （2）； ‎ ‎（3）； （4）。‎ 解（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）。‎ 例7：20世纪30年代，里克特（）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们平常所说的里氏震级，其计算公式为：。其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离所造成的偏差）。‎ ‎（1）假设在一次地震中，一个距离震中‎100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级；‎ ‎（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）。‎ 解：（1）。‎ ‎ 因此，这是一次约为里氏级的地震。‎ ‎ （2）由可得 ‎ 。‎ 当时，地震的最大振幅为；‎ 当时，地震的最大振幅是。‎ 所以两次地震的最大振幅之比为。‎ ‎ 即：级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的倍。‎ ‎7、换底公式：‎ 实例引入：‎ 我们知道：利用计算器可以求正数的常用对数与自然对数。若一对数的底不是（或），如何求对数的值？‎ 例：已知，。如何？‎ 解：设，则，两边取常用对数得：，所以 ‎，则。从此式可以看出：。‎ 对数换底公式：‎ 其中。‎ 证明：设，则。两边取以为底的对数，得：‎ ‎，即，‎ 又，所以，则即。‎ 例8：求下列各式的值：‎ ‎（1）； （2）；　　‎ ‎（3）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ 例9：（1）已知，试用表示。‎ ‎（2）已知，试用表示。‎ ‎（3）已知，试用表示。‎ 解：（1）。‎ ‎（2），。‎ ‎ ＝。‎ ‎（3）由；。‎ ‎ ＝。‎ 例10：设正数满足：。‎ ‎（1）求证：。　　　　　　‎ ‎（2）比较的大小。‎ ‎ ‎ ‎ 证明：（1）设，则，‎ ‎ 即，则，‎ ‎ 。‎ ‎（2），由 所以，同理可得，所以。‎ 例11：若，且，求的值。‎ 解：由，得，‎ 解得，所以，则。‎ 作业研究：‎ ‎1、将下列指数式改写成对数式：‎ ‎（1）；　 （2）；　 （3）。‎ ‎2、将下列对数式改写成指数式：‎ ‎（1）；　（2）； （3）。‎ ‎3、根据下列条件，求实数的取值范围：‎ ‎（1）有意义；　　（2）有意义。‎ ‎4、若，。试用的代数式表示。‎ ‎5、计算下列各式的值：‎ ‎（1）；　（2）。‎ ‎6、（1）用计算器计算下列各对数的值（结果精确到0.01）：‎ ‎，　　　　　　，　　　　　　　，‎ ‎，　　　　　　，　　　　　　　。‎ ‎　（2）写出你所发现的规律，尝试用指数函数的性质解释你的结论。‎ ‎ （3）若，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿。‎ ‎7、计算下列各式的值：‎ ‎（1）；　（2）。‎ ‎8、若是方程的两个根，求的值。‎ ‎9、已知集合是两相等的集合，求实数的值。‎ ‎10、（1）利用计算器分别求下列各式的值（精确到0.001）：‎ ‎。‎ ‎（2）根据（1）你有什么猜想？能否给出证明。‎ ‎11、已知，用表示。‎ ‎12、已知，求的值。‎ ‎13、在直角三角形ABC中，是斜边，为直角边。求证：‎ ‎ 。‎ ‎14、已知。‎ 当时，恒成立，试求实数的值，并求的最小值。‎ 作业：《课课精练》‎ ‎4、5 反函数的概念 ‎1、反函数的概念：‎ ‎ 具体例子引入：的反函数为。‎ 一般地，对于函数，设它的定义域是D，值域是A。如果对A中的任意一个值，在D中总有唯一确定的值与它对应，且满足。这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作。‎ 习惯上，自变量常用表示，而函数常用表示，所以把它改写为 。‎ 说明：（1）并非所有函数都有反函数，只有一一对应的函数才有反函数。如就没有反函数。‎ ‎（2）如果函数有反函数，那么函数的反函数就是。这就是说，函数与函数互为反函数。‎ ‎（3）函数的定义域是它的反函数的值域；函数的值域是它的反函数的定义域。‎ 求反函数时一定要写定义域。‎ 例1：求下列函数的反函数：‎ ‎（1）；　　　　　（2）；‎ ‎（3）； （4）。‎ 解：（1）；　　（2）；‎ ‎（3）；　　　（4）。‎ 总结：求函数反函数的步骤：‎ ‎（1）将函数看作为关于变量的方程，解出；‎ ‎（2）对调与，得到；‎ ‎（3）确定出反函数的定义域（注意：反函数的定义域是原函数的值域）。‎ 例2：已知函数的定义域为D。‎ ‎（1）若，且存在反函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若，且存在反函数，求的取值范围；‎ ‎（3）若，且存在反函数，求的取值范围。‎ 解：（1）当时，存在反函数，由此二次函数的对称轴为，所以或；‎ ‎（2）同理求得：或；‎ ‎（3）借助二次函数的图像讨论：‎ 当或时，定义域与值域一一对应，函数存在反函数；‎ 当时，函数不存在反函数；‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当 或时，函数存在反函数，此时或。‎ 综上知：当时，‎ 在上存在反函数。‎ 例3：已知，求的值。‎ 解：设，则，令，则，所以。‎ 例4：已知函数，若的定义域是，求函数的定义域。‎ 解：方法一：令则，则，所以，因为其反函数的定义域是，即函数的值域是，由，且，得：。所以函数的定义域是。‎ 方法二：因为函数存在反函数，且，则，又的定义域为，所以的值域为，即函数的定义域是。‎ ‎2、互为反函数的两个函数图像间的关系：‎ 具体例子：同一坐标系中作及其反函数的图像，说出两个图像之间的关系。‎ ‎（1）函数的图像与其反函数的图像关于直线对称；‎ ‎（2）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数与函数是互为反函数。‎ 例5：若函数的图像过点。‎ 则的反函数的图像必过点 ；‎ 的图像必过点 ‎ 解：；。‎ 例6：已知。‎ ‎（1）求的反函数；‎ ‎（2）求的表达式。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）。‎ 例7：若函数的图像关于直线对称，求应满足的关系。‎ 解：，。‎ 例8：已知函数有反函数，且既在原函数的图像上，又在反函数的图像上，求和的值。‎ 解：，。‎ ‎3、原函数与反函数的性质关系：‎ ‎1、单调性关系：‎ 函数的定义域是D，值域是A，反函数为。若是D上的增函数，则是A上的增函数。‎ 证明：任设，且，，则且，，所以，又函数是D上的增函数，所以。即，即是A上的增函数。‎ 由此说明：原函数与反函数的单调性相同。‎ ‎2、奇偶性关系：‎ 若原函数是奇函数，则其反函数也是奇函数。‎ 证明：由可得，设，可得，所以，又函数是奇函数，则，所以，因为存在反函数，所以有，即。即函数也是奇函数。‎ 思考：偶函数是否存在反函数？说明理由。‎ 注意：一般情况下，偶函数是不存在反函数的。但对于定义域仅为集合这样的偶函数是存在反函数的。如是偶函数，它的反函数是。‎ 作业研究：‎ ‎1、求下列函数的反函数：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）；　(4）；‎ ‎（5）； 　　（6）。‎ ‎2、若函数的反函数为，求的值。‎ ‎3、已知函数的定义域是，且。‎ ‎（1）函数是否存在反函数？说明理由；‎ ‎（2）若对于任意的满足条件的，函数一定存在反函数，求实数的取值范围。‎ ‎4、已知函数的反函数为，函数，求的最小值。‎ ‎5、已知函数的图像经过第一、二、三象限，则其反函数的图像必不经过（　　）‎ A、第一象限；　　　　B、第二象限；　　　　　C、第三象限；　　　　　D、第四象限。‎ ‎6、已知函数有反函数，则关于的方程 的根的情况叙述正确的是（　　）‎ A、有且只有一个实根；　　　　　　　　B、至少有一个实数根；‎ C、至多有一个实数根；　　　　　　　　D、没有实数根。‎ ‎7、已知函数的图像经过点，则函数的反函数的图像必过点　（　　）‎ A、；　　　B、；　　　C、；　　　D、。‎ ‎8、定义在R上的奇函数有反函数，则下列在图像上的点是（　　）‎ A、；　B、；　C、；　D、。‎ ‎9、函数是R上的减函数，它的反函数为，如果是函数图像上的两点，则不等式的解集为（　　）‎ A、；　　　B、；　　C、；　　D、。‎ ‎10、设函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图像必过点（　　）‎ A、；　　　B、；　　　C、；　　　D、。‎ ‎11、设函数的反函数是其本身，则实数的值为＿＿＿＿；‎ ‎12、设函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点与点都在函数的图像上，则＿＿＿、＿＿＿＿；‎ ‎13、已知函数（定义域为D，值域为A）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足＿＿＿；‎ ‎14、对于函数，试分别写出两个区间A、B使得当或时，函数存在反函数且对于任意或的区间C、D，函数都不存在反函数。满足条件的区间可以为＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿。‎ ‎15、已知函数与互为反函数，求的值。‎ ‎16、已知函数的图像经过点，它的反函数的图像经过点，求实数与的值。‎ ‎17、设函数，且函数图像的对称中心在直线上，讨论函数在区间上的单调性。‎ ‎18、已知函数。‎ ‎（1）求函数的反函数；‎ ‎（2）如果不等式对于上的每一个值都成立，求实数的取值范围。‎ 作业:《导学先锋》‎ ‎4、6 对数函数的图像与性质 ‎1、对数函数的概念：‎ 指数函数的反函数 叫做对数函数，它的定义域是，值域为。‎ ‎2、对数函数的图像：‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3、对数函数的性质：‎ 由对数函数的图像归纳对数函数的性质：‎ ‎（1）定义域是，值域为。‎ ‎（2）恒过定点。‎ ‎ （3）若，则时，；时，；‎ ‎ 若，则时，；‎ ‎ 时，。‎ ‎（4）若， 在上单调递增；‎ ‎ 若，在上单调递减。‎ 例1：求下列函数的定义域：‎ ‎（1）；　（2）；　　‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）。‎ 解：（1）因为，即，所以函数的定义域为；‎ ‎（2）因为，即，所以函数的定义域为；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）函数的定义域满足：，解得：且，所以函数的定义域为；‎ ‎（5）函数的定义域满足：，即，，得或。即函数的定义域为。‎ 例2：不求值，比较下列各组数中两个值的大小：‎ ‎（1）和；　　　　　（2）和；‎ ‎（3）和（其中。‎ 解：（1）因为函数在上是增函数，，‎ 所以；‎ ‎（2），函数在上是增函数，‎ ‎ ，所以，即；‎ ‎（3）当时，；当时，。‎ 例3:四个不同底数的对数函数图像如图，则按从小到大的顺序排列为 ‎ 。‎ 例4：已知，求实数的取值范围。‎ 解：或。‎ 例5：已知且，试确定之间的大小关系，并说明理由。‎ 解：由得：‎ ‎，‎ 则或，即：‎ 或或，‎ 得或或。‎ 例6：求下列函数的值域：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ ‎（3）。‎ 解：（1）函数的定义域满足，‎ 即，令，则，‎ 又是减函数，所以，‎ 即函数值域为。‎ ‎（2）因为，令，则由，则，‎ 则，由，当时，，‎ 当时，。即函数 的值域为。‎ ‎（3）‎ 例7：已知函数，根据下列条件分别求实数的取值范围。‎ ‎（1）若函数的定义域是R；‎ ‎（2）若函数的值域是R。‎ 解：（1）由函数的定义域是R，则对于任意的，恒成立，当时，满足题意；当时，则有，即。综上知，实数的取值范围是。‎ ‎（2）由函数的值域是R，则对数的真数能取遍一切正实数，‎ ‎ 所以二次函数的图像开口向上，且与轴有公共点。‎ 则。即实数的取值范围是。‎ 另外一方面：由可得对于任意实数恒成立，又，知对于任意正数，方程都有解，所以必取遍一切正数。‎ 例8：判断下列函数的奇偶性：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ 解：（1）奇函数；（2）偶函数。‎ 例9：（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求函数的单调增区间。‎ ‎（3）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 。‎ 解：（1）函数的定义域满足，即，即定义域为，令。是减函数，时，是增函数，时，是减函数。所以由复合函数的性质知：的单调递增区间为，单调递减区间为。‎ ‎（2）。‎ ‎（3）。‎ 例10：函数在上恒有，求的范围。‎ 解：。‎ 例11：画出下列函数的草图：‎ ‎（1）； （2）； （3）‎ 解：（1）略； （2）略； （3），图略。‎ 例12：求下列函数的反函数：‎ ‎（1）；　　（2）。‎ 解：（1）由，‎ 则，又由知，‎ 则。由可得，‎ 所以所求的反函数为。‎ ‎（2）.‎ 例13：已知，。‎ 比较与的大小。‎ 解：方法一：因为，‎ 由知，‎ 所以上式，‎ 由，所以，则，‎ 所以有。‎ 方法二：因为且，‎ ‎，而，‎ 所以，则 ‎，因为所以，则，‎ 即所以。‎ 例14：已知都为常数，且。‎ ‎ 求函数的定义域。‎ 解：由，则 ‎（1）若，则；‎ ‎（2）若。‎ ‎ ①，即时，；‎ ‎ ②即时，。‎ 综上知，函数定义域为：时，定义域为R；‎ 且时定义域为；‎ 且时，定义域为。‎ 例15：已知函数满足。‎ ‎（1）求函数的表达式，并判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）判断函数在定义域内的单调性，并证明。‎ 解：（1）令，则，。‎ 即，又由知，所以。‎ 所以。由函数的定义域不关于原点对称，‎ 所以函数既不是奇函数也不是偶函数。‎ ‎（2）当时，在上是增函数，当时，在上是减函数。‎ 证明：，‎ 任设且，‎ 则，所以，‎ 那么。‎ 则当时，‎ 即，所以在上是增函数；‎ 当时，，‎ 即，所以在上是减函数。‎ 作业研究：‎ ‎1、函数（　　）‎ A、有最大值无最小值；　　　　　　　　B、有最小值无最大值；‎ C、既有最大值又有最小值；　　　　　　D、既无最大值也无最小值。‎ ‎2、已知函数是函数的反函数，若，则的值为（　　）‎ A、1；　　　B、；　　　C、4；　　　　D、10。‎ ‎3、若函数在区间上是减函数，则的取值范围是（　　）‎ A、；　B、；　 C、；　D、。‎ ‎4、已知函数，若时，恒成立，则 满足的关系为（　　）‎ A、； 　B、；　　C、；　　D、。‎ ‎5、设是定义在上的奇函数，当时，，则；‎ ‎6、已知函数的值域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿；‎ ‎7、若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎8、已知函数，求函数的定义域、值域、单调区间。‎ ‎9、若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值。‎ ‎10、已知关于的不等式的解集为函数的定义域，试求函数的值域。‎ ‎11、设函数的定义域为A，的定义域为B。‎ ‎（1）求A；（2）若，求实数的取值范围。‎ ‎12、已知函数。求：‎ ‎（1）函数的定义域；　　　　　　　　　（2）函数的奇偶性；‎ ‎（3）函数的单调性；　　　　　　　　　（4）函数的反函数。‎ ‎13、已知函数是定义在上的增函数，且满足：，求：（1），，，的值；‎ ‎（2）解关于的不等式；‎ ‎（3）举出一个满足条件的函数的解析式。‎ ‎14、设函数，如果当时，有意义，求实数 的取值范围。‎ ‎15、已知函数在上是的减函数，求实数的取值范围。‎ ‎16、已知函数的图像过点，其反函数图像过点。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若将的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数的图像，写出函数的解析式；‎ ‎（3）若函数，求的最小值及此时的值。‎ ‎17、若函数满足，其中。‎ ‎（1）判断函数的奇偶性与单调性；‎ ‎（2）当时，，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，的值恒为负数，求的取值范围。‎ ‎4、7 简单指数方程与对数方程 ‎1、指数方程与对数方程的概念：‎ ‎1、指数方程： 把指数里含有未知数的方程叫做指数方程。‎ ‎2、对数方程： 在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。‎ ‎2、指数方程与对数方程的解法：‎ ‎（1）指数方程的常见类型与解法：‎ ‎① 同底法：将方程转化为后，转化为解方程；‎ ‎② 取对数法：将方程化为后，两边取对数再转化为进行求解；‎ ‎③ 换元法：对于方程，可令，将原方程转化为求关于的方程的正根，再求。‎ 例1、解下列方程：‎ ‎（1）； 　　（2）；‎ ‎（3）;　　（4）；　　（5）。‎ 解：（1）。‎ ‎（2）。‎ ‎（3）。‎ ‎（4）对两边取常用对数得：，则或。‎ ‎（5）或。‎ 例2：已知关于的方程在上有解，求实数的取值范围。‎ 解：方法一：令，由，则，则原方程化为在上有解。‎ ‎（1）当时，方程不成立；‎ ‎（2）当时，则。令，此二次函数的对称轴方程为，方程在上有解，则 ‎，解得。‎ 方法二：令，由，则，则原方程化为在上有解。‎ ‎（1）当时，方程不成立；‎ ‎（2）当时，则在上有解。‎ 即。在同一坐标系中作出与的图像，可知方程解的个数等价于两函数图像交点个数。‎ 所以，即，所以。‎ 说明：方法二比方法一更直观，此方法还可以得出的取值与方程解的个数的关系。当 或时，方程无解；当或时，方程有一解；当时方程有两解。‎ 方法三：原方程化为，因为恒成立，则，令，当时。则，。因时，，所以。‎ ‎（2）对数方程的常见类型与解法：‎ ‎① 同底法：；‎ ‎② 换元法：，设，转化为解；‎ ‎③ 互化法：。‎ 注：对数方程须检验，含字母的对数方程化为与之等价的混合组。‎ 例3：解下列方程：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）。‎ 解：（1）或；‎ ‎（2）或；‎ ‎（3）或；‎ ‎（4）；‎ ‎ （5）原方程等价于，‎ 由（4）可以解得或。代入检验：‎ 若是方程的根，则且；不满足（1）；若是方程的根，则且。综上知：当且时，方程解为；当且时，方程解为；当或时，方程无解。‎ 例4：设，解关于的方程。‎ 解：原方程等价于，因为时，恒成立，‎ 所以恒成立，即原方程等价于。‎ 作函数在上的图像，由图像可以看出：‎ ‎。‎ ‎。‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎（1）当时，方程有一解，且此解 小于，所以；‎ ‎（2）当时，方程有两解 ‎；‎ ‎（3）当时，方程有一解。‎ 综上知：或时，方程解为；当时，方程解为。‎ 练习与巩固：‎ ‎1、方程的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、方程的解的个数为＿＿＿＿＿＿个；‎ ‎3、方程的解为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、方程的解的个数为＿＿＿＿个；‎ ‎5、如果同时满足与，则的值为（　　）‎ A、18；　　　　　B、24；　　　　　C、21；　　　　　　D、27。‎ ‎6、已知，则方程的解集为（　　）‎ A、；　　　　B、；　　　　　C、；　　　　D、。‎ ‎7、方程的解的个数为（　　）‎ A、2个；　　　　　B、3个；　　　　　C、4个；　　　　　　　D、5个。‎ ‎8、与方程同解的方程是（　　）‎ A、；B、；C、；D。‎ ‎9、若，则的值为（　　）‎ A、6；　　　　　　B、8；　　　　　　C、14；　　　　　　D、21。‎ ‎10、设方程的根为，方程的根为。则的值为　　（　　）‎ A、3；　　　　　　B、2；　　　　　　C、1；　　　　　　D、0。‎ 作业研究：‎ ‎1、解下列方程：‎ ‎（1）；　　（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎2、有一种放射性物质在不断的裂变过程中，每天所剩留的质量与前一天所剩留的质量相比，按同一比例减少。经过7天的裂变，剩留的质量是原来的。问：要经过多少天，剩留的质量是原来的？‎ ‎3、已知方程。试确定的取值范围，使方程：（1）有两个不同的解；（2）有且只有一解。‎ ‎4、已知。‎ ‎（1）求；　　　　　　　　　　（2）解方程：。‎ ‎5、已知关于的方程有且仅有一解，求实数的取值范围，并求出此解。‎ ‎6、已知，实数满足。‎ ‎（1）用表示；　　（2）当取何值时（用表示），有最小值？并求出这个最小值。‎ ‎7、已知，试解关于的方程。并判断解的符号。‎ ‎4、8 指数函数与对数函数综合 例1：已知函数。‎ ‎（1）试求函数的反函数；‎ ‎（2）函数，试求函数的定义域，并判断的单调性；‎ ‎（3）若对于（2）中的，有在定义域内恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：（1）因为，所以，令， 则，所以，即。‎ ‎（2）的定义域满足，则当时，定义域为；当时，定义域为。在定义域内是单调增函数。‎ ‎（3）当时，定义域为，在定义域内是单调递增，由，则有，解得；‎ 当时，定义域为，在定义域内是单调递增，由，则有 ‎，解得。‎ 综上知。‎ 例2：已知关于的不等式。‎ ‎（1）若此不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若此不等式的解集为的子集，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若对于一切，此不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：设，则原不等式为。若，则。‎ ‎（1）由题意知：不等式的解集为，则必有，且与是方程的两个根，所以：‎ ‎，解得。‎ ‎（2）原不等式的解集为的子集，则不等式的解集为的子集。‎ 不合题意；‎ 时，设，则有①时，即，不等式解集为，满足题意；②若，则有 ‎，解得。‎ 综上知：若此不等式的解集为的子集，则的取值范围为。‎ ‎（3）若对于一切，原不等式恒成立，则对于，不等式恒成立。‎ ‎①当时，不等式的解为，满足题意；‎ ‎②当时，不等式，即为，设，此二次函数的对称轴方程为，且，所以对于，恒成立；‎ ‎③当时，不等式，即为，设，此二次函数的对称轴方程为，要对，，则有，即，解得。‎ 综上知：实数的取值范围为。‎ 例3：已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。‎ ‎（1）判断函数是否属于集合M，说明理由；‎ ‎（2）设函数是集合M的元素，求实数的取值范围；‎ ‎（3）已知函数的图像与函数的图像有交点，试证明：函数是集合M的元素。‎ 解：（1）若是集合M的元素，此函数的定义域为，由题意知，方程在上有解。化简得：，此方程没有实数根，所以函数是不属于集合M。‎ ‎（2）函数的定义域是R，且。若此函数是集合M的元素，则有有实数解，即，因为，所以有实数解。‎ ‎①时，方程解为满足题意；‎ ‎②时，则，即，且。‎ 综上知，实数的取值范围为。‎ ‎（3）因为函数的图像与函数的图像有交点，所以方程组有解，即有解，不妨设此解为。则有。‎ 要证明函数是集合M的元素则要证明，即，即，令，由，必有成立，所以存在使成立。即函数是集合M的元素。‎ 例4：已知函数。‎ ‎（1）若函数的定义域为，判断函数在定义域上的单调性，并证明；‎ ‎（2）是否存在，使在定义域上的值域为，若存在，求出实数的取值范围，不存在，说明理由。‎ ‎　解：（1）由，则此函数定义域满足或，由函数定义域为，所以。令，设，则，则，所以在上是增函数，又，所以在定义域上是减函数。‎ ‎（2）由题意得：，即关于的方程 在上有两不等的实数根，即在上有两不等的实数根。令，则 ‎，得。‎ 作业研究：‎ ‎（一）、填空题：‎ ‎1、函数的定义域为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、函数的值域为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、若正数满足，则的最大值为＿＿＿＿；‎ ‎4、函数的值域为一切实数，则实数的取值范围为＿＿＿＿；‎ ‎5、已知函数的值域为，则此函数的一个可能的解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎6、若函数在区间上的最大值为14，则＿＿＿＿。‎ ‎（二）选择题：‎ ‎7、下列各组方程中不是同解方程的是（　　）‎ A、与；　　　　　　B、与；‎ C、与；　　　　　　　　　　　　 D、与。‎ ‎8、已知函数在区间上是的减函数，则取值范围为　（　　）‎ A、；　　　B、；　　　C、；　　　　D、。‎ ‎9、已知，则函数的图像与其反函数的图像（　　）‎ A、没有公共点；　　　　　　　　　　　　B、不可能只有一个公共点；‎ C、最多只有一个公共点；　　　　　　　　D、最多只有两个公共点。‎ ‎10、在点四点中，函数的图像与其反函数的图像的公共点只可能为（　　）‎ A、P点；　　　　B、Q点；　　　　　C、M点；　　　　　D、N点。‎ ‎（三）解答题：‎ ‎11、已知函数是定义在上的奇函数，当时，。‎ ‎（1）判断函数在上的单调性，说明理由；‎ ‎（2）求函数的值域；‎ ‎（3）解不等式。‎ ‎12、设函数，当点是函数的图像上的点时，点是函数的图像上的点。‎ ‎（1）写出函数的解析式；‎ ‎（2）若当时，恒有，试确定的取值范围。‎